Tablas de frecuencias
Emma les preguntó a 20 compañeros cuántas veces fueron al cine el mes pasado. Obtuvo una lista desordenada: 0, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 0, 1. A simple vista no se ve ningún patrón. El primer paso de cualquier proyecto de estadística es ordenar y contar, y la herramienta para eso es la tabla de frecuencias.
Poblaciones, muestras y variables
Antes de hacer una tabla, decide a quién estudias y qué vas a medir.
Para conocer la opinión sobre el uso de teléfonos celulares en el aula, se ha realizado una encuesta a $45$ estudiantes de una escuela secundaria que tiene un total de…
Para conocer la opinión sobre el uso de teléfonos celulares en el aula, se ha realizado una encuesta a $45$ estudiantes de una escuela secundaria que tiene un total de $600$ alumnos. Indica cuáles son los elementos fundamentales de este estudio estadístico:
- a) La población objeto de estudio.
- b) La muestra seleccionada.
- c) El individuo.
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas basándote en los datos de una aplicación de música: a)…
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas basándote en los datos de una aplicación de música:
- a) El género musical de las canciones (Pop, Rock, Trap...).
- b) El número de "likes" que tiene una lista de reproducción.
- c) El tiempo de duración de una canción en segundos.
- d) El nombre del artista o grupo.
- e) La capacidad de almacenamiento ocupada por la aplicación en el celular (en MB).
Se desea realizar un estudio sobre el tipo de contenido más visto en una conocida plataforma de streaming por los adolescentes de una ciudad. Para ello, se pregunta a…
Se desea realizar un estudio sobre el tipo de contenido más visto en una conocida plataforma de streaming por los adolescentes de una ciudad. Para ello, se pregunta a $150$ estudiantes de $3^\text{o}$.º grado de tres escuelas secundarias diferentes elegidas al azar. Identifica los siguientes elementos del estudio estadístico:
- a) Población.
- b) Muestra.
- c) Individuo.
- d) Tipo de variable estadística.
Frecuencia, frecuencia relativa y porcentaje
Para contar sin perder el lugar, recorre los datos una sola vez y haz una marca de conteo por cada valor. Agrupa las marcas de cinco en cinco: cuatro rayas y una diagonal que las cruza.
Prueba tus propios datos en el interactivo y observa cómo cambian la media y la dispersión.
Un grupo de amigos anota el número de veces que han ido al cine en el último mes. Los datos obtenidos son: $2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.…
Un grupo de amigos anota el número de veces que han ido al cine en el último mes. Los datos obtenidos son:
$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.
Organiza estos datos en una tabla de frecuencias que incluya:
-
El recuento (usando marcas de conteo).
-
La frecuencia absoluta ($f_i$).
En una clase de 8.º grado se ha preguntado por el deporte favorito de los alumnos. Completa los valores que faltan en la siguiente tabla de frecuencias: | Deporte |…
En una clase de 8.º grado se ha preguntado por el deporte favorito de los alumnos. Completa los valores que faltan en la siguiente tabla de frecuencias:
| Deporte | Frecuencia absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Porcentaje (%) |
|---|---|---|---|
| Básquetbol | $6$ | $0,24$ | $24\%$ |
| Fútbol | $10$ | ||
| Tenis | $4$ | $0,16$ | |
| Natación | $0,20$ | $20\%$ | |
| Total | $25$ | $1,00$ | $100\%$ |
Un grupo de $25$ jóvenes ha anotado el número de veces que han ido al cine en el último trimestre, obteniendo los siguientes datos:…
Un grupo de $25$ jóvenes ha anotado el número de veces que han ido al cine en el último trimestre, obteniendo los siguientes datos:
$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$
Organiza esta información en una tabla de frecuencias que incluya: frecuencia absoluta ($n_i$), frecuencia relativa ($h_i$) y frecuencia porcentual ($\%$).
Cómo hallar valores faltantes
Las tablas a menudo tienen huecos. Las tres cantidades $f$, $h$ y $N$ están relacionadas, así que un hueco casi siempre se puede llenar con las demás.
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias de un barrio. Por un error, se han borrado algunos datos de la tabla. Sabiendo que se…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias de un barrio. Por un error, se han borrado algunos datos de la tabla. Sabiendo que se encuestó a un total de $40$ familias, calcula los valores que faltan:
| Nº Mascotas | Familias ($f_i$) | Frecuencia Relativa ($h_i$) |
|---|---|---|
| $0$ | $12$ | $0,30$ |
| $1$ | $0,45$ | |
| $2$ | $7$ | |
| $3$ | $3$ | $0,075$ |
| Total | $40$ | $1,00$ |
Completa los huecos de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta: | Dato ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) | Frec. relativa ($h_i$) | Frec.…
Completa los huecos de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta:
| Dato ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) | Frec. relativa ($h_i$) | Frec. porcentual ($\%$) |
|---|---|---|---|
| $1$ | $8$ | $0,20$ | |
| $2$ | $0,35$ | ||
| $3$ | $12$ | ||
| $4$ | $15\%$ | ||
| Total | $N=$ | $1,00$ | $100\%$ |
Se ha realizado una encuesta a los empleados de una oficina sobre el número de idiomas que hablan. Sabemos que el $40\%$ habla solo un idioma, el $35\%$ habla dos…
Se ha realizado una encuesta a los empleados de una oficina sobre el número de idiomas que hablan. Sabemos que el $40\%$ habla solo un idioma, el $35\%$ habla dos idiomas, el $20\%$ habla tres idiomas y el resto habla cuatro idiomas.
Si en la oficina trabajan un total de $60$ personas, construye la tabla de frecuencias completa (absoluta, relativa y porcentual). ¿Cuántas personas hablan exactamente cuatro idiomas?
Frecuencia acumulada
A veces la pregunta es: "¿Cuántos fueron como máximo dos veces?". La frecuencia acumulada la responde.
Se ha realizado un estudio sobre el número de libros leídos por los alumnos de un club de lectura durante el verano. Observa la tabla y responde a las preguntas…
Se ha realizado un estudio sobre el número de libros leídos por los alumnos de un club de lectura durante el verano. Observa la tabla y responde a las preguntas utilizando las frecuencias acumuladas:
| Libros leídos ($x_i$) | Alumnos ($f_i$) | Frecuencia acumulada ($F_i$) |
|---|---|---|
| $0$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $5$ | $7$ |
| $2$ | $8$ | $15$ |
| $3$ | $6$ | $21$ |
| $4$ | $4$ | $25$ |
- a) ¿Cuántos alumnos han leído exactamente $2$ libros?
- b) ¿Cuántos alumnos han leído $2$ libros o menos?
- c) ¿Cuál es el número total de alumnos que participan en el estudio?
En una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias en un vecindario, se han obtenido los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias…
En una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias en un vecindario, se han obtenido los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
| N.º de mascotas ($x_i$) | N.º de familias ($n_i$) |
|---|---|
| $0$ | $12$ |
| $1$ | $18$ |
| $2$ | $14$ |
| $3$ | $6$ |
Calcula la columna de las frecuencias absolutas acumuladas ($N_i$) y las frecuencias relativas acumuladas ($H_i$). ¿Qué porcentaje de familias tienen como máximo $2$ mascotas?
Una empresa de mensajería estudia el peso de los paquetes que envía diariamente. Ha organizado la información en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas relativas…
Una empresa de mensajería estudia el peso de los paquetes que envía diariamente. Ha organizado la información en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas relativas ($H_i$):
| Peso (lb) | $f_i$ | $h_i$ | $H_i$ |
|---|---|---|---|
| $[0, 2)$ | $20$ | $0,40$ | $0,40$ |
| $[2, 4)$ | $15$ | $0,30$ | $0,70$ |
| $[4, 6)$ | $10$ | $0,20$ | $0,90$ |
| $[6, 8)$ | $5$ | $0,10$ | $1,00$ |
Contesta a las siguientes preguntas a partir de la tabla:
- a) ¿Qué porcentaje de paquetes pesan menos de $4$ lb?
- b) ¿Qué frecuencia relativa representan los paquetes que pesan $6$ lb o más?
- c) ¿Cuál es el número total de paquetes analizados en este estudio?
Datos agrupados y puntos medios
Cuando una variable es continua (o discreta con muchos valores distintos), contar cada valor no sirve de mucho. En su lugar, agrupamos los datos en intervalos del mismo ancho.
Un intervalo como $[10, 20)$ incluye el 10 pero no el 20. El corchete cuadrado significa "incluido" y el paréntesis redondo significa "no incluido". El último intervalo de una tabla suele ser cerrado, como $[12, 16]$, para que incluya el valor más grande.
-
El punto medio de un intervalo es el número que está a la mitad entre sus extremos: $\dfrac{a + b}{2}$. Algunos problemas lo llaman marca de clase y lo escriben $x_i$. Representa a todos los datos de ese intervalo.
-
El ancho de un intervalo es $b - a$.
Para un estudio sobre el peso de las mochilas de los estudiantes, se han agrupado los datos en intervalos de $1$ lb. Calcula la marca de clase ($x_i$) para cada uno de…
Para un estudio sobre el peso de las mochilas de los estudiantes, se han agrupado los datos en intervalos de $1$ lb. Calcula la marca de clase ($x_i$) para cada uno de los intervalos de la tabla:
| Peso (lb) | Marca de clase ($x_i$) | Frecuencia ($f_i$) |
|---|---|---|
| $[2, 3)$ | $4$ | |
| $[3, 4)$ | $12$ | |
| $[4, 5)$ | $9$ | |
| $[5, 6)$ | $5$ |
Se ha medido el tiempo, en minutos, que tardan $20$ alumnos en llegar desde su casa a la escuela secundaria. Los datos son:…
Se ha medido el tiempo, en minutos, que tardan $20$ alumnos en llegar desde su casa a la escuela secundaria. Los datos son:
$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$
Construye una tabla de frecuencias agrupando los datos en $5$ intervalos de igual amplitud, comenzando en $5$ y terminando en $30$. Incluye en la tabla las marcas de clase ($x_i$) y las frecuencias absolutas ($n_i$).
Un nutricionista analiza la cantidad de azúcar (en onzas) por cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrescos distintos. Los resultados se han agrupado en la siguiente tabla: |…
Un nutricionista analiza la cantidad de azúcar (en onzas) por cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrescos distintos. Los resultados se han agrupado en la siguiente tabla:
| Cantidad de azúcar ($g$) | Marca de clase ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) |
|---|---|---|
| $[0, 4)$ | $5$ | |
| $[4, 8)$ | $12$ | |
| $[8, 12)$ | $18$ | |
| $[12, 16]$ | $5$ |
- a) Completa la columna de marcas de clase.
- b) Calcula la columna de frecuencias relativas ($h_i$).
- c) Indica cuántos refrescos tienen $8$ onzas de azúcar o más.
Ángulos para una gráfica circular
Una tabla de frecuencias se puede convertir en una gráfica circular (de pastel). Un círculo completo mide $360^\circ$, y cada categoría recibe una parte igual a su frecuencia relativa.
En una clase de Educación Física se ha preguntado a los alumnos por su deporte favorito fuera del horario escolar. Los resultados son: Fútbol: $12$ alumnos. Básquetbol:…
En una clase de Educación Física se ha preguntado a los alumnos por su deporte favorito fuera del horario escolar. Los resultados son:
-
Fútbol: $12$ alumnos.
-
Básquetbol: $8$ alumnos.
-
Natación: $6$ alumnos.
-
Tenis: $4$ alumnos.
Crea una tabla que recoja las frecuencias absolutas y calcula los grados necesarios para representar estos datos en un diagrama de sectores circular (amplitud del ángulo central).
Cómo reconstruir una tabla a partir de pistas
Los problemas más difíciles solo dan algunos datos de la tabla y pistas con palabras. Usa la caja de herramientas siguiente, una pista a la vez.
A veces la tabla da frecuencias relativas acumuladas $H_i$ con algunas faltantes, más una pista de que dos grupos tienen el mismo tamaño. Convierte cada $H$ en un conteo y luego usa la pista.
Se dispone de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta $X$ que representa el número de veces que un grupo de alumnos ha ido al cine este…
Se dispone de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta $X$ que representa el número de veces que un grupo de alumnos ha ido al cine este mes. Sin embargo, las frecuencias absolutas $f_2$ y $f_3$ se han borrado.
| $x_i$ | $f_i$ | $F_i$ | $H_i$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 5 | $0,125$ |
| 1 | |||
| 2 | 31 | ||
| 3 | 9 | $1,000$ |
Calcula el número total de datos ($N$) y las frecuencias que faltan para completar la tabla. Justifica cada paso utilizando las propiedades de las frecuencias acumuladas y relativas.
En una tienda de videojuegos han realizado un estudio sobre el número de periféricos (controles, teclados, mouses) que compran los clientes en una sola visita. Sin…
En una tienda de videojuegos han realizado un estudio sobre el número de periféricos (controles, teclados, mouses) que compran los clientes en una sola visita. Sin embargo, se ha perdido parte de la información de la tabla de frecuencias. Sabemos que el estudio se realizó sobre un total de $N = 80$ clientes.
Completa los datos que faltan en la tabla sabiendo que la frecuencia absoluta de comprar 2 periféricos es el doble que la de comprar 4, y que la frecuencia relativa acumulada de comprar 3 periféricos o menos es de $0,875$.
| Periféricos ($x_i$) | Freq. absoluta ($f_i$) | Freq. relativa ($h_i$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) | Freq. relativa acumulada ($H_i$) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | |||
| 2 | ||||
| 3 | 16 | |||
| 4 | ||||
| 5 | 6 |
Para organizar un torneo de e-sports, la organización analiza las horas semanales que dedican los jóvenes de un club a entrenar. La siguiente tabla de frecuencias…
Para organizar un torneo de e-sports, la organización analiza las horas semanales que dedican los jóvenes de un club a entrenar. La siguiente tabla de frecuencias relativas acumuladas ($H_i$) muestra la distribución, pero faltan los datos de las categorías centrales.
Si sabemos que hay el mismo número de jóvenes que entrenan "De 5 a 10 horas" que jóvenes que entrenan "De 15 a 20 horas", y que el club tiene un total de $120$ socios, calcula cuántos socios entrenan exactamente en cada uno de los intervalos de la tabla.
| Horas de entrenamiento | Freq. relativa acumulada ($H_i$) |
|---|---|
| $[0, 5)$ | $0,15$ |
| $[5, 10)$ | |
| $[10, 15)$ | $0,65$ |
| $[15, 20)$ | |
| $[20, 25]$ | $1,00$ |
Cuando los datos cambian
Los datos reales se corrigen o se amplían. Para actualizar una tabla, trabaja primero con las frecuencias $f$ y luego vuelve a calcular las columnas acumulada y relativa.
En un estudio sobre el consumo de agua por vivienda en un vecindario, se han obtenido los siguientes datos de frecuencias acumuladas, pero se han omitido las frecuencias…
En un estudio sobre el consumo de agua por vivienda en un vecindario, se han obtenido los siguientes datos de frecuencias acumuladas, pero se han omitido las frecuencias absolutas individuales.
| Consumo ($m^3$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) |
|---|---|
| $[0, 10)$ | $12$ |
| $[10, 20)$ | $30$ |
| $[20, 30)$ | $65$ |
| $[30, 40)$ | $90$ |
| $[40, 50]$ | $100$ |
Se ha decidido que las viviendas que consumen más de $30 m^3$ paguen un recargo. Sin embargo, tras una revisión, se descubre que $10$ viviendas del intervalo $[20, 30)$ realmente consumían $32 m^3$. Calcula la nueva tabla de frecuencias relativas porcentuales ($\%$) corregida y determina qué porcentaje del total de viviendas deberá pagar el recargo finalmente.
Un gobierno municipal analiza la edad de los usuarios de un centro deportivo. Los datos de los primeros $160$ usuarios se resumen en esta tabla de frecuencias…
Un gobierno municipal analiza la edad de los usuarios de un centro deportivo. Los datos de los primeros $160$ usuarios se resumen en esta tabla de frecuencias acumuladas:
| Edad | $F_i$ |
|---|---|
| $[0, 18)$ | $40$ |
| $[18, 35)$ | $95$ |
| $[35, 60)$ | $140$ |
| $[60, 85]$ | $160$ |
Si durante la tarde se inscriben $40$ nuevos usuarios, todos ellos pertenecientes al grupo de edad de $[18, 35)$, ¿cómo varía la tabla de frecuencias relativas? Calcula la tabla de frecuencias relativas porcentuales ($\%$) resultante tras las nuevas inscripciones y comenta cómo ha afectado este cambio a la importancia relativa del grupo de mayores de $60$ años.
La media a partir de una tabla
Una tabla de frecuencias tiene información suficiente para hallar la media sin volver a la lista original.
Cuando una tabla solo da puntos medios, reconstruye primero los intervalos.
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas en $200$ familias. Los resultados se presentan en la siguiente tabla incompleta de frecuencias relativas…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas en $200$ familias. Los resultados se presentan en la siguiente tabla incompleta de frecuencias relativas ($h_i$).
| Nº Mascotas | $h_i$ |
|---|---|
| 0 | $0,35$ |
| 1 | $x$ |
| 2 | $y$ |
| 3 | $0,12$ |
| 4 o más | $0,08$ |
Calcula los valores de $x$ e $y$ sabiendo que la media del número de mascotas es exactamente $1,25$ (para el intervalo "4 o más" utiliza el valor $4$ como marca de clase). Una vez hallados, construye la tabla de frecuencias absolutas completa.
Un laboratorio de tecnología está probando la duración en horas de una nueva batería para drones. Han agrupado los resultados en una tabla de frecuencias de variable…
Un laboratorio de tecnología está probando la duración en horas de una nueva batería para drones. Han agrupado los resultados en una tabla de frecuencias de variable continua, pero solo nos han proporcionado las marcas de clase ($x_i$) y algunas frecuencias.
Se sabe que todos los intervalos tienen la misma amplitud y que el límite inferior del primer intervalo es $1,2$ horas. Reconstruye la tabla completa (intervalos, marcas de clase y frecuencias) sabiendo que la frecuencia absoluta acumulada del tercer intervalo es $42$ y que el total de drones probados es $N = 50$.
| Marca de clase ($x_i$) | Freq. absoluta ($f_i$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) |
|---|---|---|
| $1,45$ | 8 | |
| $1,95$ | 14 | |
| $2,45$ | ||
| $2,95$ | ||
| $3,45$ | 3 |
Muestras estratificadas
Si una escuela tiene más alumnos de 7.º grado que de 10.º, una muestra aleatoria de toda la escuela podría incluir muy pocos de 10.º. Una muestra aleatoria estratificada evita esto. Divide la población en grupos llamados estratos y toma una muestra de cada uno en proporción a su tamaño.
Una escuela secundaria quiere realizar una encuesta representativa sobre el uso de libros digitales. La escuela tiene $400$ alumnos en 6.º grado, $350$ en 7.º grado,…
Una escuela secundaria quiere realizar una encuesta representativa sobre el uso de libros digitales. La escuela tiene $400$ alumnos en 6.º grado, $350$ en 7.º grado, $300$ en 8.º grado y $250$ en 9.º grado. Quieren extraer una muestra de $130$ alumnos mediante un muestreo aleatorio estratificado con representación proporcional.
Dibuja la tabla de la población total y, a partir de ella, crea la tabla de frecuencias de la muestra que indique cuántos alumnos de cada grado deben ser encuestados. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos de 8.º grado en la muestra comparada con la de la población total?
Volvamos a la lista desordenada de Emma: en cinco filas ya puede ver que el grupo más grande, con el 40%, fue una vez, que el 85% fue como máximo dos veces y que nadie fue más de cuatro veces.