Área de superficie de poliedros
Emma está construyendo un modelo de cartón del Luxor, el hotel en forma de pirámide de Las Vegas, y además necesita envolver una caja de regalo. ¿Cuánto cartón necesita el modelo? ¿Cuánto papel de regalo necesita la caja? Ambas preguntas piden el área de superficie de un poliedro: la suma de las áreas de todas sus caras. El truco es desarmar el sólido y verlo plano.
Redes y área de superficie
Si cortas a lo largo de algunas aristas de un poliedro y lo aplanas sobre una mesa, obtienes su red (net). La red muestra todas las caras a la vez, así que el área de superficie del sólido es simplemente el área de su red.
Las áreas se miden en unidades cuadradas (in.², ft², cm²), porque estás sumando regiones planas.
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material…
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifique de qué poliedro se trata y calcule su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifique de qué poliedro se trata y calcule su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
Área de superficie de un prisma
Cuando desenrollas las caras laterales de un prisma recto, forman un solo rectángulo grande. Su ancho es el perímetro de la base y su altura es la altura del prisma.
A veces te dan el volumen en lugar de la altura. Recuerda que $V = B \cdot h$, así que $h = V \div B$. Halla primero $h$ y luego usa $L = P \cdot h$.
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de…
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de…
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27,7\text{ cm}^2$, calcule el área total del estuche.
Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base…
Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base mide $4\text{ cm}$.
(Pista: Utiliza primero la fórmula del volumen para encontrar la altura del prisma).
Bases que son polígonos regulares
Muchos prismas tienen como base un polígono regular: un pentágono, un hexágono, un octágono. La apotema $a$ de un polígono regular es la distancia desde su centro hasta el punto medio de un lado. Para hallar el área de la base, divide el polígono en $n$ triángulos idénticos. Cada triángulo tiene base $s$ (el lado) y altura $a$.
$$B = n \cdot \tfrac{1}{2} s a = \tfrac{1}{2} P a$$Cuando no te dan la apotema, la puedes hallar con el teorema de Pitágoras. En un hexágono regular, la distancia del centro a un vértice es igual al lado $s$, así que el triángulo rectángulo de abajo tiene catetos $a$ y $s/2$ e hipotenusa $s$.
Si el problema te da directamente el perímetro y la apotema, sáltate el paso de Pitágoras y sustitúyelos en $B = \tfrac{1}{2} P a$.
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura…
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25\text{ cm}$. Si quieres forrar todas las caras exteriores (incluidas las dos bases) con una lámina protectora, ¿cuántas pulgadas cuadradas de material necesitarás?
(Nota: Recuerda que para calcular el área de la base necesitarás hallar primero la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).
Se quiere fabricar un bote de basura metálico sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de…
Se quiere fabricar un bote de basura metálico sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9,66\text{ cm}$. La altura del bote de basura es de $40\text{ cm}$. Calcula la superficie total de metal necesaria para su fabricación.
Bases con forma de rombo y de trapecio
Para estas bases las caras laterales son rectángulos, pero primero debes hallar las longitudes de los lados de la base. En ambos casos todo se reduce a un triángulo rectángulo.
-
Rombo. Las diagonales se cruzan en ángulo recto y se cortan por la mitad. Cada lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las mitades de cada diagonal. El área es $B = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$.
-
Trapecio isósceles. Traza una perpendicular desde la esquina de arriba. El cateto horizontal es $\dfrac{\text{base mayor} - \text{base menor}}{2}$ y el cateto vertical es la altura. El lado inclinado es la hipotenusa. El área es $B = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)\,h$.
Algunos problemas mezclan unidades, por ejemplo pulgadas para la base, metros para la altura y una respuesta en pies cuadrados. La regla siempre es la misma: convierte todas las longitudes a la unidad de la respuesta primero y luego calcula. Estos son los datos que necesitas:
| Conversión | Uso |
|---|---|
| $1 \text{ ft} = 12 \text{ in.}$ | pulgadas → pies: divide entre 12 |
| $1 \text{ m} \approx 3.28 \text{ ft}$ | metros → pies: multiplica por 3.28 |
Calcule el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. (Pista: Primero debe…
Calcule el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.
(Pista: Primero debe hallar el lado del rombo usando el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de…
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Calcula el área total del prisma. Pista: Necesitarás calcular primero la longitud de los lados oblicuos del trapecio de la base usando el teorema de Pitágoras.
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y…
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y $120\text{ cm}$. Si la altura del contenedor es de $2\text{ metros}$, calcula el área total de la superficie exterior del contenedor en pies cuadrados ($m^2$).
La diagonal del espacio de una caja
La diagonal del espacio de un prisma rectangular une dos esquinas opuestas y pasa por el interior de la caja. La hallas usando el teorema de Pitágoras dos veces: primero en el piso y luego en un triángulo rectángulo vertical.
¿Por qué? La diagonal del piso $f$ cumple $f^2 = l^2 + w^2$. La diagonal del espacio $d$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $f$ y $h$, así que $d^2 = f^2 + h^2 = l^2 + w^2 + h^2$.
Cuando te dan la diagonal y falta una dimensión, sustituye lo que sabes y despeja la incógnita. Si el problema dice que una dimensión es el doble de otra, escribe ambas con la misma letra antes de sustituir.
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de…
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de exactamente $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distancia máxima entre dos esquinas opuestas) mide exactamente $7\text{ m}$, calcula el área total de las paredes y el techo (sin contar el piso) que debe cubrirse con pintura aislante.
Área de superficie de una pirámide
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos idénticos. Cada uno tiene base $s$ (un lado de la base) y altura $\ell$, la altura inclinada (slant height) de la pirámide. La altura inclinada es la distancia del vértice superior al punto medio de una arista de la base, medida sobre una cara. Algunos problemas la llaman apotema de la pirámide.
$$L = \frac{P \cdot \ell}{2} \qquad\qquad SA = L + B$$La altura inclinada $\ell$ no es la altura $h$ de la pirámide. La altura baja en línea recta hasta el centro de la base. Si te dan $h$, construye un triángulo rectángulo con catetos $h$ y $s/2$ (la mitad de la arista de la base):
Un tragaluz con forma de pirámide no tiene base (está abierto hacia el cuarto), así que para el vidrio solo necesitas $L$. Una pirámide cerrada necesita $SA = L + B$.
Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras…
Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la…
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).
Área de superficie de un tronco de pirámide
Un tronco de pirámide (frustum) es lo que queda cuando cortas la punta de una pirámide con un corte paralelo a la base. Sus dos bases son polígonos semejantes y sus caras laterales son trapecios. En un tronco cuadrado regular, cada trapecio tiene área $\tfrac{1}{2}(s_B + s_b)\,\ell$, donde $\ell$ es la altura inclinada del tronco. Al sumar las cuatro caras se obtiene
$$L = \frac{(P_B + P_b)\cdot \ell}{2} \qquad\qquad SA = L + B_{\text{mayor}} + B_{\text{menor}}$$Si te dan la altura vertical $h$ en lugar de $\ell$, dibuja la vista lateral. El cateto horizontal del triángulo rectángulo es $\dfrac{s_B - s_b}{2}$.
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de…
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la…
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la base menor mide $4\text{ cm}$. Si la altura del frasco es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de vidrio necesaria para fabricar el frasco (incluyendo ambas bases). Para ello, deberás calcular primero la apotema del tronco de pirámide utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio.
Poliedros regulares
Un poliedro regular tiene todas sus caras iguales, cada una un polígono regular, y el mismo número de caras en cada vértice. Solo existen cinco.
| Sólido | Caras | Forma de una cara | Vértices | Aristas |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | 4 | triángulo | 4 | 6 |
| Cubo | 6 | cuadrado | 8 | 12 |
| Octaedro | 8 | triángulo | 6 | 12 |
| Dodecaedro | 12 | pentágono | 20 | 30 |
| Icosaedro | 20 | triángulo | 12 | 30 |
Como todas las caras son idénticas:
$$SA = (\text{número de caras}) \times (\text{área de una cara})$$Para un triángulo equilátero de lado $s$, la altura es $\sqrt{s^2 - (s/2)^2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$. Así que el área es $\tfrac{1}{2} \cdot s \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$:
$$A_{\text{triángulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\, s^2$$Si el problema da un precio por pulgada cuadrada (por ejemplo, un baño de plata), multiplica el área de superficie por ese precio para obtener el costo.
Cuando la respuesta deba darse "en términos de $\sqrt{3}$", deja el radical en la respuesta en lugar de usar un decimal, como en $288\sqrt{3}$.
Un cristalero debe fabricar un vidrio para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de…
Un cristalero debe fabricar un vidrio para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15,6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de vidrio tendrá la lámpara completa?
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$0,05\text{ \$}$ por cada…
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$0,05\text{ \$}$ por cada pulgada cuadrada. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?
(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares…
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares regulares por su base, calcula el área total que la hormiga puede recorrer. Para ello, recuerda que todas las caras de un octaedro regular son triángulos equiláteros. Expresa el resultado en función de $\sqrt{3}$.
La fórmula de Euler
Cuenta las partes de cualquier poliedro convexo: $F$ caras, $V$ vértices (esquinas) y $E$ aristas. Aparece un patrón sorprendente.
Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal. Indica claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$)…
Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal. Indica claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$) que has contado.
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos…
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos equiláteros. ¿Podrías deducir cuántas caras tiene este poliedro y cuál es el número total de aristas? Demuestra tu respuesta utilizando la relación matemática de Euler.
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de…
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de aristas es de $12$, deduce cuántas caras tiene y propón el nombre de un poliedro regular que cumpla esta condición. Una vez identificado, calcula su área total si su arista mide $\sqrt{10}\text{ cm}$.
Sólidos combinados y cortados
A veces un sólido se construye pegando dos sólidos, o cortándole una pieza o sacándole una parte. Para el área de superficie, hazte una sola pregunta: ¿qué caras están por fuera?
-
Cuando pegas dos sólidos por una cara, esa cara queda oculta. No la cuentes para ninguno de los dos sólidos.
-
Cuando cortas una pieza, las caras que desaparecen se restan y las caras nuevas que aparecen en el corte se suman.
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide…
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide con la misma base y la misma altura. Calcula el área total de la superficie de esta pieza (incluyendo el "hueco" interior dejado por la pirámide).
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del…
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del hexágono de la base mide $6\text{ cm}$, la altura del prisma es de $15\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie exterior de la pieza completa (ten en cuenta que la base donde se unen ambos cuerpos no cuenta como superficie exterior).
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una…
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una pequeña pirámide triangular (llamada tetraedro trunco). Calcula el área total del sólido que queda después de retirar esa pequeña pirámide en esa esquina.
De vuelta al inicio: Para la caja de regalo de Emma (un prisma cerrado) necesita el área de superficie: el área lateral más dos bases. Para el modelo de pirámide con el fondo abierto solo necesita el área lateral, formada por triángulos cuya altura es la altura inclinada.