Teorema de Bayes
«O teste deu positivo: qual é a probabilidade de a pessoa ter mesmo a doença?» Não se responde olhando para a árvore «para a frente», como na probabilidade total. Aqui já sabes que o efeito aconteceu e perguntas pela causa. Esta inversão é o que se costuma chamar Teorema de Bayes, e não é mais do que a definição de probabilidade condicionada, a regra do produto e a probabilidade total a trabalhar em conjunto.
A árvore invertida
Na probabilidade total, partes das causas $B_1,\dots,B_n$ (acontecimentos mutuamente exclusivos cuja união é o espaço de resultados, todos com probabilidade não nula) e calculas a probabilidade de um efeito $A$. Agora fazes o caminho contrário: sabes que $A$ se realizou e queres $P(B_i\mid A)$.
Porquê? Pela definição, $P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i\cap A)}{P(A)}$. Escreves o numerador com a regra do produto, $P(B_i\cap A)=P(B_i)\cdot P(A\mid B_i)$, e o denominador com a probabilidade total.
Para chegar ao centro, um estudante pode ir de autocarro ($80\,\%$ das vezes) ou de bicicleta ($20\,\%$). Quando vai de autocarro, chega atrasado $10\,\%$ dos dias…
Para chegar ao centro, um estudante pode ir de autocarro ($80\,\%$ das vezes) ou de bicicleta ($20\,\%$). Quando vai de autocarro, chega atrasado $10\,\%$ dos dias devido ao trânsito. Quando vai de bicicleta, só chega atrasado $5\,\%$ das vezes. Se um dia o estudante chega atrasado à aula, calcule a probabilidade de ter ido de autocarro.
Uma marca de ténis fabrica os seus modelos em duas fábricas diferentes: $70\,\%$ na fábrica $A$ e $30\,\%$ na fábrica $B$. O controlo de qualidade detetou que $2\,\%$…
Uma marca de ténis fabrica os seus modelos em duas fábricas diferentes: $70\,\%$ na fábrica $A$ e $30\,\%$ na fábrica $B$. O controlo de qualidade detetou que $2\,\%$ dos ténis da fábrica $A$ têm algum defeito de costura, enquanto na fábrica $B$ os defeitos aparecem em $5\,\%$ da produção. Um cliente compra um ténis e descobre que tem um defeito de costura. Calcule a probabilidade de ter sido fabricado na fábrica $B$.
Estratégia em quatro passos
Um filtro de correio eletrónico classifica automaticamente as mensagens como spam*. O filtro marca corretamente como spam* $98\,\%$ dos e-mails que realmente o são. No…
Um filtro de correio eletrónico classifica automaticamente as mensagens como spam. O filtro marca corretamente como spam $98\,\%$ dos e-mails que realmente o são. No entanto, também envia para a pasta de spam $4\,\%$ dos e-mails legítimos. Estima-se que $10\,\%$ do e-mail que chega a uma caixa de entrada seja spam. Se um e-mail escolhido ao acaso tiver sido marcado como spam, calcule a probabilidade de realmente o ser.
Num centro de saúde, está a ser realizado um estudo sobre a eficácia de um teste de diagnóstico para uma alergia alimentar que afeta $8\,\%$ da população juvenil. Os…
Num centro de saúde, está a ser realizado um estudo sobre a eficácia de um teste de diagnóstico para uma alergia alimentar que afeta $8\,\%$ da população juvenil. Os dados clínicos indicam que, se uma pessoa sofre da alergia, o teste dá positivo em $95\,\%$ dos casos. Por outro lado, se a pessoa não sofre da alergia, o teste dá um "falso positivo" (resultado positivo sem estar doente) em $4\,\%$ das ocasiões. Se for escolhido um jovem ao acaso e o seu resultado no teste for positivo, calcule a probabilidade de ele realmente sofrer de tal alergia.
Numa cidade, $70\,\%$ dos cidadãos utilizam uma aplicação móvel para pagar o transporte público, enquanto os restantes usam cartão físico. Observa-se que $15\,\%$ dos…
Numa cidade, $70\,\%$ dos cidadãos utilizam uma aplicação móvel para pagar o transporte público, enquanto os restantes usam cartão físico. Observa-se que $15\,\%$ dos que usam a aplicação têm problemas de leitura no validador, contra $5\,\%$ dos que usam cartão físico. Se um validador emitir um sinal de erro de leitura, qual é a probabilidade de o utilizador estar a tentar pagar com a aplicação móvel?
Três ou mais causas
Um fabricante de componentes eletrónicos para smartphones tem três linhas de produção: A, B e C. A linha A produz $45\,\%$ dos componentes, a B $30\,\%$ e a C $25\,\%$.…
Um fabricante de componentes eletrónicos para smartphones tem três linhas de produção: A, B e C. A linha A produz $45\,\%$ dos componentes, a B $30\,\%$ e a C $25\,\%$. Sabe-se que a probabilidade de um componente ser defeituoso é de $1\,\%$ na linha A, de $2\,\%$ na linha B e de $3\,\%$ na linha C. Se for selecionado um componente ao acaso e ele for defeituoso, determine justificadamente qual é a linha de produção mais provável de o ter fabricado.
Uma empresa de logística de última milha distribui encomendas numa cidade utilizando três tipos de veículos: carrinhas elétricas ($60\,\%$), motociclos ($30\,\%$) e…
Uma empresa de logística de última milha distribui encomendas numa cidade utilizando três tipos de veículos: carrinhas elétricas ($60\,\%$), motociclos ($30\,\%$) e bicicletas de carga ($10\,\%$). A probabilidade de uma encomenda chegar com atraso é de $2\,\%$ se for entregue de carrinha, de $5\,\%$ se for de motociclo e de $8\,\%$ se for de bicicleta. Se um cliente telefonar para reclamar porque a sua encomenda chegou atrasada, qual é a probabilidade de o estafeta ter ido de bicicleta de carga?
Três canais de streaming* ($N$, $H$ e $D$) dividem o mercado de assinantes numa cidade nas proporções de $40\%$, $30\%$ e $30\%$, respetivamente. A probabilidade de um…
Três canais de streaming ($N$, $H$ e $D$) dividem o mercado de assinantes numa cidade nas proporções de $40\%$, $30\%$ e $30\%$, respetivamente. A probabilidade de um assinante de $N$ cancelar a sua assinatura este mês é de $0,05$; para $H$ é de $0,08$ e para $D$ é de $0,12$. Se escolhermos ao acaso um cidadão que acabou de cancelar a sua assinatura num desses canais, qual é a probabilidade de que fosse cliente de $D$?
Testes de diagnóstico
Aqui o resultado engana muita gente. Num teste, a sensibilidade é a probabilidade de dar positivo estando a pessoa afetada, e a taxa de falsos positivos é a probabilidade de dar positivo não estando afetada. Quando o enunciado dá estes valores, usas a árvore como sempre.
Uma rede social utiliza um algoritmo de inteligência artificial para detetar comentários de ódio. Sabe-se que $5\,\%$ dos comentários publicados são realmente…
Uma rede social utiliza um algoritmo de inteligência artificial para detetar comentários de ódio. Sabe-se que $5\,\%$ dos comentários publicados são realmente inadequados. O algoritmo identifica corretamente como "inadequado" $98\,\%$ dos comentários que realmente o são. No entanto, rotula erroneamente como "inadequado" $3\,\%$ dos comentários que são respeitosos. Se o sistema acabou de bloquear um comentário por o marcar como "inadequado", qual é a probabilidade de o comentário ser realmente respeitoso?
Uma multinacional tecnológica utiliza três fornecedores diferentes para os microchips dos seus novos portáteis para gaming*. O fornecedor $A$ fornece $45\%$ dos chips, o…
Uma multinacional tecnológica utiliza três fornecedores diferentes para os microchips dos seus novos portáteis para gaming. O fornecedor $A$ fornece $45\%$ dos chips, o fornecedor $B$ $35\%$, e o restante provém do fornecedor $C$. Sabe-se por controlos de qualidade prévios que $1\%$ dos chips de $A$ são defeituosos, enquanto para $B$ e $C$ essas percentagens são de $2\%$ e $3\%$, respetivamente. Um utilizador compra um portátil e, após um mês de uso, sofre uma falha crítica devido ao microchip. Calcule a probabilidade de o chip defeituoso ter sido fornecido pelo fornecedor $B$.
Uma fábrica de peças de precisão utiliza uma máquina de visão computacional para controlar a qualidade da sua produção. Sabe-se que apenas $0,5\%$ das peças fabricadas…
Uma fábrica de peças de precisão utiliza uma máquina de visão computacional para controlar a qualidade da sua produção. Sabe-se que apenas $0,5\%$ das peças fabricadas apresenta algum defeito. A máquina deteta corretamente $96\%$ das peças defeituosas, mas também marca erroneamente como defeituosa $2\%$ das peças corretas. Se a máquina acabou de marcar uma peça como defeituosa, calcule a probabilidade de a peça estar realmente em perfeito estado.
Voltando ao início: perante um teste positivo, a probabilidade de ter mesmo a condição obtém-se com a árvore invertida, e depende tanto da fiabilidade do teste como da frequência da condição na população.