Resolución de ecuaciones lineales
En el museo de ciencias hay una balanza. En un platillo hay 3 cajas misteriosas y dos pesas de 1 lb. En el otro platillo hay once pesas de 1 lb. La balanza está perfectamente nivelada. ¿Cuánto pesa cada caja? Sin darte cuenta, acabas de escribir una ecuación: $3x + 2 = 11$. Resolverla significa hallar el peso de una caja sin desequilibrar la balanza.
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación lineal es aquella en la que la variable aparece solo con exponente 1 (sin $x^2$ ni $\frac{1}{x}$). Aquí tienes un dibujo de sus partes:
No confundas estas tres cosas:
| Se parece a… | Ejemplo | Qué es |
|---|---|---|
| no tiene signo $=$ | $3x + 2$ | una expresión (puedes simplificarla, no resolverla) |
| verdadera solo para algunos valores | $3x + 2 = 11$ | una ecuación |
| verdadera para todos los valores | $2(x + 1) = 2x + 2$ | una identidad |
Comprobar una solución es fácil: sustituye la variable por el número y mira si ambos lados coinciden. ¿Es $x = 5$ solución de $4(x - 1) = 2x + 6$? Lado izquierdo: $4(5 - 1) = 16$. Lado derecho: $2(5) + 6 = 16$. Coinciden, así que sí ✓. Prueba con $x = 3$: el lado izquierdo es $8$ y el derecho es $12$, así que no ✗.
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado.…
En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:
- a) $3x + 5$
- b) $2x - 8 = 10$
- c) $x^2 - 4 = 0$
- d) $5 + 3 = 8$
- e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores:…
Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:
$5x - (x + 4) = 8$
Resolver con la idea de la balanza
La regla de oro: lo que le hagas a un lado, hazlo al otro lado. La balanza sigue nivelada y la ecuación sigue siendo verdadera. Resuelve la balanza de abajo quitando el mismo peso de ambos platillos y luego repartiendo en partes iguales lo que queda:
Para resolver, usas operaciones inversas para deshacer lo que se le hizo a la variable. Deshaz en el orden inverso al orden de las operaciones: primero deshaz la suma y la resta, y luego la multiplicación y la división.
Algunos problemas llaman a este atajo transposición de términos ("pasar un término al otro lado cambiando su operación"). En el fondo, siempre estás restando, sumando, multiplicando o dividiendo ambos lados, así que piénsalo de esa manera.
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 15 = 42$ b) $x - 7 = -12$ c)…
Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 15 = 42$
- b) $x - 7 = -12$
- c) $10 - x = 4$
- d) $25 = x + 18$
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ libras. En el platillo de la derecha hay una pesa de…
Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ libras. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ libras.
Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Paréntesis, términos semejantes y variables en ambos lados
Las ecuaciones reales vienen enredadas. Este orden de pasos siempre funciona:
¿Cuántas soluciones puede haber?
Casi siempre una, pero no siempre. Después de simplificar, ocurre una de estas tres cosas:
| Llegas a… | Ejemplo | Significado |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| un enunciado falso | $0 = 5$ | Sin solución |
| un enunciado verdadero | $0 = 0$ | Infinitas soluciones (una identidad) |
Piensa en cada lado de la ecuación como una recta. La solución es el punto donde las dos rectas se cruzan. Verás mucho más sobre esto pronto.
Cuando $x^2$ se cancela
A veces multiplicas dos binomios y obtienes $x^2$ en ambos lados. No te asustes: los términos $x^2$ se cancelan y queda una ecuación lineal.
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado: a) $3(x - 2) = 12$ b)…
Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:
- a) $3(x - 2) = 12$
- b) $2(x + 4) + 5 = 17$
- c) $10 - (x - 3) = 8$
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en…
Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?
Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observe cómo se simplifican al operar.
Ecuaciones con fracciones
Las fracciones hacen que las ecuaciones den miedo, pero hay un truco: multiplica cada término por el mcm (el mínimo común múltiplo de los denominadores). Todos los denominadores desaparecen.
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:
$$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$$Resuelva la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Preste mucha atención al manejo de los signos negativos delante de las…
Resuelva la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Preste mucha atención al manejo de los signos negativos delante de las fracciones:
$$\frac{2(x-5)}{3} - \frac{3x - \frac{x+1}{2}}{5} = \frac{x-1}{6} - \frac{7}{10}$$Despejar una letra: ecuaciones literales
Las mismas reglas te permiten despejar una letra en una fórmula o en una ecuación con varias letras (una ecuación literal). De $d = rt$ obtienes $t = \dfrac{d}{r}$. Las otras letras se tratan como números.
Cuando la letra que buscas aparece en varios términos, junta esos términos en un lado y factoriza la letra.
Las mismas destrezas sirven cuando una ecuación tiene un coeficiente desconocido. Si te dicen cuánto vale $x$, sustitúyelo y resuelve para la otra letra.
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$: $$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$ Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la…
Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:
$$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos…
En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero, con $a \neq d$:
$$a(x + b) - c = d(x - a)$$Expresa el resultado final como una única fracción.
Traducir palabras a ecuaciones
Los problemas verbales son como aprender un idioma nuevo: traduces del español al álgebra. Aquí tienes un minidiccionario:
| En palabras | En álgebra |
|---|---|
| un número | $x$ |
| la suma de un número y 5, 5 más que un número | $x + 5$ |
| 5 menos que un número | $x - 5$ |
| 5 restado de un número | $x - 5$ |
| el doble de un número | $2x$ |
| la mitad de un número | $\dfrac{x}{2}$ |
| es, es igual a, da, resulta | $=$ |
Los problemas de perímetro vienen con una fórmula. Para un rectángulo de largo $\ell$ y ancho $w$, el perímetro es $P = 2\ell + 2w$.
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación: "Si al doble de un número le…
Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:
"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".
(Pista: llama $x$ al número desconocido).
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$…
En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.
Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ pulgadas.
Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ pulgadas.
Problemas de números y precios
Muchos problemas describen varias incógnitas relacionadas con una de ellas. Elige la más sencilla como $x$ y escribe las demás en términos de $x$.
Los enteros consecutivos se diferencian en 1: $x,\ x + 1,\ x + 2$. Los enteros pares consecutivos (o los impares consecutivos) se diferencian en 2: $x,\ x + 2,\ x + 4$.
Problemas de dígitos. Si un número de dos dígitos tiene como dígito de las decenas $t$ y como dígito de las unidades $u$, su valor es $10t + u$. Con los dígitos invertidos, es $10u + t$.
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos audífonos cuestan en total $\$110…
En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos audífonos cuestan en total $\$110$. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los audífonos cuestan $\$10$ más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades. Pista: Si el primer número par es $2x$, el…
Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.
Pista: Si el primer número par es $2x$, el siguiente es $2x + 2$.
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta…
Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.
Mezclas, descuentos y porcentajes
Mezclas. La idea clave: la cantidad del "ingrediente" (dinero, ácido, concentrado de jugo) en la mezcla es igual a la suma de las cantidades de las partes.
$$\text{cantidad} \times \text{tasa} \;(\text{precio o porcentaje}) = \text{total de ese ingrediente}$$Los precios con centavos, como $\$1.20$ por galón, funcionan exactamente igual: escríbelos como decimales y multiplica por el número de galones.
Los problemas de ácido funcionan igual. Una solución al $10\%$ tiene $0.10$ galones de ácido en cada galón, así que $x$ galones de ella contienen $0.10x$ galones de ácido puro.
Descuentos. Un descuento del $20\%$ significa que pagas el $80\%$ del precio original, así que el precio de venta es $0.8x$ y lo que ahorras es $0.2x$.
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $\$1,20$ por galón con jugo de mango que cuesta $\$1,80$ por galón. Si…
Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de piña que cuesta $\$1,20$ por galón con jugo de mango que cuesta $\$1,80$ por galón. Si quiere obtener $60$ galones de mezcla a un precio de $\$1,40$ por galón, ¿cuántos galones de jugo de piña debe utilizar?
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ galones de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución…
En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ galones de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos galones debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $325\text{ \$}…
Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $325\text{ \$}$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $115\text{ \$}$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?
Problemas de tasas: movimiento y trabajo
Movimiento
La fórmula clave es $d = rt$: distancia = tasa × tiempo. Cuando un viajero alcanza a otro, en ese momento ambos están a la misma distancia del punto de partida, así que igualas las dos expresiones de distancia.
La gráfica muestra la distancia contra el tiempo (horas desde que salió Maya). Las rectas se cruzan en el punto donde la alcanza: $1.5$ horas y $4.5$ millas. La recta de Maya es $d = 3t$ y la de su hermano es $d = 9(t - 1)$.
Una distancia de ventaja en lugar de una hora de ventaja. Si el viajero más lento sale $g$ millas adelante, el más rápido debe recorrer $g$ millas más: distancia del más rápido = distancia del más lento + $g$.
Problemas de trabajo y de llenado
Piensa en tasas: una bomba que llena un tanque en 10 horas hace $\frac{1}{10}$ del trabajo por hora. Las tasas que trabajan juntas se suman. Algo que trabaja en tu contra, como una fuga, es una tasa negativa. En $t$ horas, la fracción terminada es (tasa) × $t$, y un trabajo terminado cuenta como $1$.
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ mph. Media hora más tarde, Marcos sale desde…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ mph. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ mph. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ mi}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido…
Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ mi}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ mph}$ y Selene a $60\text{ mph}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a un fallo en…
Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a un fallo en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina ella sola si no hubiera fuga?
Volvamos al inicio: cada caja misteriosa pesa 3 lb. Quita 2 lb de ambos platillos y 3 cajas equilibran 9 lb ($3x = 9$). Reparte las 9 lb entre 3 cajas y $x = 3$ lb.