Acontecimentos

Um estudante do 2.º ano do Bachillerato está a organizar as suas pastas digitais de apontamentos. Na sua pasta de "Economía" tem 12 ficheiros PDF, 8 documentos de texto e 5 esquemas em formato de imagem. Se escolher um ficheiro ao acaso para o revisar antes de um exame, determina:

1. a) O espaço de resultados da experiência.

1. b) A probabilidade de o ficheiro escolhido ser um esquema em formato de imagem.

1. c) A probabilidade de o ficheiro escolhido não ser um documento de texto.

Retiramos uma bola de uma urna que contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Consideramos os acontecimentos:

$A = \{ \text{tirar um número par} \}$

$B = \{ \text{tirar um número múltiplo de 3} \}$

1. a) Escreva os elementos que formam os acontecimentos $A \cup B$ e $A \cap B$.
2. b) Calcule $P(A \cup B)$ utilizando a Regra de Laplace sobre a contagem dos seus elementos.
3. c) Verifique o resultado anterior aplicando a fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Em uma turma do 2º ano do Bacharelado, realizou-se uma pesquisa sobre o uso de redes sociais. Sabe-se que o evento $A$ é "utilizar o Instagram" e o evento $B$ é "utilizar o TikTok". Defina mediante operações de eventos (união, interseção ou complementar) as seguintes situações:

1. a) O aluno utiliza ambas as redes sociais.
2. b) O aluno utiliza pelo menos uma das duas redes.
3. c) O aluno não utiliza o Instagram.
4. d) O aluno utiliza o Instagram, mas não o TikTok.

Numa plataforma de streaming, $70\%$ dos utilizadores veem séries de ação ($S$), $40\%$ veem documentários ($D$) e $25\%$ veem ambos os tipos de conteúdo. Calcula a probabilidade de que um utilizador escolhido ao acaso:

1. a) Veja séries de ação ou documentários.

1. b) Não veja nenhum destes dois conteúdos.

Uma equipa de eSports tem no seu plantel jogadores de três nacionalidades: 5 espanhóis, 3 franceses e 2 italianos. Se for selecionado ao acaso um capitão para o próximo torneio, calcule:

1. a) A probabilidade de que seja francês.
2. b) A probabilidade de que não seja espanhol.
3. c) Os acontecimentos "ser espanhol" e "ser italiano" são compatíveis ou incompatíveis? Justifique a sua resposta.

Dados dois acontecimentos $M$ e $N$ tais que são incompatíveis entre si, com $P(M) = 0,35$ e $P(N) = 0,45$, determine a probabilidade de que:

1. a) Ocorra o acontecimento $M$ ou o acontecimento $N$.
2. b) Não ocorra nenhum dos dois acontecimentos.
3. c) Ocorram $M$ e $N$ simultaneamente.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,5$, $P(\bar{B}) = 0,7$ e $P(A \cup B) = 0,65$. Calcule a probabilidade da interseção $P(A \cap B)$ e determine se os acontecimentos são compatíveis.

Num estudo sobre o consumo de conteúdos digitais entre jovens de 16 anos, identificou-se que $70 \%$ utiliza a plataforma StreamVibe e $45 \%$ utiliza CloudMusic. Além disso, sabe-se que $25 \%$ dos jovens não utiliza nenhuma das duas plataformas. Se escolhermos um jovem ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de que utilize ambas as plataformas.
2. b) A probabilidade de que utilize apenas o StreamVibe.
3. c) A probabilidade de que utilize o CloudMusic, mas não o StreamVibe.

Considera dois acontecimentos $A$ e $B$ associados a uma experiência aleatória. Sabendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$, calcula as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A})$ (probabilidade do acontecimento contrário de $A$).

1. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando as Leis de Morgan.

O diagrama de Venn apresenta apenas os dados do enunciado.

Numa escola secundária, o gabinete de orientação analisa as opções de matrícula no 12.º ano relativamente a duas disciplinas opcionais: Francês ($F$) e Tecnologias de Informação ($T$). Sabe-se que $30\,\%$ dos alunos frequenta Francês, $45\,\%$ frequenta Tecnologias de Informação e $15\,\%$ frequenta ambas.

O Afonso, para calcular a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não frequentar nenhuma das duas disciplinas, escreve no seu exame:

1. a) Identifica o erro conceptual cometido pelo Afonso com as leis de De Morgan ou as operações com acontecimentos e explica fundamentadamente por que razão a sua fórmula não está correta.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor real de $P(\overline{F} \cap \overline{T})$.
3. c) A partir dos dados, justifica se os acontecimentos $F$ e $T$ são compatíveis ou incompatíveis, e se são acontecimentos contrários.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória dos quais se conhecem as seguintes probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ e $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Com base nas propriedades da probabilidade e nas leis de De Morgan, calcule:

1. a) A probabilidade da união dos acontecimentos, $P(A \cup B)$.
2. b) A probabilidade da interseção, $P(A \cap B)$.
3. c) Indique, justificando, se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis.

Considere os acontecimentos $A$ e $B$ tais que $P(A) = 0,5$, $P(B|A) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,65$. A partir destes dados:

1. a) Determine o valor da probabilidade da interseção $P(A \cap B)$.
2. b) Calcule o valor de $P(B)$.
3. c) Determine, justificadamente, se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,3$. Calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$ em cada uma das seguintes hipóteses:

1. a) $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis.
2. b) $A$ e $B$ são acontecimentos independentes.
3. c) O acontecimento $B$ está contido no acontecimento $A$ ($B \subset A$).

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que as suas probabilidades são $P(A) = x$ e $P(B) = y$. Sabe-se que o acontecimento união tem probabilidade $P(A \cup B) = 0,75$ e que o acontecimento interseção cumpre $P(A \cap B) = 0,15$.

Se, além disso, se sabe que a probabilidade de ocorrer $A$ condicionada a que não ocorra $B$ é $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determine os valores de $x$ e $y$. $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis? São independentes?

Num jogo de RPG, um jogador deve superar dois desafios consecutivos. A probabilidade de superar o primeiro desafio é de $0,7$. Se superar o primeiro, a probabilidade de superar o segundo é de $0,8$, mas se falhar no primeiro, a probabilidade de superar o segundo desce para $0,4$.

1. a) Desenhe o diagrama em árvore que represente esta situação.
2. b) Calcule a probabilidade de o jogador superar os dois desafios.
3. c) Calcule a probabilidade de o jogador superar apenas um dos dois desafios.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um estudante do 2º ano do Bacharelado preparou 18 dos 25 tópicos dos quais consta o programa de Geografia. No exame final, o professor escolhe dois tópicos ao acaso (sem reposição). Calcule:

1. a) A probabilidade de o aluno saber os dois tópicos.
2. b) A probabilidade de não saber nenhum.
3. c) A probabilidade de saber pelo menos um dos dois tópicos selecionados.

Num estudo sobre o uso de redes sociais, selecionam-se dois estudantes de 2.º do Ensino Secundário de forma consecutiva e sem reposição. Sabe-se que $60\%$ dos alunos da escola utilizam a rede social X.

Se a probabilidade de o segundo aluno selecionado utilizar a rede social X, sabendo que o primeiro a utiliza, é de $35/59$, determina o número total de alunos de 2.º do Ensino Secundário que há nessa escola.

De acordo com os registos climatológicos do IPMA para uma cidade do norte de Portugal no mês de novembro, a probabilidade de chover num dia qualquer é $P(L) = 0{,}70$ e a probabilidade de se registarem rajadas de vento forte é $P(V) = 0{,}50$. Da mesma forma, a probabilidade de um dia não apresentar chuva nem vento forte é $P(\overline{L} \cap \overline{V}) = 0{,}10$.

1. a) Antes de calcular qualquer valor exato, faz uma estimativa fundamentada: pode a probabilidade de chover e fazer vento em simultâneo, $P(L \cap V)$, ser inferior a $0{,}20$? Justifica a tua estimativa deduzindo um limite inferior obrigatório a partir da soma $P(L) + P(V)$ e do facto de uma probabilidade nunca poder ultrapassar $1$.
2. b) Utilizando as leis de De Morgan e as propriedades da adição de probabilidades, calcula o valor exato da união $P(L \cup V)$ e da interseção $P(L \cap V)$.
3. c) Verifica se o resultado obtido confirma a tua estimativa prévia e calcula a probabilidade de, num dia de novembro, ocorrer exatamente um dos dois fenómenos meteorológicos (chuva sem vento forte, ou vento forte sem chuva).

Numa plataforma de streaming, observou-se que $65\%$ dos utilizadores com menos de 20 anos veem séries de animação (acontecimento $A$) e $40\%$ veem documentários sobre a natureza (acontecimento $D$). Além disso, sabe-se que a probabilidade de um utilizador não ver séries de animação, sabendo que não vê documentários sobre a natureza, é de $0,5$.

Calcula justificadamente:

1. a) A probabilidade de um utilizador ver ambos os tipos de conteúdo.
2. b) A probabilidade de um utilizador ver séries de animação, mas não documentários sobre a natureza.
3. c) Os acontecimentos $A$ e $D$ são independentes? Justifica a tua resposta utilizando os resultados anteriores.

Um sistema de cibersegurança tem duas barreiras de proteção independentes, $B_1$ e $B_2$. A probabilidade de um ataque externo ultrapassar a primeira barreira é $P(B_1) = 0,15$ e a probabilidade de ultrapassar a segunda é $P(B_2) = 0,10$.

Calcule a probabilidade de que um ataque:

1. a) Ultrapasse pelo menos uma das duas barreiras.
2. b) Ultrapasse exatamente uma das barreiras.
3. c) Não seja detetado por nenhuma barreira, sabendo que o ataque conseguiu ultrapassar a primeira proteção.