Propiedades de los exponentes

Escribe las siguientes multiplicaciones repetidas en forma de potencia y, posteriormente, calcula su valor numérico. Recuerda que la base es el número que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Tenemos un cubo de Rubik clásico. Sabemos que en cada arista (lado) hay 3 piezas pequeñas.

Expresa mediante una potencia cuántas piezas pequeñas forman el cubo total y calcula el valor.

Observa el dibujo para ayudarte:

Utiliza las propiedades del producto de potencias con la misma base para simplificar estas expresiones y dejarlas como una única potencia. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia resultante.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplica la propiedad del cociente (división) de potencias con la misma base para reducir las siguientes expresiones a una sola potencia. Recuerda que debes restar los exponentes.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Calcula el resultado de la siguiente expresión, aplicando las propiedades de las potencias antes de calcular el valor final. Fíjate bien en que todas las bases son el mismo número negativo:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Recuerda que cuando un número no lleva exponente visible, este es 1.

Calcula el valor de las siguientes potencias teniendo en cuenta las propiedades de la potencia de exponente 0 y de la potencia de base 1. Ten cuidado con los signos.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Opera y simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias con base racional. Expresa el resultado como una fracción irreducible con exponente positivo:

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Pista: Fíjate en que la última fracción tiene la base invertida respecto a las dos primeras.

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos:

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Simplifica las siguientes expresiones utilizando la propiedad de la potencia de una potencia. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

En estos casos, las bases son diferentes pero los exponentes son iguales. Aplica las propiedades correspondientes para agrupar las bases y expresar el resultado como una única potencia.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Tenemos un cuadrado cuyo lado mide $3^4$ pulgadas.

1. Expresa el perímetro del cuadrado como una única potencia de base 3 (no hace falta que calcules el número final, solo la potencia).

2. Expresa el área del cuadrado como una única potencia de base 3.

Simplifica la siguiente operación y expresa el resultado como una única potencia de base 2. Para ello, primero tendrás que descomponer en factores primos las bases que no sean números primos:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Simplifica la siguiente fracción numérica descomponiendo primero las bases en factores primos y aplicando después las propiedades de las potencias:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Simplifica al máximo las siguientes expresiones combinando las propiedades de las potencias que has aprendido (producto y cociente de bases iguales). Expresa el resultado como una sola potencia.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

Simplifica la siguiente expresión hasta obtener una única potencia de base prima positiva. Para ello, deberás aplicar las propiedades de las potencias, descomponer las bases en factores primos y tener mucho cuidado con los signos y los exponentes negativos.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Recuerda que descomponer números como el 16 y el 8 en base 2 es el primer paso clave.

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. El resultado final no debe tener exponentes negativos ni paréntesis.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Calcula el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades, utilizando las propiedades de las potencias para igualar los exponentes:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Calcula el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación exponencial, utilizando las propiedades de las potencias para agrupar términos. Todas las bases pueden expresarse como potencias del mismo número primo.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Pista: Transforma todas las bases a base 3 antes de operar los exponentes.

Sin utilizar la calculadora para hallar el valor final, ordena los siguientes números de menor a mayor. Para ello, deberás buscar un exponente común o una base común que te permita compararlos mentalmente.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Ayuda: Intenta expresar todos los exponentes como múltiplos de un mismo número (busca el máximo común divisor de los exponentes).

Observa la siguiente secuencia de figuras generada mediante un proceso fractal.

1. Partimos de un cuadrado sólido de lado 1 pie (Iteración 0).

2. Dividimos el cuadrado en 4 cuadrados iguales y eliminamos el superior derecho (Iteración 1).

3. Repetimos el proceso con cada uno de los 3 cuadrados restantes (Iteración 2).

Calcula el área total (la suma de las áreas de los cuadrados negros) en la Iteración 5. Expresa el resultado como una única potencia.

Un cubo de Rubik gigante está formado por pequeños cubitos unitarios. Sabemos que el volumen total del cubo grande es de $27^4$ unidades cúbicas.

1. Expresa la longitud de la arista del cubo grande como una potencia de base 3.

2. Si pintamos la cara exterior de cada cubito unitario de rojo, ¿cuál es el área total pintada de rojo en todo el cubo gigante? Expresa el resultado como potencia de base 3.

(Recuerda que el cubo grande tiene 6 caras y el área de una cara es lado $\cdot$ lado).

Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de 1 TB (Terabyte). Sabiendo que las equivalencias aproximadas en el sistema binario son:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Si una fotografía de alta calidad ocupa $2^4$ MB, ¿cuántas fotografías caben en total en el disco duro? Expresa el resultado como una potencia de base 2.

Un servidor de almacenamiento de datos en la nube tiene una capacidad total de 16 Petabytes (PB). Sabiendo que las equivalencias informáticas son potencias de 2 (no de 10) según la siguiente tabla:

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Si un archivo de fotografía de alta resolución ocupa $2^{24}$ bytes, ¿cuántas fotografías caben en total en el servidor? Expresa el resultado como una potencia de base 2.

Calcula el valor exacto de la siguiente operación combinada, aplicando primero las propiedades de las potencias y transformando a notación científica estándar antes de operar.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Expresa el resultado final en notación científica.