Exercícios: Tabelas de contingência

Num estudo sobre a utilização de redes sociais numa escola, 100 alunos do 12.º ano foram entrevistados sobre a sua plataforma preferida. Os dados estão reunidos na seguinte tabela de contingência, embora alguns valores tenham sido apagados:

Sabendo que há um total de 45 rapazes e 55 raparigas:

1. a) Complete os valores que faltam na tabela.
2. b) Se escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de a sua rede preferida ser o TikTok?
3. c) Qual é a probabilidade de ser uma rapariga que prefere o Instagram?

Uma plataforma de streaming analisa as preferências dos seus utilizadores segundo a idade. Seleciona-se uma amostra aleatória e obtêm-se os seguintes resultados:

Calcule as seguintes probabilidades ao escolher um utilizador ao acaso:

1. a) $P(\text{Series})$, ou seja, a probabilidade de que prefira séries.
2. b) $P(\text{Filmes} \cap \text{Menores de 25 anos})$.
3. c) $P(\text{Maiores de 25 anos} \cup \text{Filmes})$.

Num torneio de pádel organizado pela Câmara Municipal, participam 80 pessoas. Sabe-se que 32 são homens e as restantes mulheres. Dos homens, 20 estão federados, enquanto das mulheres há apenas 12 federadas.

1. a) Organize a informação numa tabela de contingência.
2. b) Se selecionarmos um participante ao acaso, calcule a probabilidade de que não esteja federado.
3. c) Qual é a probabilidade de o participante ser mulher sabendo que está federada?

Realizou-se um inquérito sobre hábitos de transporte para ir à universidade. $40\%$ dos estudantes são homens ($H$) e $60\%$ são mulheres ($M$). $25\%$ dos homens vai de carro ($C$), enquanto $15\%$ das mulheres utiliza esse transporte.

1. a) Se considerarmos uma amostra de 100 pessoas, construa a tabela de contingência com os valores absolutos.
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher e não usar o carro.
3. c) Calcule a probabilidade de, sendo homem, não usar o carro.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe a seguinte tabela que classifica os funcionários de uma empresa segundo o seu departamento e se solicitaram teletrabalho:

Calcule, fundamentadamente, por meio da tabela:

1. a) $P(T | V)$, a probabilidade de um funcionário estar em teletrabalho se pertencer ao departamento de Vendas.
2. b) $P(I | T)$, a probabilidade de um funcionário ser de P&D sabendo que solicitou teletrabalho.
3. c) O que é mais provável: que um funcionário de Vendas esteja em teletrabalho ou que um funcionário de P&D esteja em teletrabalho?

Numa escola de idiomas, os alunos dividem-se por nível (Básico ou Avançado) e por idioma (Inglês ou Alemão). A probabilidade de um aluno estar no nível avançado é $0,4$. A probabilidade de estudar inglês é $0,7$. Sabe-se que a probabilidade de um aluno estudar alemão e estar no nível básico é $0,2$.

1. a) Elabore uma tabela de contingência com probabilidades (em que o total seja $1$).
2. b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser do nível avançado e de inglês.
3. c) Se um aluno estuda inglês, qual é a probabilidade de ser do nível básico?

Um grupo de 200 adolescentes foi questionado sobre se come cereais ou fruta ao pequeno-almoço. Os resultados foram: 120 comem cereais ao pequeno-almoço, 100 comem fruta e 40 comem ambas as coisas.

1. a) Complete a seguinte tabela de contingência para organizar os dados:

1. b) Qual é a probabilidade de um adolescente não comer nem cereais nem fruta ao pequeno-almoço?
2. c) Sabendo que um adolescente come cereais ao pequeno-almoço, qual é a probabilidade de que também coma fruta?

Uma loja de roupa desportiva classifica as suas vendas de ténis segundo o tipo (Running ou Trail) e o género (Homem ou Mulher). Num dia venderam 50 pares:

Calcule a probabilidade de, ao escolher uma venda ao acaso:

1. a) O ténis ser de Trail.
2. b) Ser de uma mulher, sabendo que é de Running.
3. c) Ser de Trail, sabendo que é uma venda a um homem.

Numa campanha sobre segurança rodoviária numa escola secundária, analisa-se a forma de deslocação de $120$ estudantes do ensino secundário. Os dados indicam que $40$ vão de bicicleta (dos quais $28$ usam capacete e $12$ não) e os $80$ restantes vão a pé ou em transportes públicos (nenhum dos quais usa capacete).\n\nPara calcular a probabilidade de um aluno usar capacete sabendo que se desloca de bicicleta, o Tomás raciocina assim:\n«Como há $28$ ciclistas com capacete num total de $120$ estudantes inquiridos, a probabilidade pedida é $P(\text{Capacete}|\text{Bicicleta}) = \frac{28}{120} \approx 0,233$, ou seja, apenas $23,3\,\%$ dos ciclistas usam capacete».\n\na) Identifica o erro concetual do Tomás e explica o que significa «condicionar» numa tabela de contingência em termos de redução do espaço de resultados.\nb) Corrige o cálculo e encontra o valor correto de $P(\text{Capacete}|\text{Bicicleta})$.\nc) A que acontecimento probabilístico corresponde realmente a fração $\frac{28}{120}$ calculada pelo Tomás? Escreve a sua notação formal.

Uma auditoria de mobilidade avalia a pontualidade de $200$ trajetos de comboios suburbanos em duas linhas periféricas, $C_1$ e $C_2$, obtendo a seguinte informação:\n- Na linha $C_1$ registaram-se $120$ viagens, das quais $18$ sofreram atraso.\n- Na linha $C_2$ registaram-se $80$ viagens, das quais $20$ sofreram atraso.\n\na) Antes de fazeres qualquer operação numérica formal, estima fundamentadamente a olho: qual das duas linhas te parece percentualmente mais impontual? Justifica a tua intuição comparando mentalmente a proporção de atrasos em relação ao volume de viagens de cada linha.\nb) Transfere todos os dados para uma tabela de contingência completa de $2 \times 2$ (Linhas $C_1$ e $C_2$ em linhas; Pontual e Atraso em colunas), calculando todos os totais marginais.\nc) Verifica formalmente a tua estimativa inicial calculando as probabilidades condicionadas $P(\text{Atraso}|C_1)$ e $P(\text{Atraso}|C_2)$. Os resultados exatos confirmam a tua previsão qualitativa?

Num estudo sobre os hábitos de consumo de conteúdos digitais entre $200$ adolescentes, observou-se que $120$ estão inscritos em alguma plataforma de streaming. Dos que estão inscritos, $80$ preferem ver séries em vez de filmes. Entre os que não pagam inscrição, $30$ preferem filmes.

1. a) Organize a informação anterior numa tabela de contingência.
2. b) Se escolhermos um adolescente ao acaso, qual é a probabilidade de que prefira ver séries?
3. c) Sabendo que o adolescente escolhido prefere filmes, qual é a probabilidade de que não esteja inscrito em nenhuma plataforma?

Uma empresa de tecnologia analisa a relação entre o uso de um novo modelo de auscultadores sem fios e a satisfação do cliente. Dos $500$ utilizadores entrevistados, $350$ compraram o modelo "Pro" e os restantes o modelo "Basic". Sabe-se que o acontecimento $S$ (estar satisfeito) e o acontecimento $M$ (modelo Pro) são independentes. Se a probabilidade de estar satisfeito é $P(S) = 0,8$:

1. a) Complete a tabela de contingência com os valores esperados de pessoas para cada categoria.
2. b) Calcule a probabilidade de um utilizador ter comprado o modelo "Basic" e não estar satisfeito.
3. c) O que significa neste contexto que os acontecimentos sejam independentes?

Numa escola de ensino secundário, $60\%$ dos alunos do 2.º ano de Bachillerato são mulheres. Sabe-se que $20\%$ das mulheres participam no clube de debate, enquanto $10\%$ dos homens também participam.

1. a) Constrói uma tabela de contingência de frequências relativas (probabilidades).

1. b) Se selecionarmos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que pertença ao clube de debate?

1. c) Se o aluno escolhido não pertence ao clube de debate, qual é a probabilidade de que seja rapaz?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Realizou-se um inquérito sobre a intenção de voto e a principal preocupação social (Ambiente, Economia ou Saúde), obtendo-se a seguinte tabela parcial de probabilidades:

1. a) Complete a tabela de contingência.
2. b) Calcule a probabilidade de um eleitor do Partido A estar preocupado com a Saúde.
3. c) Os acontecimentos "Votar no Partido B" e "Estar preocupado com o Ambiente" são independentes? Justifique a resposta matematicamente.

Um centro desportivo oferece aulas de Yoga, Pilates e Crossfit. A distribuição dos $300$ sócios segundo a atividade e o escalão etário é a seguinte:

1. a) Se escolhermos um sócio ao acaso, qual é a probabilidade de que pratique Yoga ou seja Jovem?
2. b) Entre os sócios Adultos, qual é a atividade mais provável?
3. c) Se for escolhido um praticante de Crossfit, qual é a probabilidade de que seja Jovem?

Analisa-se o sucesso de uma campanha publicitária nas redes sociais. Das pessoas que viram o anúncio, $40\%$ fizeram-no no Instagram e $60\%$ no TikTok. Sabe-se que $15\%$ dos que o viram no Instagram compraram o produto, enquanto no TikTok o fez $10\%$.

1. a) Imagina um grupo de $1000$ pessoas que viram o anúncio e transpõe estas percentagens para uma tabela de contingência (linhas: compra / não compra; colunas: Instagram / TikTok, com os seus totais).

1. b) Calcula a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha comprado o produto.

1. c) Sabendo que uma pessoa comprou o produto, em que rede social é mais provável que tenha visto o anúncio?

Num estudo médico sobre a eficácia de uma vacina, obtêm-se os seguintes dados de uma amostra de $1000$ pacientes:

1. a) Complete a tabela.
2. b) Calcule a probabilidade de adoecer, tendo sido vacinado.
3. c) Calcule a probabilidade de adoecer, não tendo sido vacinado.
4. d) Face aos resultados, considera que a vacina é eficaz? Justifique a sua resposta comparando as probabilidades condicionadas.

Uma plataforma de comércio eletrónico classifica os seus clientes em "Frequentes" e "Ocasionais", e as suas compras em "Eletrónicos" ou "Moda". Sabe-se que $30\%$ dos clientes são Frequentes. De todas as compras realizadas, $40\%$ são de Eletrónicos. Além disso, $10\%$ do total de clientes são Frequentes que compraram Moda.

1. a) Construa a tabela de contingência completa de probabilidades.
2. b) Qual é a probabilidade de um cliente Frequente comprar Eletrónicos?
3. c) Sabendo que um cliente comprou Eletrónicos, qual é a probabilidade de que seja um cliente Ocasional?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir de uma amostra representativa de $500$ jovens entre os $20$ e os $24$ anos extraída do Inquérito ao Emprego (INE) num distrito, analisa-se a relação entre o nível de escolaridade atingido e a sua situação profissional atual:\n- $300$ jovens concluíram um curso de Formação Profissional (FP) e, desses, $240$ estão empregados.\n- No conjunto total dos $500$ jovens inquiridos, há exatamente $140$ pessoas em situação de desemprego.\n- Os restantes jovens da amostra têm, no máximo, o diploma do Ensino Secundário.\n\na) Modela esta situação construindo a tabela de contingência completa de frequências absolutas cruzando as duas variáveis (Nível de estudos vs. Situação profissional) com os seus respetivos totais marginais.\nb) Se se escolher um jovem da amostra ao acaso, calcula a probabilidade de estar desempregado sabendo que só tem o Ensino Secundário, $P(\text{Desempregado}|\text{Secundário})$, e compara-a com $P(\text{Desempregado}|\text{FP})$.\nc) Justifica matematicamente se nesta amostra o facto de estar desempregado é um acontecimento independente de ter frequentado a Formação Profissional. Que leitura socioeconómica se deduz do resultado?

Num centro de triagem logística bancária examinam-se $1000$ notas suspeitas através de um scanner automático. Sabe-se que $40$ delas são falsas e $960$ são de circulação legal. O scanner ativa o alarme em $90\,\%$ das notas falsas, mas gera um falso alarme em $5\,\%$ das notas legítimas.\n\nPretende-se calcular a probabilidade de uma nota ser verdadeiramente falsa se o scanner tiver feito soar o alarme: $P(\text{Falsa}|\text{Alarme})$.\n\na) Dois estudantes discutem como resolver o problema: Beatriz propõe aplicar a fórmula teórica do Teorema de Bayes com uma árvore de probabilidades, enquanto David prefere transpor as frequências absolutas para uma tabela de contingência de $2 \times 2$. Constrói a tabela de contingência com os valores propostos por David.\nb) A partir da tabela obtida, calcula diretamente a probabilidade condicionada $P(\text{Falsa}|\text{Alarme})$.\nc) Escolhe e justifica qual dos dois métodos (árvore com fórmulas ou tabela de contingência) permite visualizar melhor o impacto dos falsos alarmes no total de avisos. Explica por que razão o resultado obtido costuma parecer surpreendentemente baixo à primeira vista.

Um departamento de cibersegurança analisa o tráfego de e-mails de uma grande empresa de tecnologia. Sabe-se que $12\%$ dos e-mails que entram no servidor são tentativas de phishing (fraude). O sistema de filtragem inteligente classifica os e-mails como "Suspeitos" ou "Seguros".

O sistema é capaz de detetar corretamente $95\%$ dos e-mails de phishing. No entanto, por um excesso de cuidado, $3\%$ dos e-mails legítimos são classificados erroneamente como "Suspeitos".

1. a) Organize as informações numa tabela de contingência utilizando uma amostra teórica de $10\,000$ e-mails.

1. b) Se um funcionário receber um e-mail classificado como "Suspeito", qual é a probabilidade de ser realmente um e-mail legítimo?

1. c) Os acontecimentos "E-mail de Phishing" e "Classificado como Suspeito" são acontecimentos independentes? Justifique a sua resposta por meio do cálculo de probabilidades.

Num estudo sobre os hábitos de consumo de conteúdos em streaming de jovens entre os 18 e os 22 anos, foram obtidos os seguintes dados:

• $65\%$ dos jovens têm subscrição da Netflix ($N$).

• $40\%$ têm subscrição da Disney+ ($D$).

• A probabilidade de um jovem não ter subscrição de nenhuma das duas plataformas é de $0,25$.

1. a) Elabore uma tabela de contingência que exprima os valores em termos de probabilidade.

1. b) Escolhe-se um jovem ao acaso que tem subscrição da Netflix. Calcule a probabilidade de que também tenha subscrição da Disney+.

1. c) Determine se ter uma subscrição da Netflix é independente de ter uma subscrição da Disney+.

Uma plataforma de venda de roupa em segunda mão analisa o comportamento dos seus utilizadores. $60\%$ dos utilizadores são "Compradores Recorrentes" ($C$), enquanto os restantes são "Compradores Esporádicos".

Observa-se que $70\%$ dos compradores recorrentes utilizam a aplicação móvel para as suas transações, enquanto apenas $30\%$ dos compradores esporádicos a utilizam (preferindo a web).

1. a) Se selecionarmos um utilizador ao acaso, qual é a probabilidade de que utilize a web para realizar as suas compras?

1. b) Se sabemos que um utilizador realizou uma compra através da web, qual é a probabilidade de que seja um comprador recorrente?

1. c) Represente a situação por meio de uma tabela de contingência para uma população de $500$ utilizadores.

Um centro de formação profissional oferece dois cursos técnicos de nível superior: Desenvolvimento de Aplicações Web ($DAW$) e Marketing e Publicidade ($MK$). $55\%$ dos alunos estão inscritos em $DAW$.

Detetou-se que $20\%$ dos alunos de $DAW$ e $15\%$ dos de $MK$ abandonam os estudos antes de concluir o primeiro ano.

1. a) Construa a tabela de contingência associada a este centro de formação.

1. b) Se escolhermos um aluno ao acaso entre os que abandonaram o curso, qual é a probabilidade de estar matriculado em Marketing e Publicidade?

1. c) O abandono dos estudos é independente do curso em que o aluno se inscreve? Justifique a resposta comparando $P(Abandono)$ com $P(Abandono | DAW)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num inquérito realizado num festival de música sobre a preferência de género musical e a idade, obtiveram-se os seguintes dados de uma amostra de $200$ participantes:

Sabendo que o número total de fãs de Pop é $65$ e que os menores de 25 anos representam $45\%$ do total da amostra:

1. a) Completa a tabela de contingência com os valores absolutos.

1. b) Calcula a probabilidade de um participante escolhido ao acaso ter mais de 25 anos e gostar de Indie.

1. c) Se um participante gosta de Rock, qual é a probabilidade de ter menos de 25 anos?

Uma plataforma de pagamentos por telemóvel utiliza um sistema automático de deteção de fraude. Os dados do sistema indicam que ele deteta corretamente $98\%$ das operações realmente fraudulentas ($F$). Por outro lado, gera um "falso alarme" (marca como suspeita uma operação legítima, $L$) em $4\%$ dos casos. Na plataforma, estima-se que $5\%$ das operações sejam fraudulentas.

1. a) Constrói uma tabela de contingência para uma amostra de $10\,000$ operações.

1. b) Se uma operação foi marcada como suspeita, qual é a probabilidade real de que seja fraudulenta? Comenta o resultado obtido relativamente à fiabilidade do sistema.

1. c) Se o sistema não marcar uma operação, qual é a probabilidade de que seja realmente legítima?

Um ginásio oferece dois tipos de atividades: Musculação ($M$) e Aulas de Grupo ($C$). $40\%$ dos alunos são mulheres. Sabe-se que $70\%$ das mulheres optam por aulas de grupo, enquanto $80\%$ dos homens preferem musculação.

1. a) Se escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de preferir musculação?

1. b) Se selecionarmos um aluno que prefere aulas de grupo, qual é a probabilidade de ser homem?

1. c) Determine se o sexo do sócio e a preferência por musculação são acontecimentos independentes. Explique o seu raciocínio matemático.

Num estudo sobre o uso de veículos elétricos ($E$) e veículos a combustão ($C$) numa cidade, analisam-se $1\,200$ condutores. $25\%$ dos condutores têm um veículo elétrico. Dos condutores de veículos elétricos, $60\%$ vivem em moradias unifamiliares ($U$), enquanto entre os condutores de veículos a combustão, essa percentagem desce para $20\%$.

1. a) Calcule a probabilidade de um condutor escolhido ao acaso viver numa moradia unifamiliar.

1. b) Se um condutor vive numa moradia unifamiliar, qual é a probabilidade de que seja proprietário de um veículo elétrico?

1. c) Os acontecimentos "Ter um veículo elétrico" e "Viver numa moradia unifamiliar" são independentes? Justifique comparando as probabilidades pertinentes.

Num ensaio clínico com $400$ doentes que sofrem de enxaqueca crónica, avalia-se um novo fármaco em comparação com um placebo. A amostra divide-se em $240$ doentes que recebem o fármaco e $160$ que recebem placebo. No final do ensaio, constata-se que exatamente $240$ do total de $400$ doentes registaram uma melhoria notável. Designamos por $x$ o número de doentes do grupo placebo que registaram melhoria.\n\na) Modela a tabela de contingência em função do parâmetro $x$ e determina que valor exato deve tomar $x$ para que a melhoria do doente seja estatisticamente independente do tratamento recebido.\nb) Suponhamos que, após a abertura do protocolo cego, os dados reais revelam que $x = 40$. Calcula as probabilidades condicionadas de melhoria em cada grupo, $P(\text{Melhoria}|\text{Fármaco})$ e $P(\text{Melhoria}|\text{Placebo})$, e demonstra se o fármaco se revela ou não eficaz em relação ao placebo.\nc) Problema inverso: Mantendo fixos os totais marginais da tabela ($240$ com fármaco, $160$ com placebo e $240$ que melhoraram no total), determina o intervalo completo de valores inteiros que $x$ pode tomar para que possamos afirmar com rigor estatístico que o fármaco é estritamente mais eficaz do que o placebo. Justifica os valores-limite analisando as restrições naturais de não negatividade das células.

Num campeonato com $2000$ atletas federados, a comissão antidoping estima que $2\,\%$ consome uma substância proibida. Para a detetar, utiliza-se um teste com uma sensibilidade de $95\,\%$ (probabilidade de dar positivo se o atleta estiver dopado) e uma taxa de falsos positivos de $5\,\%$ (probabilidade de dar positivo se o atleta estiver limpo).\n\nUm atleta dá positivo no controlo. No dia seguinte, um jornal desportivo publica a manchete: «O teste tem $95\,\%$ de fiabilidade, pelo que a probabilidade de o atleta punido ser culpado é de $95\,\%$. O advogado de defesa, por sua vez, afirma perante o tribunal que «com esses mesmos dados, a probabilidade de o seu cliente ser inocente apesar do teste positivo supera os $70\,\%$».\n\na) Constrói a tabela de contingência completa de frequências absolutas para os $2000$ atletas (Dopado / Limpo versus Teste Positivo / Teste Negativo).\nb) Identifica o erro probabilístico cometido pelo jornal (conhecido como falácia da condicional transposta). Que duas probabilidades condicionadas foram confundidas pelo jornalista?\nc) Calcula através da tabela $P(\text{Dopado}|\text{Positivo})$ e $P(\text{Limpo}|\text{Positivo})$. Determina com rigor matemático quem tinha razão (o jornalista ou o advogado) e reflete criticamente sobre o risco ético de aplicar testes de diagnóstico com falsos positivos quando a prevalência da condição na população é muito baixa.