Tabelas de contingência

Num estudo sobre a utilização de redes sociais numa escola, 100 alunos do 12.º ano foram entrevistados sobre a sua plataforma preferida. Os dados estão reunidos na seguinte tabela de contingência, embora alguns valores tenham sido apagados:

Sabendo que há um total de 45 rapazes e 55 raparigas:

1. a) Complete os valores que faltam na tabela.
2. b) Se escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de a sua rede preferida ser o TikTok?
3. c) Qual é a probabilidade de ser uma rapariga que prefere o Instagram?

Um grupo de 200 adolescentes foi questionado sobre se come cereais ou fruta ao pequeno-almoço. Os resultados foram: 120 comem cereais ao pequeno-almoço, 100 comem fruta e 40 comem ambas as coisas.

1. a) Complete a seguinte tabela de contingência para organizar os dados:

1. b) Qual é a probabilidade de um adolescente não comer nem cereais nem fruta ao pequeno-almoço?
2. c) Sabendo que um adolescente come cereais ao pequeno-almoço, qual é a probabilidade de que também coma fruta?

Realizou-se um inquérito sobre a intenção de voto e a principal preocupação social (Ambiente, Economia ou Saúde), obtendo-se a seguinte tabela parcial de probabilidades:

1. a) Complete a tabela de contingência.
2. b) Calcule a probabilidade de um eleitor do Partido A estar preocupado com a Saúde.
3. c) Os acontecimentos "Votar no Partido B" e "Estar preocupado com o Ambiente" são independentes? Justifique a resposta matematicamente.

Uma plataforma de streaming analisa as preferências dos seus utilizadores segundo a idade. Seleciona-se uma amostra aleatória e obtêm-se os seguintes resultados:

Calcule as seguintes probabilidades ao escolher um utilizador ao acaso:

1. a) $P(\text{Series})$, ou seja, a probabilidade de que prefira séries.
2. b) $P(\text{Filmes} \cap \text{Menores de 25 anos})$.
3. c) $P(\text{Maiores de 25 anos} \cup \text{Filmes})$.

Num torneio de pádel organizado pela Câmara Municipal, participam 80 pessoas. Sabe-se que 32 são homens e as restantes mulheres. Dos homens, 20 estão federados, enquanto das mulheres há apenas 12 federadas.

1. a) Organize a informação numa tabela de contingência.
2. b) Se selecionarmos um participante ao acaso, calcule a probabilidade de que não esteja federado.
3. c) Qual é a probabilidade de o participante ser mulher sabendo que está federada?

Uma loja de roupa desportiva classifica as suas vendas de ténis segundo o tipo (Running ou Trail) e o género (Homem ou Mulher). Num dia venderam 50 pares:

Calcule a probabilidade de, ao escolher uma venda ao acaso:

1. a) O ténis ser de Trail.
2. b) Ser de uma mulher, sabendo que é de Running.
3. c) Ser de Trail, sabendo que é uma venda a um homem.

Um centro desportivo oferece aulas de Yoga, Pilates e Crossfit. A distribuição dos $300$ sócios segundo a atividade e o escalão etário é a seguinte:

1. a) Se escolhermos um sócio ao acaso, qual é a probabilidade de que pratique Yoga ou seja Jovem?
2. b) Entre os sócios Adultos, qual é a atividade mais provável?
3. c) Se for escolhido um praticante de Crossfit, qual é a probabilidade de que seja Jovem?

Realizou-se um inquérito sobre hábitos de transporte para ir à universidade. $40\%$ dos estudantes são homens ($H$) e $60\%$ são mulheres ($M$). $25\%$ dos homens vai de carro ($C$), enquanto $15\%$ das mulheres utiliza esse transporte.

1. a) Se considerarmos uma amostra de 100 pessoas, construa a tabela de contingência com os valores absolutos.
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher e não usar o carro.
3. c) Calcule a probabilidade de, sendo homem, não usar o carro.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe a seguinte tabela que classifica os funcionários de uma empresa segundo o seu departamento e se solicitaram teletrabalho:

Calcule, fundamentadamente, por meio da tabela:

1. a) $P(T | V)$, a probabilidade de um funcionário estar em teletrabalho se pertencer ao departamento de Vendas.
2. b) $P(I | T)$, a probabilidade de um funcionário ser de P&D sabendo que solicitou teletrabalho.
3. c) O que é mais provável: que um funcionário de Vendas esteja em teletrabalho ou que um funcionário de P&D esteja em teletrabalho?

Num estudo sobre os hábitos de consumo de conteúdos digitais entre $200$ adolescentes, observou-se que $120$ estão inscritos em alguma plataforma de streaming. Dos que estão inscritos, $80$ preferem ver séries em vez de filmes. Entre os que não pagam inscrição, $30$ preferem filmes.

1. a) Organize a informação anterior numa tabela de contingência.
2. b) Se escolhermos um adolescente ao acaso, qual é a probabilidade de que prefira ver séries?
3. c) Sabendo que o adolescente escolhido prefere filmes, qual é a probabilidade de que não esteja inscrito em nenhuma plataforma?

Analisa-se o sucesso de uma campanha publicitária nas redes sociais. Das pessoas que viram o anúncio, $40\%$ fizeram-no no Instagram e $60\%$ no TikTok. Sabe-se que $15\%$ dos que o viram no Instagram compraram o produto, enquanto no TikTok o fez $10\%$.

1. a) Imagina um grupo de $1000$ pessoas que viram o anúncio e transpõe estas percentagens para uma tabela de contingência (linhas: compra / não compra; colunas: Instagram / TikTok, com os seus totais).

1. b) Calcula a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha comprado o produto.

1. c) Sabendo que uma pessoa comprou o produto, em que rede social é mais provável que tenha visto o anúncio?

Num estudo médico sobre a eficácia de uma vacina, obtêm-se os seguintes dados de uma amostra de $1000$ pacientes:

1. a) Complete a tabela.
2. b) Calcule a probabilidade de adoecer, tendo sido vacinado.
3. c) Calcule a probabilidade de adoecer, não tendo sido vacinado.
4. d) Face aos resultados, considera que a vacina é eficaz? Justifique a sua resposta comparando as probabilidades condicionadas.

Numa escola de idiomas, os alunos dividem-se por nível (Básico ou Avançado) e por idioma (Inglês ou Alemão). A probabilidade de um aluno estar no nível avançado é $0,4$. A probabilidade de estudar inglês é $0,7$. Sabe-se que a probabilidade de um aluno estudar alemão e estar no nível básico é $0,2$.

1. a) Elabore uma tabela de contingência com probabilidades (em que o total seja $1$).
2. b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser do nível avançado e de inglês.
3. c) Se um aluno estuda inglês, qual é a probabilidade de ser do nível básico?

Uma empresa de tecnologia analisa a relação entre o uso de um novo modelo de auscultadores sem fios e a satisfação do cliente. Dos $500$ utilizadores entrevistados, $350$ compraram o modelo "Pro" e os restantes o modelo "Basic". Sabe-se que o acontecimento $S$ (estar satisfeito) e o acontecimento $M$ (modelo Pro) são independentes. Se a probabilidade de estar satisfeito é $P(S) = 0,8$:

1. a) Complete a tabela de contingência com os valores esperados de pessoas para cada categoria.
2. b) Calcule a probabilidade de um utilizador ter comprado o modelo "Basic" e não estar satisfeito.
3. c) O que significa neste contexto que os acontecimentos sejam independentes?

Numa escola de ensino secundário, $60\%$ dos alunos do 2.º ano de Bachillerato são mulheres. Sabe-se que $20\%$ das mulheres participam no clube de debate, enquanto $10\%$ dos homens também participam.

1. a) Constrói uma tabela de contingência de frequências relativas (probabilidades).

1. b) Se selecionarmos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que pertença ao clube de debate?

1. c) Se o aluno escolhido não pertence ao clube de debate, qual é a probabilidade de que seja rapaz?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um centro de formação profissional oferece dois cursos técnicos de nível superior: Desenvolvimento de Aplicações Web ($DAW$) e Marketing e Publicidade ($MK$). $55\%$ dos alunos estão inscritos em $DAW$.

Detetou-se que $20\%$ dos alunos de $DAW$ e $15\%$ dos de $MK$ abandonam os estudos antes de concluir o primeiro ano.

1. a) Construa a tabela de contingência associada a este centro de formação.

1. b) Se escolhermos um aluno ao acaso entre os que abandonaram o curso, qual é a probabilidade de estar matriculado em Marketing e Publicidade?

1. c) O abandono dos estudos é independente do curso em que o aluno se inscreve? Justifique a resposta comparando $P(Abandono)$ com $P(Abandono | DAW)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma plataforma de comércio eletrónico classifica os seus clientes em "Frequentes" e "Ocasionais", e as suas compras em "Eletrónicos" ou "Moda". Sabe-se que $30\%$ dos clientes são Frequentes. De todas as compras realizadas, $40\%$ são de Eletrónicos. Além disso, $10\%$ do total de clientes são Frequentes que compraram Moda.

1. a) Construa a tabela de contingência completa de probabilidades.
2. b) Qual é a probabilidade de um cliente Frequente comprar Eletrónicos?
3. c) Sabendo que um cliente comprou Eletrónicos, qual é a probabilidade de que seja um cliente Ocasional?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um departamento de cibersegurança analisa o tráfego de e-mails de uma grande empresa de tecnologia. Sabe-se que $12\%$ dos e-mails que entram no servidor são tentativas de phishing (fraude). O sistema de filtragem inteligente classifica os e-mails como "Suspeitos" ou "Seguros".

O sistema é capaz de detetar corretamente $95\%$ dos e-mails de phishing. No entanto, por um excesso de cuidado, $3\%$ dos e-mails legítimos são classificados erroneamente como "Suspeitos".

1. a) Organize as informações numa tabela de contingência utilizando uma amostra teórica de $10\,000$ e-mails.

1. b) Se um funcionário receber um e-mail classificado como "Suspeito", qual é a probabilidade de ser realmente um e-mail legítimo?

1. c) Os acontecimentos "E-mail de Phishing" e "Classificado como Suspeito" são acontecimentos independentes? Justifique a sua resposta por meio do cálculo de probabilidades.

Uma plataforma de pagamentos por telemóvel utiliza um sistema automático de deteção de fraude. Os dados do sistema indicam que ele deteta corretamente $98\%$ das operações realmente fraudulentas ($F$). Por outro lado, gera um "falso alarme" (marca como suspeita uma operação legítima, $L$) em $4\%$ dos casos. Na plataforma, estima-se que $5\%$ das operações sejam fraudulentas.

1. a) Constrói uma tabela de contingência para uma amostra de $10\,000$ operações.

1. b) Se uma operação foi marcada como suspeita, qual é a probabilidade real de que seja fraudulenta? Comenta o resultado obtido relativamente à fiabilidade do sistema.

1. c) Se o sistema não marcar uma operação, qual é a probabilidade de que seja realmente legítima?