Maneiras de contar

Na cantina de uma escola, a ementa do dia permite escolher entre 3 pratos de entrada, 4 pratos principais e 2 sobremesas. De quantas formas distintas pode um aluno compor o seu almoço completo, constituído por uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Numa cafetaria oferecem um "Combo Estudante" que consiste em escolher um tipo de sanduíche, um acompanhamento e uma bebida. Têm $5$ tipos de sanduíches, $3$ tipos de acompanhamentos e $4$ tipos de bebidas.

1. a) Quantos menus diferentes podem ser configurados?
2. b) Se um estudante decide que não quer sanduíche vegetal (há um tipo) nem quer beber água (há um tipo), quantas opções tem agora para o seu menu?

Para entrar numa aplicação móvel, um utilizador deve criar um código de segurança de 4 dígitos. Se o sistema permite repetir os números e utiliza os dígitos de $0$ a $9$, quantos códigos de segurança diferentes podem ser gerados?

Uma rede social exige que os nomes de utilizador comecem sempre por uma letra minúscula (entre as 26 do alfabeto inglês) seguida obrigatoriamente por 2 dígitos (de $0$ a $9$). Quantos nomes de utilizador diferentes sob este formato podem ser criados?

O sistema de matrícula de veículos em Espanha atribui a cada veículo uma chapa com um bloco de $4$ algarismos seguido de um bloco de $3$ letras. Os números abrangem desde o $0000$ até ao $9999$ (ou seja, $10$ dígitos possíveis por posição, admitindo repetições). Para o bloco de letras utilizam-se $20$ consoantes do alfabeto espanhol, tendo sido excluídas as cinco vogais (para evitar palavras desagradáveis) e as letras Ñ e Q (para evitar confusões óticas com o N, o O e o 0). As letras também podem repetir-se.

1. a) Modela e calcula o número total de matrículas distintas que este sistema permite emitir utilizando o princípio multiplicativo e os arranjos com repetição.
2. b) Se em Espanha se matricula uma média aproximada de $1,1$ milhões de veículos ligeiros de passageiros e mercadorias por ano (segundo registos da DGT), modela durante quantos anos completos poderá este sistema funcionar sem se esgotar nem se modificar o seu formato.
3. c) Supõe que a DGT decidia acrescentar duas condições de exclusão: não permitir matrículas que tenham as $3$ letras idênticas (como BBB, CCC, etc.) nem matrículas cujos $4$ números sejam iguais ($0000, 1111, \dots, 9999$). Calcula fundamentadamente quantas matrículas válidas restariam sob estas restrições.

Um grupo de 10 amigos decide organizar um torneio de videojogos. Os prémios serão atribuídos ao primeiro, segundo e terceiro classificados. Sabendo que não pode haver empates, de quantas maneiras diferentes podem ser distribuídos esses três troféus?

Numa competição regional de E-sports (videojogos competitivos) participam $12$ equipas. Os organizadores devem entregar uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze aos três primeiros classificados.

1. a) De quantas formas distintas pode ficar o pódio da competição?
2. b) Se sabemos que a equipa local "Os Gamers" fica sempre entre os três primeiros, de quantas formas pode ser completado o pódio agora?

Uma aplicação móvel de banca eletrónica solicita a cada utilizador a criação de um código numérico de acesso composto por $4$ dígitos escolhidos entre os números de $1$ a $6$, ambos inclusive.

1. a) Antes de realizar cálculos exatos, estima de forma qualitativa e fundamentada: se a entidade bancária decidisse passar de um sistema que permite repetir dígitos para outro em que os $4$ dígitos do código devem ser forçosamente distintos, o número de códigos possíveis reduzir-se-ia a mais de metade, a metade exata ou a menos de metade do total inicial? Justifica a tua intuição prévia.
2. b) Verifica analiticamente a tua estimativa: calcula o número exato de códigos no sistema com repetição ($VR_{6,4}$) e no sistema sem repetição ($V_{6,4}$). Determina a percentagem que os códigos sem repetição representam relativamente ao total com repetição e avalia se a tua estimativa inicial estava correta.

Uma estante tem espaço para colocar exatamente 6 livros didáticos de diferentes disciplinas do 2º ano do Ensino Médio. De quantas formas distintas esses 6 livros podem ser ordenados na prateleira se quisermos que todos fiquem alinhados um ao lado do outro?

Sete amigos vão jantar a uma pizzaria e sentam-se a uma mesa circular.

1. a) De quantas formas diferentes se podem sentar à volta da mesa?
2. b) Dois dos amigos, a Ana e o Tomás, discutiram e não querem sentar-se juntos. De quantas formas se podem sentar agora os sete amigos cumprindo esta condição?

Seis amigos (3 rapazes e 3 raparigas) sentam-se para jantar numa mesa circular para celebrar o fim dos exames. Determine o número de disposições possíveis nas quais se podem sentar se:

1. Não houver restrições de género.

2. Os rapazes e as raparigas se deverem sentar alternadamente (nenhum rapaz ao lado de outro rapaz e nenhuma rapariga ao lado de outra rapariga).

3. Um casal específico de amigos, Beatriz e Marcos, insistir em sentar-se junto.

(Nota: Considere que nas permutações circulares apenas importa a posição relativa de uns em relação aos outros).

Quantas palavras de 4 letras, com ou sem sentido, podem ser formadas utilizando as letras da palavra BALA? (Considera que a letra 'A' aparece repetida).

O Marcos quer calcular quantas palavras distintas (com ou sem sentido) se podem formar reordenando todas as letras da palavra CASAS. No seu teste escreve o seguinte:

«A palavra tem $5$ letras, pelo que há $P_5 = 5! = 120$ ordenações possíveis. Como a letra A se repete $2$ vezes e a letra S se repete outras $2$ vezes, para não contar casos duplicados subtraio essas repetições: $120 - 2 - 2 = 116$ palavras distintas».

1. a) Identifica os dois erros concetuais que o Marcos comete no seu raciocínio. Em particular, explica por palavras tuas por que razão a correção por repetição não se deve realizar subtraindo, mas sim dividindo.
2. b) Formula a expressão combinatória adequada utilizando permutações com repetição, indica o que representa cada termo e calcula o número real de palavras que se podem formar.

Uma marca de moda urbana quer lançar uma edição limitada de sweatshirts. Eles têm $3$ sweatshirts vermelhas idênticas, $2$ sweatshirts azuis idênticas e $4$ sweatshirts pretas também idênticas. Para uma sessão de fotografias, devem colocar todas essas sweatshirts em fila sobre um balcão. De quantas maneiras diferentes podem ser dispostas as sweatshirts considerando apenas a sua cor?

Um estafeta deve entregar uma encomenda numa cidade cuja estrutura de ruas é uma grelha perfeita. Deve ir do ponto $A$ (canto inferior esquerdo) até ao ponto $B$ (canto superior direito), movendo-se apenas para a direita ou para cima. Se a distância é de $6$ quarteirões para a direita e $4$ quarteirões para cima:

1. a) Quantos trajetos diferentes pode seguir?
2. b) Quantos desses trajetos passam por um ponto de controlo $C$ situado a $3$ quarteirões à direita e $2$ para cima a partir do ponto $A$?

Um programador está a desenvolver um algoritmo para encontrar a rota mais curta numa rede de sensores representada por uma grelha de $6 \times 5$ nós. O algoritmo deve calcular quantos caminhos de comprimento mínimo existem do nó $A(0,0)$ até ao nó $B(6,5)$, tendo em conta que, devido a uma avaria, o nó central $C(3,3)$ está inacessível e não pode fazer parte de nenhuma rota.

Numa turma de 12 alunos, o diretor de turma deve escolher 3 deles para fazerem parte do conselho de representantes da escola. Dado que os três escolhidos terão a mesma responsabilidade, quantos grupos de representantes diferentes podem ser formados?

Numa gelataria oferecem 8 sabores distintos de gelado. Se um cliente quer comprar um copo com 2 bolas de gelado de sabores diferentes, quantas combinações distintas pode escolher?

Deseja-se formar um comitê de debate para um modelo das Nações Unidas (MUN) composto por 6 estudantes. Os candidatos disponíveis são 8 alunos do 2º ano do Ensino Médio e 6 alunos do 1º ano do Ensino Médio.

Calcule de quantas maneiras se pode escolher o comitê se forem cumpridas simultaneamente estas duas condições:

1. No comitê deve haver mais alunos do 2º ano do que do 1º ano do Ensino Médio.

2. Deve haver pelo menos um aluno de cada ano no grupo selecionado.

Para melhorar a segurança dos cacifos inteligentes de uma escola, o sistema exige um código de acesso de $4$ dígitos. No entanto, para evitar combinações óbvias, o sistema impõe as seguintes condições: o primeiro dígito deve ser ímpar, o último deve ser par (considerando o $0$ como par) e nenhum dígito pode ser repetido no código. Quantos códigos diferentes podem ser gerados seguindo estas regras?

Um grupo de $15$ alunos do $2º$ do Ensino Secundário está a organizar a festa de finalistas. Eles devem escolher uma comissão formada por $4$ pessoas para se encarregar da música e da comida.

1. a) Quantas comissões diferentes podem ser formadas?
2. b) Se no grupo há $8$ raparigas e $7$ rapazes, quantas dessas comissões seriam formadas por $2$ raparigas e $2$ rapazes?

Uma empresa de cibersegurança quer gerar códigos de acesso únicos para os seus funcionários. Cada código deve ter um comprimento de 9 caracteres distribuídos da seguinte forma:

• 3 letras maiúsculas iniciais (escolhidas entre as 26 do alfabeto, sem incluir o Ñ).

• 4 dígitos numéricos centrais (0-9).

• 2 símbolos especiais finais (escolhidos de um conjunto de 5 símbolos: @, #, %, &, *).

Calcula quantos códigos diferentes se podem gerar se forem impostas as seguintes restrições:

1. As letras maiúsculas não se podem repetir.

2. Os dígitos numéricos devem ser todos distintos e estar dispostos em ordem estritamente crescente.

3. Os símbolos especiais podem repetir-se.

Uma plataforma de streaming utiliza um algoritmo para recomendar listas de reprodução. Se dispõem de 10 músicas de Rock, 8 de Pop e 6 de Indie, quantas listas de reprodução de 5 músicas podem ser criadas de modo que cada lista contenha pelo menos uma música de cada um dos três géneros musicais? Tenha em consideração que a ordem das músicas na lista importa.

Um departamento de cibersegurança gera palavras-passe de $5$ caracteres formadas exclusivamente pelos dígitos do conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Para garantir que não sigam padrões de dispersão uniforme, o protocolo exige que a palavra-passe contenha pelo menos um dígito repetido (ou seja, que nem todos os seus dígitos sejam distintos).

Para calcular quantas palavras-passe válidas existem, dois membros da equipa propõem estratégias diferentes:

• A Sandra propõe o «Método direto»: classificar as palavras-passe segundo o tipo exato de repetição (exatamente um par de iguais, dois pares, um trio, etc.) e somar os casos.

• O Tomás propõe o «Método do complementar»: calcular o total de palavras-passe de $5$ dígitos possíveis e subtrair aquelas em que nenhum dígito se repete.

1. a) Compara criticamente ambos os métodos: justifica detalhadamente por que razão o método direto se torna excessivamente complexo e propenso a erros de sobreposição ou omissão, enquanto o método do complementar simplifica o raciocínio.
2. b) Aplica o método do complementar mediante as fórmulas combinatórias pertinentes ($VR$ e $V$) para obter o número exato de palavras-passe válidas.
3. c) Supõe que se acrescenta uma condição restritiva extra: a palavra-passe deve começar obrigatoriamente por um dígito ímpar (mantendo a exigência de conter pelo menos um dígito repetido). Modela e calcula fundamentadamente o novo total de palavras-passe disponíveis.

Para aceder a uma plataforma digital deve-se conceber um código de $4$ caracteres utilizando unicamente as letras do conjunto $\{A, B, C, D, E\}$, podendo repetir-se qualquer letra. A condição indispensável é que o código contenha pelo menos uma vez a letra A.

O João apresenta a seguinte resolução na aula:

«Primeiro escolho uma das $4$ posições possíveis para colocar a letra A obrigatória, o que dá $4$ opções. Depois, em cada uma das $3$ posições restantes posso colocar qualquer uma das $5$ letras do conjunto sem qualquer restrição, o que dá $VR_{5,3} = 5^3 = 125$ opções. Pelo princípio da contagem, o número total de códigos válidos é $4 \cdot 125 = 500$».

No entanto, o resultado do João é erróneo por sobrecontagem.

1. a) Demonstra formalmente o erro do João: escolhe um código concreto que contenha mais de uma letra A (por exemplo, AABB ou AAAB) e explica detalhadamente por que razão o procedimento do João o conta mais de uma vez, identificando em que momentos da sua contagem ocorre a duplicidade.
2. b) Corrige o cálculo resolvendo o problema através do método do acontecimento complementar e verifica em quanto tinha sido sobrestimado o resultado.
3. c) Se a condição do sistema mudasse para exigir que o código contenha exatamente duas letras A (podendo as outras duas posições ser preenchidas com qualquer uma das restantes letras $\{B, C, D, E\}$, repetidas ou não), modeliza a situação combinando etapas independentes ou permutações com repetição e calcula o número exato de códigos válidos.

Um gabinete de arquitetura está a projetar um loteamento com 7 lotes idênticos em linha. Devem ser plantadas árvores de três espécies distintas: carvalhos, pinheiros e azinheiras. Por razões estéticas e biológicas, devem ser cumpridos os seguintes requisitos:

• Em cada lote planta-se apenas uma árvore.

• Deve haver pelo menos uma árvore de cada espécie.

• Não pode haver dois pinheiros em lotes contíguos.

Calcule o número total de maneiras diferentes de distribuir as árvores pelos 7 lotes.

Encontra o valor de $n$ (inteiro com $n \ge 3$) na seguinte equação com números combinatórios, justificando os passos realizados:

Numa escola secundária organiza-se uma comissão de debate escolar e devem-se escolher, de entre os estudantes de uma turma de 12.º ano, três pessoas para ocupar três cargos diferenciados: porta-voz, secretariado e moderação. A mesma pessoa não pode ocupar mais de um cargo simultaneamente. Após a realização do processo, o professor diretor de turma verifica que existem exatamente $990$ maneiras diferentes de formar a referida comissão.

1. a) Modela a situação estabelecendo uma equação combinatória em função do número total de alunos $n$ da turma, justificando a escolha do tipo de contagem empregue.
2. b) Resolve fundamentadamente a equação para determinar quantos alunos compõem a turma. Para tal, decompõe em fatores o número $990$ e identifica o produto de números inteiros consecutivos adequado, justificando o resultado sem recorrer a tentativas arbitrárias.

Determine todos os valores de $n \in \mathbb{N}$ que verificam a seguinte igualdade algébrica baseada em números combinatórios:

Justifique o processo decompondo os fatoriais e resolvendo a equação resultante.

No desenvolvimento do binómio de Newton para a expressão $(\frac{x^2}{2} - \frac{k}{x^3})^{15}$, sabe-se que o coeficiente do termo que contém $x^{10}$ é igual a $3003$. Determine justificadamente o valor do número real positivo $k$ e, uma vez encontrado, calcule o valor do termo independente deste desenvolvimento, se existir.