Ficha técnica de sondagens e leitura crítica

Uma sondagem eleitoral publica esta ficha técnica: «Universo: recenseamento eleitoral do distrito ($650\,000$ pessoas). Amostra: $1\,200$ entrevistas. Erro amostral: $\pm 2,8\ \%$. Nível de confiança: $95,5\ \%$».

• a) Explique o que significa cada um dos quatro dados.

• b) Qual é a relação entre o nível de confiança e a segurança de que o resultado real esteja dentro da margem de erro?

A Maria está a preparar um trabalho de investigação social e precisa de realizar dois inquéritos com um nível de confiança de $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) e uma margem de erro máxima de $\pm 3\,\%$ no caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$). Um dos inquéritos será dirigido à população de Lisboa (aproximadamente $3\,300\,000$ habitantes) e o outro à de Viseu (cerca de $300\,000$ habitantes). A Maria afirma: «Como a população de Lisboa é cerca de $11$ vezes maior do que a de Viseu, precisarei de entrevistar $11$ vezes mais pessoas em Lisboa para conseguir a mesma margem de erro».\n- a) Encontra o erro de raciocínio da Maria e explica por que razão ela está enganada, apoiando-te na fórmula do erro amostral $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.\n- b) Calcula o tamanho amostral necessário $n$ para cada uma das duas cidades sob as condições exigidas (arredonda para o número inteiro superior). O tamanho necessário da amostra varia entre as duas cidades?\n- c) Em que única situação o tamanho do universo influenciaria de forma apreciável o tamanho da amostra necessária?

Uma empresa de sondagens publica uma sondagem de opinião realizada a uma amostra aleatória de $n = 2\,500$ pessoas adultas em Espanha.\n- a) Antes de fazer cálculos detalhados, estima mentalmente a margem de erro amostral $E$ (em percentagem) que corresponde a essa amostra para um nível de confiança de $95\,\%$, aplicando a regra rápida do caso mais desfavorável $E \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$.\n- b) Calcula a margem de erro exata utilizando a fórmula $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{0,25}{n}}$ com $z_{\alpha/2} = 1,96$. Compara o resultado com a tua estimativa prévia e calcula a diferença entre os dois valores.\n- c) À vista dos resultados, avalia se a regra rápida $1/\sqrt{n}$ é uma ferramenta razoável e útil para que um cidadão comum interprete de forma crítica as fichas técnicas que aparecem na imprensa.

Um inquérito sobre hábitos de leitura indica $34\ \%$ de leitores diários com uma margem de erro de $\pm 3\ \%$ e um nível de confiança de $95 \%$.

• a) Entre que valores se encontra, com esse nível de confiança, a percentagem verdadeira de leitores diários?

• b) Uma manchete afirma: «Exatamente $34$ em cada $100$ pessoas leem diariamente». Corrija a manchete para que seja rigorosa.

A ficha técnica de uma sondagem eleitoral diz: «Universo: $2\,400\,000$ eleitores. Amostra: $2\,400$ entrevistas aleatórias. Erro amostral: $\pm 2\ \%$. Confiança: $95\ \%$».

• a) Interprete cada dado da ficha.

• b) Raciocine, qualitativamente, porque é que o erro amostral depende do tamanho da amostra e quase nada do tamanho do universo.

• c) A sondagem dá $21\ \%$ para um partido e $22\ \%$ para outro. Pode afirmar-se que o segundo está à frente? Justifique com a margem de erro.

Para conhecer o uso da biblioteca de uma escola de $900$ alunos, entrevista-se $50$ alunos de uma única turma, a que está na sala de estudo no primeiro horário.

• a) Identifique qual é o elemento da ficha técnica que falha: o universo, a amostra ou o cálculo do erro?

• b) Explique porque é que a amostra não é representativa e proponha como selecioná-la corretamente.

Um jornal digital traz a manchete: «$60\ \%$ dos jovens rejeita a nova aplicação da câmara municipal». Na letra miúda lê-se: inquérito a $80$ utilizadores de um fórum de reclamações sobre serviços municipais.

• a) Aponte todos os problemas metodológicos dessa manchete (seleção da amostra, dimensão e enviesamento).

• b) Estime, com a fórmula do erro $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{n}}$, a margem de erro que teria mesmo uma amostra aleatória dessa dimensão.

• c) Reescreva a manchete de forma honesta.

Durante um debate sobre os horários comerciais numa região, dois órgãos de comunicação social publicam as respetivas sondagens no mesmo dia:\n- Método A (Sondagem online aberta): Uma estação de rádio convida a votar no seu site durante $24$ horas. Participam $40\,000$ utilizadores e $78\,\%$ opõem-se à abertura aos domingos. O meio publica na primeira página: «O erro para $40\,000$ respostas é de apenas $\pm 0,5\,\%$ a $95\,\%$ de confiança».\n- Método B (Amostragem probabilística): Um instituto de sondagens realiza entrevistas telefónicas a $1\,200$ pessoas selecionadas através de amostragem aleatória estratificada por idade e concelho. O resultado é de $54\,\%$ contra, com uma margem de erro de $\pm 2,8\,\%$ a $95\,\%$ de confiança ($z_{\alpha/2} = 1,96$, caso mais desfavorável).\n- a) Verifica analiticamente se o cálculo numérico do erro amostral no Método A ($E \approx 1/\sqrt{n}$) está correto para $n = 40\,000$ e explica por que razão aplicar essa fórmula matemática a essa sondagem constitui uma falácia metodológica.\n- b) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois fornece uma base científica válida para inferir a opinião da população da região. Analisa na tua resposta os conceitos de autosseleção, base de sondagem e representatividade.\n- c) Refuta formalmente a seguinte afirmação habitual em debates públicos: «Uma amostra voluntária de $40\,000$ cidadãos tem sempre maior rigor estatístico do que uma de apenas $1\,200$ pessoas, porque recolhe quase quarenta vezes mais opiniões reais».

Verdadeiro ou falso, justificando a resposta: «Se um estudo foi feito com $1\,200$ pessoas e um nível de confiança de $95\ \%$, o seu resultado coincide exatamente com o valor verdadeiro de toda a população».

Duas sondagens sobre a mesma população e na mesma semana dão resultados diferentes para o mesmo acontecimento: a primeira estima $38\ \%$ com erro de $\pm 2\ \%$ (amostra de $2\,500$ pessoas) e a segunda, $34\ \%$ com erro de $\pm 4,5\ \%$ (amostra de $450$ pessoas), ambas a $95\ \%$ de confiança.

• a) Escreva os intervalos nos quais se encontraria o valor verdadeiro segundo cada sondagem e verifique se eles se sobrepõem.

• b) Explique, com a fórmula do erro, porque é que a segunda tem uma margem muito maior.

• c) Se uma manchete diz «as sondagens contradizem-se», isso está correto? Justifique a sua resposta.

Uma consultora sociológica realiza um estudo sobre hábitos de reciclagem numa região a partir de uma amostra aleatória representativa de $n = 1\,000$ pessoas, com um nível de confiança de $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). Na ficha técnica global figura um erro amostral de $E = \pm 3,1\,\%$ no caso mais desfavorável. A amostra é composta por $500$ mulheres e $500$ homens. Perante a pergunta sobre se separam os resíduos orgânicos, $53\,\%$ das mulheres e $47\,\%$ dos homens afirmam fazê-lo habitualmente.\nMarcos, analista em formação, escreve no seu relatório as seguintes duas conclusões:\n1. «Como o erro do inquérito é $\pm 3,1\,\%$, o intervalo de confiança para as mulheres é $[49,9\,\%; 56,1\,\%]$ e para os homens é $[43,9\,\%; 50,1\,\%]$».\n2. «Dado que ambos os intervalos se sobrepõem entre $49,9\,\%$ e $50,1\,\%$, fica formalmente demonstrado que não existe nenhuma diferença significativa entre o comportamento de mulheres e homens».\n- a) Aponta o erro cometido por Marcos no ponto 1. Calcula a margem de erro real para cada subgrupo ($n = 500$) no caso mais desfavorável a $95\,\%$ de confiança e escreve os intervalos de confiança corrigidos.\n- b) Refuta o raciocínio de Marcos no ponto 2 explicando os dois erros concetuais cometidos: por que razão a sobreposição de dois intervalos individuais não decide por si só se uma diferença é estatisticamente significativa e por que razão a ausência de significância estatística não equivale a demonstrar a igualdade.\n- c) Se a consultora desejasse que a margem de erro específica para o subgrupo de homens fosse de, no máximo, $\pm 2,5\,\%$ a $95\,\%$ de confiança (caso mais desfavorável), a quantos homens deveria entrevistar no total?

Numa reportagem sobre mobilidade urbana numa capital espanhola lê-se o seguinte título: «O apoio ao alargamento das ciclovias situa-se entre $55,5\,\%$ e $60,5\,\%$ da população». Na ficha técnica que acompanha a notícia indica-se unicamente: «Nível de confiança: $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). Amostragem aleatória simples. Caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$)».\n- a) A partir dos extremos do intervalo de confiança fornecido na notícia, reconstrói a proporção amostral estimada $\hat{p}$ e a margem de erro $E$ que a equipa sociológica utilizou.\n- b) Deduz a dimensão exata da amostra $n$ que foi entrevistada para elaborar o estudo (arredonda ao inteiro superior).\n- c) Um vereador afirma em conferência de imprensa: «Podemos assegurar com total certeza matemática que mais de metade da população apoia a medida». A sua afirmação é rigorosa do ponto de vista da inferência estatística? Justifica a tua resposta distinguindo entre certeza absoluta e nível de confiança.

O Instituto Municipal da Juventude de uma cidade com $50\,000$ jovens recenseados (de 18 a 30 anos) deseja estimar a taxa de emancipação juvenil através de um inquérito. Dispõem de uma subvenção máxima de $7\,200$ euros e o custo operacional de realizar e registar cada questionário presencial é de $8$ euros.\n- a) Se os técnicos exigirem um nível de confiança de $95,5\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 2$) e uma margem de erro máxima de $\pm 2,5\,\%$ no caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$), calcula o número mínimo de entrevistas necessárias e determina de forma justificada se o orçamento atribuído é suficiente.\n- b) Dado o orçamento máximo disponível ($7\,200$ euros), calcula qual é a margem de erro mínima que podem permitir-se mantendo o nível de confiança de $95,5\,\%$.\n- c) Para recolher os dados, um técnico propõe colocar os inquiridores à porta da universidade pública da cidade a uma terça-feira às $11:00$. Modela uma proposta de amostragem alternativa que evite os enviesamentos deste procedimento e justifica que variáveis demográficas convém estratificar.

Pretende-se estimar a percentagem de alunos da sua cidade ($25\,000$ alunos) que tomam o pequeno-almoço de forma adequada, com um erro máximo de $\pm 3\ \%$ e uma confiança de $95 \%$.

• a) Calcule a dimensão da amostra necessária no caso mais desfavorável ($p = q = 0,5$), usando $n = \frac{1,96^2 \cdot 0,25}{E^2}$.

• b) Descreva a população e um procedimento de amostragem que garanta a representatividade.

• c) Redija a ficha técnica completa do seu estudo tal como seria publicada.

Desafio do tema. O teu meio reflete a realidade estatística nacional? Vais investigar uma estatística oficial sobre a juventude e confrontá-la com dados próprios.

1. Ficha técnica oficial: Consulta no site do INE ou da Pordata um estudo recente sobre hábitos juvenis (p. ex., percentagem de leitores frequentes ou prática desportiva semanal, $p_0$). Extrai e analisa os elementos da sua ficha técnica: dimensão amostral, nível de confiança e margem de erro admitida.

2. Amostragem e intervalo: Faz a $n = 30$ jovens do teu meio a mesma pergunta dicotómica. Numa folha de cálculo ou no GeoGebra, calcula a proporção amostral $\hat{p}$ e determina o intervalo de confiança para a proporção populacional a $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$).

3. Teste e leitura crítica: Formula um teste de hipóteses bilateral ($H_0: p = p_0$ vs. $H_1: p \neq p_0$) com um nível de significância $\alpha = 0,05$. Toma uma decisão estatística fundamentada. Por fim, elabora um relatório executivo de uma página onde discutas se o teu meio difere da média nacional, avaliando os enviesamentos da tua amostra face ao rigor do inquérito oficial.

Será valorizado:

• Identificação e análise crítica dos elementos da ficha técnica oficial.

• Rigor no cálculo do intervalo de confiança e desenvolvimento formal do teste com software.

• Qualidade da leitura crítica sobre enviesamentos de seleção, representatividade e conclusões.