Propriedades das probabilidades

Um programador de videojogos está a analisar a probabilidade de obter itens raros num baú surpresa. Os possíveis resultados são: "Item Comum" ($C$), "Item Raro" ($R$) e "Item Épico" ($E$). Indica se a seguinte atribuição de probabilidades é válida segundo os axiomas de Kolmogorov e justifica a tua resposta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

Num estudo sobre a utilização de aplicações móveis entre adolescentes, determinou-se que a probabilidade de um aluno ter instalado uma aplicação de edição de vídeo é $P(V) = 0,35$. Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não ter instalado a referida aplicação.

Numa caixa de materiais para um projeto de tecnologia há 50 resistências. Sabe-se que algumas são de $100\ \Omega$ ($A$) e outras de $220\ \Omega$ ($B$), e algumas são novas e outras usadas. Extrai-se uma ao acaso. Se $P(A) = 0,6$ e os acontecimentos $A$ e $B$ são complementares, determine:

1. a) A probabilidade de extrair uma resistência de $220\ \Omega$.
2. b) Qual é o valor de $P(A \cap B)$? Justifique a sua resposta com base na relação entre acontecimentos complementares.

Para a festa de formatura, os alunos do 2º ano do Ensino Médio devem escolher entre três destinos possíveis: Mojácar, Maiorca ou Tenerife. Sabe-se que a probabilidade de escolherem Mojácar é $P(M) = 0,42$ e a de escolherem Maiorca é $P(L) = 0,38$. Sabendo que os eventos são incompatíveis (só podem escolher um destino), calcule:

1. a) A probabilidade de os alunos viajarem para Porto Santo ou Açores.
2. b) A probabilidade de não escolherem nenhum destes dois destinos e irem para a Madeira.

Sejam $X$ e $Y$ dois acontecimentos tais que $P(X) = 0,25$ e $P(Y) = 0,55$. Se sabemos que estes acontecimentos são incompatíveis, calcule a probabilidade de que:

1. a) Ocorra o acontecimento $X$ ou o acontecimento $Y$.
2. b) Não ocorra o acontecimento $X$.
3. c) Ocorram $X$ e $Y$ ao mesmo tempo.

A partir dos dados representados no seguinte diagrama de Venn, onde os valores indicam as probabilidades de cada região, calcule as probabilidades pedidas:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A \cup B)$

Segundo as estatísticas de uma escola, $75\,\%$ dos alunos usa habitualmente o Instagram ($I$), $60\,\%$ usa o TikTok ($T$) e $45\,\%$ utiliza ambas as redes sociais em simultâneo.

Calcula a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, utilizar o Instagram ou o TikTok, ou seja, $P(I \cup T)$.

Numa escola secundária realiza-se um inquérito sobre hábitos de leitura. Define-se o acontecimento $L$: «o aluno lê habitualmente livros em formato papel» com $P(L) = 0,60$, e o acontecimento $D$: «o aluno lê em suporte digital» com $P(D) = 0,55$. A Maria, aluna do 12.º ano de escolaridade, afirma no seu trabalho: «Como a probabilidade da reunião é a soma das probabilidades, temos que $P(L \cup D) = 0,60 + 0,55 = 1,15$; portanto, é $100\,\%$ certo que lêem de alguma forma e sobra um excesso de $15\,\%$». Identifica e fundamenta os dois erros concetuais cometidos pela Maria com base nos axiomas de Kolmogorov. De seguida, sabendo que $35\,\%$ dos alunos lêem em ambos os formatos ($P(L \cap D) = 0,35$), calcula a probabilidade real de um aluno ler em pelo menos um dos dois formatos e a probabilidade de não ler em nenhum ($P(\overline{L} \cap \overline{D})$).

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) prevê para um fim de semana em Aveiro uma probabilidade de chuva no sábado de $P(S) = 0,70$, uma probabilidade de chuva no domingo de $P(D) = 0,60$, e uma probabilidade de chover em ambos os dias de $P(S \cap D) = 0,50$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico formal, estima fundamentadamente se a probabilidade de chover pelo menos num dos dois dias ($P(S \cup D)$) deve ser maior, igual ou menor do que $0,70$. Justifica a tua previsão a partir da relação de inclusão entre os acontecimentos $S$ e $S \cup D$.

1. b) Calcula o valor exato de $P(S \cup D)$ mediante a propriedade da reunião de acontecimentos compatíveis e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

1. c) Utilizando as leis de De Morgan, obtém a probabilidade de o fim de semana ser completamente seco ($P(\overline{S} \cap \overline{D})$) e avalia se este resultado é coerente com os dados de partida.

Consideram-se os acontecimentos $A$ e $B$ associados a uma experiência aleatória. Se sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e que a probabilidade de não ocorrer nem $A$ nem $B$ é $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica as Leis de De Morgan para encontrar a probabilidade da união, $P(A \cup B)$.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Sabe-se que a probabilidade de que não ocorra nenhum dos dois é $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Além disso, sabe-se que $P(A) = 0,5$ e que $P(B) = 0,4$.

Calcule justificadamente as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes.

Numa plataforma de conteúdos em streaming, $60 \%$ dos subscritores jovens veem séries de ficção científica (acontecimento $S$), $45 \%$ veem documentários sobre a natureza (acontecimento $D$) e $20 \%$ dos utilizadores veem ambos os tipos de conteúdo.

Calcule a probabilidade de um utilizador escolhido ao acaso:

1. a) Ver séries de ficção científica ou documentários sobre a natureza.
2. b) Não ver nenhum dos dois géneros.
3. c) Ver apenas um dos dois géneros.
4. d) Sabendo que não vê séries de ficção científica, qual é a probabilidade de ver documentários sobre a natureza?

Num estudo sobre mobilidade sustentável entre alunos do ensino secundário, constatou-se que a probabilidade de um aluno usar a bicicleta para ir à escola é $P(B) = 0,25$, a de usar o transporte público é $P(T) = 0,60$ e a de não usar nenhum destes dois meios é $P(\bar{B} \cap \bar{T}) = 0,30$.

1. a) Os acontecimentos "usar bicicleta" e "usar transporte público" são compatíveis?
2. b) Calcule a probabilidade de um aluno usar apenas a bicicleta.
3. c) Qual é a probabilidade de usar o transporte público se sabemos que não utiliza a bicicleta?

Uma equipa de eSports está a analisar o seu rendimento em dois mapas distintos de um videojogo: Inferno (acontecimento $I$) e Mirage (acontecimento $M$). As estatísticas mostram que vencem em Inferno com uma probabilidade de $0,7$ e que a probabilidade de vencer em Mirage é de $0,5$. Foi comprovado que a probabilidade de vencer em pelo menos um dos dois mapas é de $0,85$.

1. a) Calcule a probabilidade de vencerem em ambos os mapas.
2. b) O facto de vencer em Inferno é independente de vencer em Mirage?
3. c) Calcule a probabilidade de vencerem em Mirage sabendo que perderam em Inferno.

Numa investigação sobre o mercado do lazer digital em Portugal analisam-se dois serviços de subscrição: plataformas de cinema e séries ($A$) e plataformas de transmissões desportivas ($B$). Sabe-se que $P(A) = 0,65$, que $P(B) = 0,40$ e que a probabilidade de não ter contratada nenhuma das duas é $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,15$. Pede-se para determinar a probabilidade de um agregado familiar dispor de ambos os serviços, $P(A \cap B)$.

Para resolver este problema propõem-se dois caminhos:

• Método 1: Aplicar a lei de De Morgan para isolar $P(A \cup B)$ a partir de $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ e substituir na fórmula geral da adição da reunião.

• Método 2: Construir uma tabela de contingência de probabilidades ($2 \times 2$) identificando os quatro acontecimentos disjuntos fundamentais até deduzir o valor pedido.

1. a) Desenvolve a resolução completa aplicando o método que consideres mais direto e eficiente, justificando fundamentadamente os passos matemáticos seguidos.

1. b) Compara criticamente ambos os métodos e explica qual resulta mais vantajoso se, adicionalmente, fosse solicitado calcular a probabilidade de contratar unicamente cinema e séries ($P(A \cap \overline{B})$).

Em um estudo sobre o uso de redes sociais entre jovens do 2º ano do Ensino Médio, analisam-se duas plataformas: InstaPlus (evento $A$) e TikToker (evento $B$). Sabe-se que a probabilidade de um aluno usar pelo menos uma das duas é de $0,8$. Além disso, a probabilidade de usar a primeira, mas não a segunda, é de $0,3$. Se se sabe que a probabilidade de usar ambas as plataformas é a metade da probabilidade de não usar nenhuma das duas, calcule:

1. a) A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, usar a plataforma TikToker.

1. b) Os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes? Justifique matematicamente a tua resposta comparando $P(A \cap B)$ com o produto das suas probabilidades individuais.

1. c) Calcule a probabilidade de usar apenas uma das duas plataformas.

Num torneio de eSports, um jogador tem uma probabilidade $p$ de vencer a primeira partida. Se vencer a primeira, a confiança aumenta e a probabilidade de vencer a segunda é de $0,7$. Se perder a primeira, a probabilidade de vencer a segunda cai para $0,3$. Sabendo que a probabilidade de vencer a segunda partida é de $0,54$, calcule:

1. a) O valor da probabilidade $p$.

1. b) A probabilidade de o jogador ter vencido a primeira partida sabendo que perdeu a segunda.

Uma aplicação de música por streaming classifica os seus utilizadores em três categorias segundo o seu tempo de escuta: Free ($F$), Premium ($P$) e Family ($S$). $50\%$ são utilizadores Free, $30\%$ Premium e os restantes Family. Sabe-se que a percentagem de utilizadores que escutam podcasts habitualmente é de $20\%$ na categoria Free, de $60\%$ na Premium e de $40\%$ na Family.

1. a) Se escolhermos um utilizador ao acaso que escuta podcasts, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade Premium?

1. b) Se for adicionada uma nova condição: "Nenhum utilizador Family que escuta podcasts tem menos de 18 anos". Se escolhermos um utilizador ao acaso, qual é a probabilidade de ser um utilizador Family, escutar podcasts e ter menos de 18 anos? Justifique a sua resposta usando o acontecimento impossível.