Operaciones con radicales

Calcule mentalmente el valor de las siguientes raíces exactas. Recuerde que el índice de la raíz le indica cuántas veces debe multiplicar un número por sí mismo para obtener el radicando.

• $\sqrt{81}$

• $\sqrt[3]{-27}$

• $\sqrt[4]{16}$

• $\sqrt{100}$

• $\sqrt[3]{125}$

Las potencias y las raíces son dos formas diferentes de escribir lo mismo. Complete la siguiente tabla en su cuaderno transformando las potencias en raíces y las raíces en potencias de exponente fraccionario.

• Exprese como raíz: $5^{1/2}$

• Exprese como raíz: $3^{2/5}$

• Exprese como potencia: $\sqrt[3]{7}$

• Exprese como potencia: $\sqrt[4]{2^3}$

Queremos cercar un terreno cuadrado cuya superficie total es de $225 \text{ m}^2$. Para saber cuántos pies de cerca necesitamos, primero debemos calcular cuánto mide el lado del cuadrado.

1. Calcule la longitud del lado ($l$) sabiendo que el área es $l^2 = 225$.

2. Calcule el perímetro total del terreno.

A veces los números dentro de la raíz tienen factores que "sobran" y pueden salir fuera. Extraiga fuera de la raíz todos los factores que pueda de los siguientes radicales.

Pista: Escriba primero el número como potencias (ejemplo: $\sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$).

• $\sqrt{2^5}$

• $\sqrt{3^3}$

• $\sqrt{5^4}$

• $\sqrt[3]{2^4}$

Extraiga todos los factores que pueda de los siguientes radicales. Tenga en cuenta el índice de la raíz y los exponentes de los radicandos.

1. a) $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$
2. b) $\sqrt[3]{81}$
3. c) $\sqrt{12x^3 y^4}$
4. d) $\sqrt[4]{32}$

Vamos a simplificar expresiones agrupando radicales semejantes. Imagine que $\sqrt{3}$ es como una "x" o una "manzana". Realice las siguientes sumas y restas:

1. $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

2. $7\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}$

3. $4\sqrt{6} + \sqrt{6} - 8\sqrt{6}$

Para realizar sumas y restas con radicales, estos deben ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Simplifique los siguientes radicales descomponiendo los números en factores primos y opere:

1. a) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{27}$
3. c) $2\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$

Simplifique al máximo la siguiente expresión numérica. Para ello, deberá descomponer los radicandos en factores primos, extraer factores fuera de la raíz y operar con fracciones. El resultado final debe expresarse utilizando un único radical irreducible.

$$ A = 2\sqrt{75} - \sqrt{\frac{147}{4}} + \frac{5}{2}\sqrt{12} - \sqrt{300} $$

Utilice la propiedad del producto de raíces con el mismo índice ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$) para agrupar estas operaciones en una sola raíz y, si es posible, calcular el resultado final exacto:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

• $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales. Recuerde que para operar deben tener el mismo índice. Si es posible, simplifique el resultado final extrayendo factores de la raíz.

1. a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}$
3. c) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x^3}$

Calcule el perímetro y el área de un terreno rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por radicales. La base mide $\sqrt{27}$ pies y la altura $\sqrt{3}$ pies. Simplifique los resultados al máximo.

Cuando tenemos una raíz dentro de otra raíz, podemos simplificarla multiplicando sus índices ($\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$). Simplifique las siguientes expresiones a una única raíz:

• $\sqrt{\sqrt{81}}$

• $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$

• $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$

Aplique las propiedades de la raíz de una raíz y la potencia de una raíz para simplificar las siguientes expresiones a un único radical irreducible:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $(\sqrt[3]{2})^6$
3. c) $\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}$ (Pista: Introduzca el primer 2 dentro de la segunda raíz)

Las potencias de exponente fraccionario son otra forma de escribir radicales. Utilice esta relación para simplificar las siguientes expresiones y dé el resultado final en forma de raíz:

1. a) Escriba $5^{3/4}$ en forma de raíz.
2. b) Escriba $\sqrt[5]{2^3}$ en forma de potencia.
3. c) Calcule expresando como potencia primero: $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$
4. d) Simplifique: $\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x}}$

Realice las siguientes operaciones agrupando los términos en una sola raíz. Recuerde que para multiplicar o dividir radicales con diferente índice, primero debe reducirlos a un índice común (mínimo común múltiplo de los índices).

1. a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{8} $

1. b) $ \frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[6]{x}} $

Exprese el resultado de la siguiente operación como una única potencia de exponente fraccionario. Para lograrlo, deberá convertir todos los radicales a potencias, aplicar las propiedades de las potencias (producto y cociente de bases iguales) y simplificar el exponente final.

$$ \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot \sqrt{a}}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}} $$

Compruebe si el número irracional $\phi = 1 + \sqrt{5}$ es solución de la ecuación cuadrática:

$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Para ello, sustituya la $x$ por $(1 + \sqrt{5})$, desarrolle el cuadrado del binomio (producto notable) y opere los términos semejantes hasta ver si el resultado final es cero.

Va a comprar una televisión nueva y las medidas se dan en pulgadas de la diagonal. La pantalla tiene forma rectangular con una anchura de 40 pulgadas y una altura de 30 pulgadas. Utilizando el Teorema de Pitágoras ($h = \sqrt{a^2 + b^2}$), calcule cuánto mide la diagonal de la pantalla en pulgadas.

Nota: El resultado es una raíz exacta.

Queremos colocar un cable tensor para sujetar un poste vertical de 4 pies de altura. El cable se anclará al suelo a una distancia de $\sqrt{20}$ pies de la base del poste. Calcule la longitud exacta del cable necesaria utilizando el Teorema de Pitágoras. Exprese el resultado como un radical simplificado.

En un estudio de arquitectura se ha diseñado una pieza decorativa triangular para una fachada. La pieza es un triángulo isósceles (dos lados iguales y uno desigual).

Sabemos que los dos lados iguales miden $\sqrt{45}$ pies cada uno, y la base (el lado desigual) mide $\sqrt{72}$ pies.

Utilizando el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los radicales (extracción de factores y simplificación), calcule la altura ($h$) exacta de dicho triángulo. Exprese el resultado como un número entero o un radical simplificado al máximo.

Tenemos un tanque de agua con forma de cubo. Sabemos que su volumen total es de $128 \text{ m}^3$. Calcule cuánto mide la arista del tanque. Exprese el resultado como un radical simplificado (extrayendo factores) y no use decimales.

(Ayuda: Recuerde que el volumen de un cubo es $V = \text{arista}^3$)

Tenemos tres tanques de agua con formas cúbicas diferentes.

• El tanque A tiene una capacidad de $2$ pies cúbicos.

• El tanque B tiene una arista que mide exactamente el doble que la arista del tanque A.

• El tanque C tiene una arista que mide la mitad que la arista del tanque A.

• Calcule la longitud exacta de la arista del tanque A expresándola como radical.

• Calcule el volumen exacto del tanque B y del tanque C utilizando las propiedades de las potencias y los radicales. No use decimales.

El volumen de una esfera gigante utilizada en un planetario es de $500 \pi$ pies cúbicos.

Sabiendo que la fórmula del volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

1. Despeje el radio $r$ en función del volumen.

2. Sustituya el volumen dado y calcule el valor exacto del radio simplificando el radical al máximo (extrayendo factores fuera de la raíz cúbica).

Una bacteria tiene forma cuadrada y su área es de $2,25 \cdot 10^{-10}$ metros cuadrados.

Calcule cuánto mide el lado de la bacteria. Exprese el resultado final en notación científica y en milímetros. (Recuerde que $\sqrt{a \cdot 10^n} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^n}$).