Regra de Laplace

Utiliza-se uma roleta dividida em $12$ setores iguais, numerados de $1$ a $12$. Calcule a probabilidade de, ao rodar a roleta, a seta parar em:

1. a) Um número divisível por $3$.
2. b) Um número que seja quadrado perfeito (como $1, 4, 9$).
3. c) Um número maior do que $2$ e menor do que $7$.

O Hugo quer calcular a probabilidade de, ao lançar simultaneamente três moedas equilibradas de $1$ euro, se obterem exatamente duas caras e uma coroa. O Hugo raciocina da seguinte forma: «Ao lançar três moedas, o número total de caras obtidas só pode ser $0$, $1$, $2$ ou $3$. Portanto, o espaço de resultados tem $4$ resultados possíveis. Como o acontecimento "obter duas caras" é um desses quatro resultados, aplicando a Regra de Laplace a probabilidade é $P = \frac{1}{4} = 0,25$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Hugo, fazendo referência explícita à condição indispensável que a Regra de Laplace exige sobre os acontecimentos elementares.
2. b) Escreve o espaço de resultados correto formado por acontecimentos equiprováveis e calcula o valor real da probabilidade de obter exatamente duas caras.
3. c) Calcula a probabilidade de obter pelo menos duas caras.

Numa partida de um jogo de RPG, um jogador lança um dado de oito faces (octaedro) numeradas de $1$ a $8$. Se o dado estiver perfeitamente equilibrado, calcule as seguintes probabilidades utilizando a Regra de Laplace:

1. a) Obter um número par.
2. b) Obter um número maior do que $5$.
3. c) Obter um número primo.

Um grupo de alunos do 12.º ano organiza uma rifa para a viagem de finalistas. Venderam bilhetes numerados de $1$ a $100$. Se o sorteio for realizado extraindo um número ao acaso, determine a probabilidade de o número premiado:

1. a) Ser um múltiplo de $10$.
2. b) Terminar no algarismo $7$.
3. c) Ser um número menor que $15$.

Se escolhermos ao acaso uma letra da palavra ESTATÍSTICA, determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) A letra ser uma vogal.
2. b) A letra ser a letra S.
3. c) A letra ser uma consoante.

Lançamos simultaneamente duas moedas equilibradas ao ar.

1. a) Escreve o espaço de resultados da experiência.
2. b) Qual é a probabilidade de obter exatamente uma cara?
3. c) Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma coroa?

Numa turma há $30$ alunos, dos quais $18$ são raparigas e $12$ são rapazes. Sabe-se que $10$ raparigas e $8$ rapazes gostam do podcast de matemática "Derivando". Se organizares os dados numa tabela de contingência (raparigas/rapazes versus gosta/não gosta) e escolheres um aluno ao acaso, calcula a probabilidade de que:

1. a) Seja um rapaz.

1. b) Seja uma rapariga que goste do podcast.

1. c) Seja uma pessoa que não goste do podcast.

Num festival de jogos de tabuleiro, utilizam-se dois dados cúbicos equilibrados (com faces de 1 a 6). Um jogador lança ambos os dados ao mesmo tempo. A tabela mostra a soma das pontuações para cada resultado possível (linhas: dado 1; colunas: dado 2).

Calcula a probabilidade de que a soma das pontuações obtidas seja um número primo maior do que $5$.

Foi realizada uma pesquisa em uma escola sobre o uso de redes sociais. Dos $100$ estudantes do 2º ano do Ensino Médio, sabe-se que $65$ usam TikTok, $40$ usam Instagram e $15$ não usam nenhuma das duas aplicações. Se selecionarmos um estudante ao acaso, calcule a probabilidade de que:

• a) Use ambas as redes sociais.

• b) Use TikTok, mas não Instagram.

Realiza-se um estudo sobre os hábitos de consumo de conteúdos via streaming entre os jovens de uma cidade. Sabe-se que:

• $65\%$ têm subscrição da plataforma N.

• $50\%$ têm subscrição da plataforma D.

• $45\%$ têm subscrição da plataforma H.

• $30\%$ estão subscritos a N e D.

• $25\%$ estão subscritos a N e H.

• $20\%$ estão subscritos a D e H.

• $10\%$ estão subscritos às três plataformas.

Se se escolher um jovem ao acaso, calcula a probabilidade de que esteja subscrito apenas a uma das três plataformas.

Como ajuda, no diagrama de Venn só se anotou a região das três plataformas; completa tu as restantes regiões.

Numa urna de vidro para um sorteio de uma loja de tecnologia há $12$ bolas brancas e $8$ bolas pretas. Extraem-se três bolas ao acaso, uma a uma e sem reposição. Aplicando a regra de Laplace sobre o espaço de resultados de acontecimentos elementares equiprováveis, determine a probabilidade de as três bolas extraídas serem da mesma cor.

Um grupo de $5$ amigos (Ana, Bruno, Clara, David e Elena) vai posar em fila para uma fotografia de finalistas. Se se posicionarem de forma aleatória, calcule a probabilidade de a Ana e a Elena aparecerem juntas na fotografia.

Num clube de desportos eletrónicos (eSports), vai-se selecionar uma equipa de 5 jogadores para um torneio nacional. No processo de seleção apresentaram-se 15 candidatos: 8 especialistas em estratégia e 7 especialistas em reflexos. O regulamento do torneio exige que a equipa tenha, pelo menos, 3 especialistas em estratégia e, no mínimo, 1 especialista em reflexos. Se a direção escolher os 5 elementos ao acaso entre todos os candidatos, calcule a probabilidade de a equipa cumprir estritamente o regulamento.

Um videojogo de pontaria consiste em lançar um dardo virtual num alvo quadrado de $20\text{ cm}$ de lado que tem inscrito um círculo de cor laranja. O programa garante que o dardo acerta sempre nalgum ponto do quadrado de forma aleatória (equiprovável). Calcule a probabilidade de o dardo acertar fora do círculo laranja. (Considere $\pi \approx 3,14$).

Uma aplicação de design gráfico gera um padrão aleatório colocando um ponto $P$ dentro de um círculo de raio $R = 10 \text{ cm}$. No centro do círculo encontra-se inscrito um quadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. O algoritmo da aplicação considera um "acerto visual" se o ponto $P$ cair dentro do quadrado ou na região do círculo que fica acima do diâmetro horizontal, mas fora do quadrado. Utilizando o conceito de probabilidade geométrica (extensão da Regra de Laplace para áreas), calcule a probabilidade de obter um "acerto visual" numa tentativa.