Traslaciones

Identifica cuál de las siguientes opciones describe correctamente una traslación:

1. a) Girar una llave en una cerradura.
2. b) El movimiento de un cajón al abrirlo.
3. c) El reflejo de una montaña en un lago.
4. d) El movimiento de las manecillas de un reloj.

Observa la cuadrícula y determina las componentes del vector de traslación $\vec{u}$ que permite mover el punto $P$ hasta la posición del punto $P'$.

En un videojuego, un personaje está en el punto $C(5, -2)$. El jugador pulsa una combinación de teclas que equivale a una traslación. Si el personaje aparece de repente en el punto $C'(1, 3)$, ¿cuál es el vector de traslación $\vec{w}$ que ha actuado?

Un dron de vigilancia despega de un punto de control y realiza un movimiento lineal definido por el vector $\vec{v} = (5, -3)$. Si el punto de partida tiene coordenadas $A(2, 4)$ en el mapa del centro de control, ¿cuáles serán las coordenadas del punto $A'$ donde se encuentra el dron tras realizar ese movimiento?

Si trasladamos el punto $Q$ mediante el vector $\vec{v} = (-4, 7)$ obtenemos el punto $Q'(0, 2)$. ¿Cuáles eran las coordenadas del punto original $Q$ antes de la traslación?

En una aplicación de diseño gráfico, un adolescente está creando un logotipo. Ha dibujado un triángulo con vértices en $P(2, -1)$, $Q(5, 0)$ y $R(3, 4)$. Para completar el diseño, necesita trasladar el triángulo de modo que el vértice $P$ se sitúe en el origen de coordenadas $O(0, 0)$.

1. a) Indica las componentes del vector de traslación $\vec{v}$ que debe aplicar.
2. b) Calcula las nuevas coordenadas de los vértices $Q'$ y $R'$ tras aplicar dicha traslación.

Aplica una traslación de vector $\vec{v} = (6, 2)$ al triángulo de vértices $V_1(0, 0)$, $V_2(2, 0)$ y $V_3(1, 3)$.

1. Escribe las coordenadas de los nuevos vértices.

2. ¿Cómo es el área del nuevo triángulo respecto al original? Razona tu respuesta.

Considera el cuadrilátero $ABCD$ cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 3)$ y $D(2, 3)$.

1. a) Aplica una traslación de vector $\vec{t} = (3, -4)$ y escribe las coordenadas de la figura imagen $A'B'C'D'$.
2. b) Calcula el área del cuadrilátero original y comprueba si la traslación ha modificado su valor. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de las isometrías.

Dados los puntos $A(-2, 3)$ y $B(4, 7)$, se les aplica una traslación $T_1$ de vector $\vec{u} = (k, 2k)$. Tras este movimiento, el punto $A$ se transforma en $A'$. Si sabemos que el módulo del vector $\vec{AA'}$ es $10$ unidades y que $k > 0$:

1. Halla el valor de $k$.

2. Calcula las coordenadas de $A'$ y $B'$.

3. Demuestra que el segmento $A'B'$ tiene la misma longitud que el segmento $AB$. ¿Qué propiedad de las traslaciones queda demostrada con esto?

En el plano cartesiano, tenemos una recta $s$ que pasa por los puntos $A(0, 2)$ y $B(2, 6)$. Aplicamos a esta recta una traslación de vector $\vec{v} = (1, 3)$.

1. a) Calcula las coordenadas de los puntos transformados $A'$ y $B'$.
2. b) Halla la pendiente de la recta original $s$ y de la recta trasladada $s'$. ¿Qué relación observas entre ellas?
3. c) ¿Existen vectores de traslación que dejen a la recta $s$ invariante (es decir, que la recta transformada coincida con la original)? Pon un ejemplo de uno de esos vectores.

Considera la recta $r$ cuya ecuación es $y = 2x - 3$. Sabemos que una traslación deja una recta invariante (es decir, la recta se transforma en sí misma) si el vector de traslación es paralelo a dicha recta.

1. Encuentra un vector de traslación $\vec{u} = (a, b)$ de módulo $\sqrt{20}$ que deje a la recta $r$ invariante.

2. Si aplicamos ese mismo vector $\vec{u}$ al punto $P(1, -1)$, que pertenece a la recta, ¿cuáles son las coordenadas del punto transformado $P'$? Comprueba analíticamente si $P'$ sigue perteneciendo a la recta $r$.

En un plano cartesiano, una figura se traslada primero mediante el vector $\vec{u} = (2, -3)$ y luego mediante un vector desconocido $\vec{v} = (v_x, v_y)$. La traslación resultante (composición) es una traslación que deja todos los puntos del eje de ordenadas (eje $Y$) situados ahora sobre la recta $x = 5$.

1. Determina el vector composición $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.

2. Halla las componentes del vector $\vec{v}$.

3. Si aplicamos la traslación inversa de $\vec{v}$ al punto $Q(0, 0)$, ¿en qué punto queda situado?

Dada la circunferencia de centro $C(3, -2)$ y radio $r = 4$ unidades:

1. a) Halla la ecuación o las coordenadas del centro $C'$ de la circunferencia trasladada según el vector $\vec{u} = (-5, 6)$.
2. b) ¿Cuál es el radio de la nueva circunferencia?
3. c) Si un punto $P(7, -2)$ pertenece a la circunferencia original, calcula las coordenadas de su punto homólogo $P'$ tras la traslación.

En el diseño de un videojuego, un personaje circular con centro en $C(x, y)$ y radio $R = 3$ debe esquivar un obstáculo. La ecuación inicial de su contorno es $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 9$.

El personaje se traslada mediante la composición de dos vectores: $\vec{u} = (7, 3)$ y $\vec{v} = (-2, 5)$.

1. Determina las coordenadas del centro $C$ antes y después de la traslación compuesta.

2. Escribe la ecuación de la circunferencia en su posición final.

3. Si el obstáculo es un muro vertical situado en la recta $x = 5$, explica razonadamente si el personaje choca con el muro tras realizar el movimiento.

Un objeto sufre dos traslaciones consecutivas. La primera está definida por el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y la segunda por el vector $\vec{v} = (3, -1)$. ¿Cuál es el vector de la traslación única que equivale a realizar las dos anteriores seguidas?

Un dron de vigilancia despega desde una base situada en el punto $A(-4, 1)$ de un sistema de coordenadas. Para realizar su primera patrulla, se desplaza siguiendo el vector de traslación $\vec{u} = (6, 3)$. Tras una pausa, realiza un segundo movimiento definido por el vector $\vec{v} = (-2, 5)$.

1. a) Calcula las coordenadas del punto final donde se encuentra el dron tras los dos movimientos.
2. b) Determina las componentes de un único vector $\vec{w}$ que represente el desplazamiento directo desde el punto de despegue hasta la posición final.

Un personaje de un videojuego se mueve por la pantalla siguiendo una trayectoria rectilínea. El programador ha definido su movimiento mediante la composición de tres traslaciones sucesivas:

1. $\vec{v_1} = (5, -2)$

2. $\vec{v_2} = (-3, 7)$

3. $\vec{v_3} = (a, b)$

Si el personaje comienza en el punto $(0, 0)$ y tras los tres movimientos termina en el punto $(4, 4)$, ¿cuáles deben ser las componentes del tercer vector $\vec{v_3}$?

Se dice que dos traslaciones son inversas si, al aplicarlas una tras otra, el punto final coincide con el punto inicial (se obtiene la identidad).

1. a) Si un objeto se ha trasladado según el vector $\vec{v} = (-7, 4)$, ¿cuál es el vector de la traslación inversa?
2. b) Si aplicamos al punto $M(x, y)$ la traslación $\vec{u} = (3, -2)$ y después su inversa, ¿cuáles son las coordenadas del punto resultante?
3. c) Un barco se desplaza desde el puerto $A(10, 20)$ hasta una boya $B$ mediante el vector $\vec{v} = (50, -30)$. Debido a una tormenta, debe regresar inmediatamente al puerto. ¿Qué vector de traslación debe seguir para volver exactamente al punto $A$?

Se define un movimiento en el plano como la composición de tres traslaciones sucesivas definidas por los vectores $\vec{a} = (3, -1)$, $\vec{b} = (-5, 4)$ y $\vec{c} = (2, -3)$.

1. Demuestra analíticamente que esta composición de movimientos equivale a la traslación identidad.

2. ¿Qué significa geométricamente que el resultado sea la identidad?

3. Si un cuadrado de área $16$ unidades cuadradas se somete a estas tres traslaciones, ¿cuál será su área final? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de las isometrías.

Un dron de vigilancia parte de una base situada en el punto $B(12, 15)$. Realiza un primer desplazamiento siguiendo el vector $\vec{u} = (-8, 4)$ para situarse sobre un objetivo. Tras completar la misión, recibe una orden de desplazamiento de emergencia mediante el vector $\vec{v} = (5, -10)$.

1. Calcula las coordenadas finales del dron tras ambos movimientos.

2. Determina el vector de traslación único $\vec{w}$ que permitiría al dron regresar directamente desde su posición final hasta la base $B$ en un solo movimiento.

3. Si cada unidad de la cuadrícula representa $10$ pies, calcula la distancia total (módulo) que recorrería en ese viaje de regreso.

Un equipo de arquitectos está diseñando un friso para una nueva escuela secundaria. El motivo básico es una letra "L" con vértices en $(0,0), (0,3), (1,3), (1,1), (2,1)$ y $(2,0)$.

1. a) Dibuja el motivo en papel cuadriculado.
2. b) Para generar el friso, deben aplicar sucesivamente la traslación de vector $\vec{w} = (3, 0)$. Escribe las coordenadas de los vértices del segundo y tercer motivo del friso.
3. c) ¿Cuál sería el vector de traslación necesario para pasar directamente del primer motivo al quinto?

Un arquitecto diseña un friso repitiendo un motivo poligonal. Los vértices del motivo básico son $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(3, 2)$ y $D(1, 2)$. Para generar el friso, aplica sucesivamente la traslación de vector $\vec{t} = (4, 0)$.

1. Calcula las coordenadas de los vértices del tercer motivo del friso (el obtenido tras aplicar la traslación dos veces consecutivas al motivo original).

2. Si queremos que el friso sea una composición de dos traslaciones diferentes, $\vec{t_1}$ y $\vec{t_2}$, de modo que $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4, 0)$ y que la primera traslación $\vec{t_1}$ desplace el motivo hacia arriba $2$ unidades, ¿cuál debe ser el vector $\vec{t_1}$ y el vector $\vec{t_2}$?

Un triángulo equilátero tiene sus vértices en los puntos $A(0, \sqrt{3})$, $B(-1, 0)$ y $C(1, 0)$. Se somete a una traslación que lleva el baricentro del triángulo al origen de coordenadas $O(0, 0)$.

Nota: El baricentro de un triángulo con vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ se calcula como $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.

1. Calcula las coordenadas del baricentro original $G$.

2. Determina el vector de traslación $\vec{v}$ necesario.

3. Calcula las nuevas coordenadas de los vértices $A', B'$ y $C'$.