Variável padronizada

Numa comunidade de criadores de conteúdo, o número de visualizações diárias dos vídeos segue uma distribuição normal com uma média $\mu = 1200$ e um desvio padrão $\sigma = 300$. Se um "influencer" conseguiu hoje $1650$ visualizações, calcule o valor da variável padronizada $Z$ correspondente a esse dado.

A duração da bateria de um modelo de smartphone em utilização intensiva distribui-se segundo uma normal $N(8; 1,5)$, em que a média é de $8$ horas. Um utilizador nota que o seu telemóvel só dura $5$ horas após a última atualização. Padronize este valor e indique se o resultado é positivo ou negativo. Qual é o significado do sinal neste contexto?

Dada uma variável aleatória contínua $X$ que segue uma distribuição normal com média $\mu = 50$ e desvio padrão $\sigma = 8$, determine o valor da variável original $X$ sabendo que o seu valor padronizado é $Z = 2,25$.

Dois alunos de escolas diferentes querem comparar as suas notas no teste de Economia.

• Leonor obteve um $8,2$ na sua escola, onde a média foi $\mu = 6,5$ e o desvio padrão $\sigma = 1,1$.

• Youssef obteve um $8,5$ na sua escola, onde a média foi $\mu = 7,2$ e o desvio padrão $\sigma = 1,4$.

Calcule a variável padronizada para ambos e determine qual dos dois obteve uma nota melhor em relação ao seu próprio grupo.

Numa plataforma de jogos online, a pontuação dos jogadores no nível "Lenda" segue uma distribuição normal com média $\mu = 4500$ pontos e desvio padrão $\sigma = 600$ pontos. Por outro lado, no nível "Mestre", as pontuações seguem uma distribuição normal com $\mu = 3800$ pontos e $\sigma = 450$ pontos.

Um jogador obteve $5200$ pontos no nível "Lenda" e o seu amigo obteve $4400$ pontos no nível "Mestre". Utiliza a variável padronizada para determinar qual dos dois amigos obteve uma pontuação melhor em relação ao seu grupo de jogo.

Três estudantes de escolas diferentes querem comparar os seus resultados numa prova de aptidão linguística. Como os exames eram distintos, as pontuações seguem distribuições normais diferentes:

• Ana obteve $72$ pontos num exame com $N(60, 8)$.

• Beto obteve $80$ pontos num exame com $N(70, 12)$.

• Carla obteve $65$ pontos num exame com $N(55, 5)$.

Determine, por meio da estandardização das variáveis, qual dos três estudantes se encontra numa melhor posição relativa em relação ao seu grupo de referência. Justifique a sua resposta comparando os valores da variável estandardizada $Z$.

Foi medido o tempo que os jovens de uma cidade demoram a chegar à escola. Os dados seguem uma distribuição normal com $\mu = 25$ minutos e $\sigma = 5$ minutos. Padronize o valor $X = 35$ minutos. Se a tabela da normal padrão nos diz que $P(Z < 2) = 0,9772$, qual é a percentagem de alunos que demora menos de $35$ minutos a chegar?

O Marcos tem uma variável aleatória $X \sim N(70, 8)$ que modela o tempo (em minutos) que os alunos de uma escola demoram a concluir um exame. Para calcular a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso demorar menos de $58$ minutos, o Marcos escreve no seu caderno:

«Tipifico: $z = \dfrac{70 - 58}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$. Como na tabela $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, a probabilidade pedida é de $93,32\,\%$.»

1. a) Sem necessidade de fazer contas, fundamenta por que razão o resultado final do Marcos não faz sentido a partir do valor da média.
2. b) Identifica o erro concetual e algébrico que o Marcos cometeu ao aplicar a fórmula da tipificação.
3. c) Corrige o procedimento e determina a probabilidade correta sabendo que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$.

Foi realizado um estudo sobre o tempo diário que os adolescentes de 17 anos dedicam a ver conteúdos em plataformas de streaming. Os resultados mostram que esse tempo segue uma distribuição normal $X \sim N(110, 25)$, em que o tempo é medido em minutos.

1. a) Calcule a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso passar mais de $135$ minutos por dia nessas plataformas.
2. b) Qual é a probabilidade de o tempo dedicado estar compreendido entre $90$ e $120$ minutos?

Se uma variável tipificada $Z$ segue uma distribuição normal padrão $N(0, 1)$, utiliza a simetria da curva de Gauss para explicar porque é que a probabilidade $P(Z < -1)$ é igual a $P(Z > 1)$. Desenha tu mesmo um esquema da situação: a curva de Gauss, o seu eixo de simetria, os valores $-1$, $0$ e $1$ sobre o eixo horizontal e as duas regiões cujas áreas representam essas probabilidades.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um criador de conteúdos numa rede social analisa o número de "gostos" que as suas publicações recebem. Ele observou que o número de "gostos" segue uma distribuição normal com média $1200$.

1. a) Se o desvio padrão é $\sigma = 150$, calcule o intervalo simétrico em relação à média que contenha $90\%$ das publicações.
2. b) Qual é a probabilidade de uma publicação escolhida ao acaso ter exatamente $1300$ "gostos"? Justifique a tua resposta com base nas propriedades das variáveis contínuas.

Seja $X$ uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Se definirmos a variável padronizada como $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, demonstre analiticamente, utilizando as propriedades da padronização e a simetria da curva de Gauss, que as seguintes probabilidades são equivalentes:

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calcule esse valor utilizando a tabela da distribuição $N(0, 1)$.

As notas finais do exame nacional de acesso ao ensino superior numa determinada região seguem uma distribuição normal com média $6,8$ e desvio padrão $1,2$.

A universidade decidiu conceder uma bolsa especial de excelência a $5\%$ dos alunos que obtiveram as melhores classificações. Utilizando a tabela da distribuição normal padrão $N(0,1)$, calcule a nota mínima necessária para obter essa bolsa.

Uma empresa que fabrica componentes eletrónicos garante que a vida útil das suas baterias segue uma distribuição normal com média de $800$ dias. Após um estudo de qualidade, determina-se que a probabilidade de uma bateria durar mais de $1000$ dias é de apenas $0,0062$.

1. a) Encontre o valor do desvio padrão $\sigma$ da produção.
2. b) Se a empresa decidir substituir todas as baterias que durarem menos de $k$ dias, que valor deve ter $k$ para que tenham de repor apenas $5\%$ das baterias vendidas?

As alturas dos estudantes do segundo ano do ensino médio de uma escola se distribuem segundo uma normal $X \sim N(172, 9)$. O diretor da escola deseja selecionar $5\%$ dos estudantes mais altos para o time de basquete e $5\%$ dos estudantes mais baixos para um estudo ergométrico.

1. a) A partir de qual altura os alunos são selecionados para o time de basquete?
2. b) Qual é a altura máxima para fazer parte do estudo ergométrico?
3. c) Qual é a probabilidade de um aluno medir exatamente $172$ cm? Justifique a resposta com base na natureza das variáveis contínuas.

A duração da bateria de um novo modelo de smartphone em utilização intensiva distribui-se segundo uma normal de média $\mu$ horas e desvio padrão $\sigma = 1,5$ horas.

Sabe-se que $25,14\%$ dos telemóveis têm uma bateria que dura menos de $8$ horas. Determine o valor da média $\mu$ desta distribuição utilizando o processo de despadronização.

Numa competição de atletismo, o tempo em segundos que os participantes demoram a completar os 400 metros rasos segue uma distribuição $X \sim N(52, \sigma)$.

Sabendo que $84,13\%$ dos corredores demoram menos de $55$ segundos a terminar a prova, calcule o desvio padrão $\sigma$ do tempo dos corredores.

Num curso preparatório para os exames nacionais de acesso ao ensino superior, observou-se que as notas de um teste de Matemática Aplicada às Ciências Sociais seguem uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Sabe-se que $15,87\%$ dos alunos obteve uma nota superior a $8$ pontos, enquanto $2,28\%$ não atingiu $3$ pontos. Calcule o valor da média $\mu$ e do desvio padrão $\sigma$ dessa distribuição, utilizando a tabela da normal padrão $Z \sim N(0, 1)$.

O peso das mochilas dos alunos do ensino secundário de uma escola segue uma distribuição normal com média $6,5$ kg e desvio padrão $1,4$ kg.

1. a) Determine o valor da variável padronizada $Z$ que corresponde a uma mochila de $8$ kg.
2. b) O médico da escola recomenda que o peso da mochila não ultrapasse $9$ kg. Qual é a percentagem de alunos que não cumpre esta recomendação?

Num processo seletivo para uma entidade pública, as classificações seguem uma distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. O júri do concurso não publica diretamente os parâmetros $\mu$ e $\sigma$, mas disponibiliza dois dados técnicos sobre as pontuações:

• A nota de corte de $65$ pontos encontra-se exatamente a $0,75$ desvios-padrão abaixo da média.

• Apenas $2,28\,\%$ dos candidatos superou os $86$ pontos (na distribuição normal padrão verifica-se $P(Z > 2) = 0,0228$).

1. a) Escreve a equação que relaciona diretamente $65$ com $\mu$ e $\sigma$ traduzindo a informação sobre a sua posição relativa tipificada.
2. b) Deduz o valor da variável tipificada $Z$ que corresponde à classificação de $86$ pontos e formula a segunda equação do sistema.
3. c) Resolve o sistema formulado para calcular a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$ do exame.

O tempo que os adolescentes de uma cidade dedicam diariamente às redes sociais segue uma distribuição normal $X \sim N(120, 20)$, em que o tempo é medido em minutos.

Calcule a probabilidade de um adolescente escolhido ao acaso dedicar às redes sociais entre $100$ e $150$ minutos, sabendo de antemão que dedica mais de $110$ minutos. (Nota: utilize a definição de probabilidade condicionada junto com a standardização da variável).

Sabe-se que o peso dos pacotes de café embalados automaticamente por uma máquina segue uma distribuição normal com desvio padrão $\sigma = 15$ gramas. Ajustou-se a máquina para que $97,5\%$ dos pacotes tenham um peso superior a $470,6$ gramas.

1. a) Calcule o peso médio $\mu$ para o qual a máquina foi programada.
2. b) Com esse ajuste, qual é a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso pesar mais de $510$ gramas?

Para analisar o consumo energético numa região durante a época de inverno, modela-se a procura elétrica diária através de uma variável $X \sim N(3200, 400)$ em megawatts (MW). Pretende-se calcular a percentagem de dias em que a procura se situa no intervalo de consumo moderado, compreendido entre $2600\text{ MW}$ e $3800\text{ MW}$. Dois analistas propõem procedimentos distintos:

• Método 1 (Simetria central): Observar que os extremos distam o mesmo da média $\mu = 3200$, tipificar o extremo superior $z_2$ e calcular a probabilidade como $2 \cdot [P(Z \le z_2) - 0,5]$.

• Método 2 (Subtração padrão de funções de distribuição): Tipificar ambos os extremos $z_1$ e $z_2$ e aplicar diretamente $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$, transformando depois a cauda esquerda com $P(Z \le z_1) = 1 - P(Z \le -z_1)$.

1. a) Desenvolve completamente ambos os métodos numericamente, sabendo que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, e verifica que ambos conduzem à mesma probabilidade.
2. b) Justifica qual dos dois métodos minimiza o risco de cometer erros com os sinais negativos ao trabalhar com tabelas que apenas incluem valores positivos de $Z$.
3. c) Se o intervalo de estudo mudasse para $[2800, 4000]\text{ MW}$, fundamenta se o Método 1 continuaria a ser válido ou se, obrigatoriamente, se teria de recorrer ao Método 2.

O tempo de viagem em minutos de uma linha de comboio de alta velocidade em Espanha segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, 12)$. A empresa operadora mantém um compromisso de pontualidade: se a viagem ultrapassar os $165$ minutos, indemniza os passageiros devolvendo-lhes o valor do bilhete. A direção fixa como objetivo de qualidade que, no máximo, $1\,\%$ dos comboios necessite de indemnização, para o que se toma o valor crítico $P(Z \le 2,33) \approx 0,99$.

1. a) Modela a situação mediante a variável tipificada e calcula qual deve ser o tempo médio de viagem $\mu$ programado para cumprir esse compromisso com a dispersão atual ($\sigma = 12$ minutos).
2. b) A equipa de engenharia propõe dois projetos alternativos de modernização:

• Projeto A: Reduzir o tempo médio para $\mu_A = 140$ minutos, embora a dispersão aumentasse para $\sigma_A = 11$ minutos devido a novas paragens.

• Projeto B: Manter a média $\mu$ obtida na alínea a), mas investir em tecnologia de via para reduzir o desvio-padrão para $\sigma_B = 9$ minutos.

Compara as variáveis tipificadas associadas ao limite de indemnização ($165$ minutos) em ambas as propostas e fundamenta qual dos dois projetos consegue uma maior redução da percentagem de comboios indemnizados.

1. c) Explica que implicação prática tem, do ponto de vista do utilizador, que duas linhas ferroviárias com diferentes médias e desvios-padrão apresentem exatamente o mesmo valor tipificado $Z$ relativamente ao seu limiar de atraso.