Simplificación de radicales

Muchas veces nos encontramos números que no están factorizados. El primer paso siempre debe ser descomponer el número en factores primos.

Por ejemplo, para simplificar $\sqrt{12}$, primero pensamos que $12 = 2^2 \cdot 3$. Como el $2$ está elevado al cuadrado, puede "escapar" de la raíz cuadrada.

Descompón en factores primos y extrae todo lo que puedas de estas raíces cuadradas:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Tenemos un terreno cuadrado. Sabemos que su área es de $72 \text{ m}^2$, pero queremos saber cuánto mide exactamente su lado expresado de la forma más sencilla posible (extrayendo factores).

Recuerda que si el Área de un cuadrado es $l^2$, entonces el lado es $l = \sqrt{\text{Área}}$.

1. Factoriza el número 72.

2. Escribe $\sqrt{72}$ usando esos factores.

3. Extrae los números que están elevados al cuadrado.

Para extraer factores de un radical, dividimos el exponente del radicando entre el índice de la raíz.

• El cociente es el exponente del factor que sale fuera.

• El resto es el exponente del factor que se queda dentro.

Calcula la extracción de factores de estas potencias descomponiendo mentalmente el exponente o realizando la división:

1. a) $\sqrt{5^7}$ (Divide 7 entre 2)
2. b) $\sqrt[3]{2^8}$ (Divide 8 entre 3)
3. c) $\sqrt[4]{3^9}$ (Divide 9 entre 4)

Simplifica los siguientes radicales. Fíjate bien en el índice de la raíz, ya que en este ejercicio mezclamos raíces cuadradas (índice 2) y raíces cúbicas (índice 3).

Recuerda:

• En $\sqrt{\quad}$, hacemos grupos de 2.

• En $\sqrt[3]{\quad}$, hacemos grupos de 3.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales numéricos. Para ello, primero deberás realizar la descomposición factorial de los números que hay dentro de la raíz.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Calcula y simplifica el siguiente radical descomponiendo el radicando en factores primos. Ten cuidado, ya que el radicando es un número negativo y el índice es impar, por lo que el resultado existe en los números reales. Extrae todos los factores posibles fuera de la raíz.

$$ \sqrt[3]{-54000} $$

Imagina que los exponentes son como grupos de amigos. El índice de la raíz te dice de cuánto en cuánto tienen que agruparse para poder salir de la "casa" (el radical). Si es una raíz cuadrada (índice 2), salen en parejas. Si es cúbica (índice 3), salen en tríos.

Observa el siguiente esquema que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Hay un grupo de 3 que puede salir fuera como una sola $x$, y sobra una que se queda dentro.

Siguiendo esta lógica, extrae todos los factores posibles de las siguientes raíces:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

A veces tenemos números y letras mezclados dentro de una raíz. El procedimiento es el mismo: trabajamos con el número por un lado y con cada letra por otro.

Simplifica los siguientes radicales extrayendo todos los factores posibles:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

Simplifica los siguientes radicales que contienen variables. Recuerda que para poder extraer una variable, su exponente debe ser igual o mayor que el índice de la raíz.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

No solo podemos extraer factores del numerador, también podemos hacerlo del denominador si tenemos fracciones dentro de la raíz.

Si tenemos $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podemos sacar factores de arriba y de abajo de forma independiente. En este ejemplo, $b^2$ sale fuera como $b$ en el denominador, y de $a^3$ sacamos una $a$ en el numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Intenta simplificar estas expresiones:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Pista: factoriza el 27 y déjalo en el denominador)

Simplifica las siguientes fracciones con radicales extrayendo factores tanto del numerador como del denominador. Si es posible, simplifica la fracción resultante:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Simplifica la siguiente expresión algebraica con radicales. Para ello, deberás utilizar las propiedades de las potencias para agrupar términos semejantes dentro de la raíz antes de extraer los factores. Recuerda que un exponente negativo equivale a la inversa de la base con exponente positivo.

$$ \sqrt[4]{\frac{32 \cdot x^6 \cdot y^{-3}}{81 \cdot z^5}} $$

Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas realizando la extracción de factores necesaria:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

A veces, antes de extraer factores, es necesario operar dentro del radicando. En este caso, no puedes extraer factores directamente porque hay una suma y una resta. Primero, saca factor común dentro de la raíz y, después, extrae fuera todo lo que sea posible.

$$ \sqrt{18x^5 + 50x^5 - 8x^5} $$

El siguiente polinomio dentro de la raíz cuadrada corresponde a una identidad notable (el cuadrado de un binomio o trinomio). Factoriza el polinomio dentro del radicando y simplifica la expresión extrayendo los factores resultantes.

$$ \sqrt{9x^2 - 30x + 25} $$

En muchas fórmulas científicas aparecen potencias de 10 muy grandes o muy pequeñas dentro de raíces. Simplifica las siguientes expresiones extrayendo potencias de 10 fuera del radical:

1. a) $\sqrt{1,44 \cdot 10^7}$
2. b) $\sqrt[3]{2 \cdot 10^{14}}$
3. c) $\sqrt{0,00003}$ (Ayuda: exprésalo primero como $3 \cdot 10^{-5}$)

En notación científica, para extraer factores de una raíz, a veces necesitamos ajustar el exponente de la potencia de 10. Calcula el valor exacto de la siguiente raíz cuadrada, extrayendo todos los factores posibles y dejando el resultado expresado en notación científica simplificada.

$$ \sqrt{1,2 \cdot 10^7} $$

Simplifica el siguiente radical anidado. Primero, convierte la expresión en una sola raíz multiplicando los índices y expresa el radicando como potencia. Finalmente, extrae todos los factores posibles.

$$ \sqrt{\sqrt[3]{64 \cdot a^{13} \cdot b^7}} $$

Vamos a jugar al proceso inverso para comprobar si has entendido la extracción. Si yo tengo un factor fuera de la raíz y quiero meterlo dentro, tengo que elevarlo al índice de la raíz.

Por ejemplo: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Relaciona en tu cuaderno cada expresión simplificada de la izquierda con su raíz original de la derecha (no hace falta que calcules, solo razona qué número ha salido):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Calcule el volumen de un cubo sabiendo que su arista mide $a = \sqrt[3]{16x^4}$. Exprese el resultado final simplificado, extrayendo todos los factores posibles de la raíz resultante. Recuerde que el volumen de un cubo es $V = a^3$, pero en este ejercicio queremos que exprese primero $a$ simplificada y luego calcule el volumen operando con radicales.

$$ \text{Calcula } V \text{ si } a = \sqrt[3]{16x^4} $$

Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes. A simple vista, los siguientes radicales parecen diferentes. Extrae factores de cada uno de ellos para comprobar si su parte radical es la misma y, de ser así, exprésalos de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Tenemos un tanque de agua con forma cúbica. Sabemos que su volumen total es de $686 \text{ m}^3$. Calcula la longitud de la arista del tanque expresando el resultado mediante un radical simplificado (extrayendo factores).

Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $10 \text{ cm}$ y $5 \text{ cm}$. Aplica el Teorema de Pitágoras y expresa el resultado final extrayendo todos los factores posibles de la raíz.

Tenemos un terreno cuadrado cuya superficie es de $720 \text{ m}^2$. Queremos instalar una tubería de riego que cruce el terreno en diagonal. Calcula la longitud exacta de la tubería expresando el resultado como un radical simplificado (extrayendo el máximo número de factores).