Estimação pontual: estimadores, enviesamento e variância amostral

Para estimar a altura média dos alunos do $2.º$ do ensino secundário de uma cidade, toma-se uma amostra aleatória de $5$ alunos, com estes resultados em centímetros: $165$, $170$, $172$, $168$, $175$.

• a) Calcule o estimador pontual da média populacional.

• b) Explique porque é que esse valor é apenas uma estimativa e não a média verdadeira.

Num inquérito a $300$ estudantes escolhidos ao acaso, $87$ afirmam ir para a escola de bicicleta.

• a) Qual é o estimador pontual da proporção populacional de estudantes que vão de bicicleta? Calcule-o.

• b) Exprima o resultado em percentagem e interprete-o.

Verdadeiro ou falso, justificando a resposta: «A média amostral é um estimador não enviesado da média populacional, ou seja, se tomássemos muitas amostras da mesma dimensão e calculássemos as suas médias, a média de todas elas coincidiria com a média da população».

Uma empresa quer estimar a média de uma população e um analista propõe como "estimador" tomar o valor máximo da amostra.

• a) Considere a população formada pelos valores $\{2, 4, 6\}$ e todas as amostras de tamanho $2$ com reposição. Calcule a média populacional e a média dos máximos de todas as amostras possíveis.

• b) Face ao resultado, este estimador é não enviesado? Explique o que é o enviesamento de um estimador a partir dos seus cálculos.

Seja a população formada pelos cinco valores $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• a) Calcule a média populacional $\mu$.

• b) Escreva todas as amostras de tamanho $2$ sem reposição e sem atender à ordem, e calcule a média de cada uma.

• c) Calcule a média dessas médias amostrais e verifique que coincide com $\mu$. Que propriedade do estimador «média amostral» é ilustrada por este resultado?

Uma amostra aleatória de uma população deu os valores $4$, $6$, $5$ e $9$.

• a) Calcule a média amostral.

• b) Calcule a variância amostral (dividindo por $n$) e a variância amostral corrigida (dividindo por $n - 1$).

• c) Qual das duas é usada como estimador centrado da variância populacional? O que significa «centrado»?

O Marcos realizou um pequeno inquérito a $5$ colegas de turma sobre o número de horas semanais que dedicam ao estudo de Matemática, obtendo os valores: $4$, $6$, $5$, $8$ e $7$. Para estimar a dispersão de todos os alunos da sua escola, calcula a média amostral $\bar{x} = 6$ horas e, de seguida, calcula $s^2 = \frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (7-6)^2}{5} = \frac{4 + 0 + 1 + 4 + 1}{5} = 2$. O Marcos conclui no seu trabalho: «O estimador não enviesado da variância populacional das horas de estudo é exatamente $2$ horas quadradas».

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos comete ao considerar $s^2$ como um estimador não enviesado da variância populacional $\sigma^2$.
2. b) Explica por que razão a variância amostral calculada pelo Marcos tende a dar um valor que subestima a variância real da população. Que papel desempenham nessa subestimação os desvios em relação à média amostral face aos desvios em relação à média populacional $\mu$?
3. c) Corrige o cálculo do Marcos obtendo o valor do estimador não enviesado correspondente (a quase-variância $\hat{s}^2$) e calcula o quase-desvio-padrão amostral $\hat{s}$.

Foram medidos os tempos de carga completa (em minutos) de $8$ telemóveis de uma mesma marca: $74$, $81$, $69$, $78$, $85$, $72$, $77$, $80$.

• a) Estime a média do tempo de carga desse modelo com um estimador não enviesado.

• b) Estime a sua variância com um estimador não enviesado (quase-variância).

• c) Calcule também o quase-desvio padrão e interprete ambos os resultados.

Um portal imobiliário seleciona uma amostra de $6$ anúncios de quartos para arrendar num bairro, com estes preços mensais em euros: $450$, $520$, $480$, $510$, $465$, $495$.

• a) Estime o preço médio do bairro com um estimador não enviesado.

• b) Estime a variabilidade dos preços calculando a variância amostral corrigida e o desvio padrão amostral corrigido.

• c) Explique, com os números deste exercício, qual é a diferença entre dividir por $n$ e por $n - 1$, e porque é que a estimação não enviesada usa $n - 1$.

Numa amostra aleatória de $500$ clientes de uma cadeia de supermercados, $210$ declaram usar a aplicação da cadeia para fazer compras.

• a) Estime a proporção populacional de clientes que usam a aplicação.

• b) Calcule o erro máximo da estimação com uma confiança de $95\ \%$, usando $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Interprete o resultado: entre quais valores se encontra, com essa confiança, a verdadeira proporção?

Para estimar a média $\mu$ de uma distribuição normal, propõem-se três estimadores baseados numa amostra aleatória: a média amostral, a mediana amostral e o ponto médio entre o mínimo e o máximo da amostra.

• a) Explique o que significa um estimador ser centrado (ou não enviesado) e discuta se é de esperar que os três o sejam numa distribuição simétrica como a normal.

• b) Explique o que é a eficiência de um estimador e raciocine qual dos três será, em geral, menos eficiente. Porque é que a média amostral costuma ser preferida?

De uma urna com uma proporção desconhecida $p$ de bolas vermelhas, extraem-se $40$ bolas com reposição, e $14$ são vermelhas.

• a) Dá o estimador pontual de $p$ e o seu valor.

• b) Explica por que razão, se em vez de $40$ extrações fossem feitas $400$, o erro padrão da estimação ficaria dividido aproximadamente por $\sqrt{10}$. Usa a expressão do erro $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Que relação existe entre essa propriedade e a lei dos grandes números?