Probabilidades de uma N(0,1)

Um estudo sobre o tempo que os jovens passam numa conhecida rede social de vídeos curtos determina que, uma vez normalizados os dados, a variável segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. Se selecionarmos um utilizador ao acaso, calcule a probabilidade de o seu tempo de utilização ser menor ou igual a $1,45$ unidades padronizadas. Utilize a representação gráfica para identificar a área pedida.

Num estudo sobre o desempenho de uma nova inteligência artificial, padronizaram-se os tempos de resposta seguindo uma distribuição normal mínima $N(0,1)$. Calcule as seguintes probabilidades utilizando a tabela da distribuição normal:

1. A probabilidade de um tempo padronizado ser superior a $1,32$; isto é, $P(Z > 1,32)$.

2. A probabilidade de o tempo se encontrar abaixo de $-0,45$; isto é, $P(Z < -0,45)$.

Num torneio de e-sports, o tempo de reação dos jogadores profissionais foi padronizado para seguir uma distribuição $N(0,1)$. Se se considerar "tempo de reação lento" qualquer valor acima de $0,82$, determina a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso ter um tempo de reação lento, isto é, calcula $P(Z > 0,82)$.

A pontuação num teste de aptidão musical para adolescentes segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. O departamento de música de uma escola decide reforçar os alunos cuja pontuação padronizada seja inferior a $-1,2$. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso precisar desse reforço?

Utilizando as propriedades de simetria da curva de Gauss para uma distribuição normal padrão $Z$, calcule as seguintes probabilidades sem consultar valores negativos na tabela:

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

Uma aplicação de idiomas regista o progresso diário dos utilizadores. A melhoria no vocabulário, após estandardizar os dados, ajusta-se a uma normal $N(0,1)$. Calcule a probabilidade de um utilizador melhorar o seu vocabulário num intervalo compreendido entre $0,5$ e $1,5$ unidades estandardizadas.

Dada uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$, calcule a probabilidade de a variável tomar valores no intervalo $[-1,1, 0,4]$. Lembra-te de que, para resolver este tipo de intervalo, deves aplicar a fórmula:

As pontuações de um teste de aptidão para jovens de 18 anos foram padronizadas de modo a seguirem uma distribuição $N(0,1)$. Se selecionarmos um candidato ao acaso, determine a probabilidade de a sua pontuação padronizada se encontrar no intervalo $[-1,24, 2,13]$.

Numa fábrica de ténis desportivos, o controlo de qualidade da resistência da sola é realizado por meio de uma variável padronizada $Z \sim N(0,1)$. Os engenheiros querem identificar o valor $k$ positivo tal que a probabilidade de uma sola ter uma resistência menor ou igual a $k$ seja de $0,975$. Procura na tabela da normal padrão esse valor de $k$.

Dada uma variável aleatória contínua $Z$ que segue uma distribuição normal reduzida $N(0,1)$, determina o valor da constante positiva $k$ que satisfaz cada uma das seguintes condições:

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

Um algoritmo de redes sociais classifica a relevância das publicações por meio de uma variável $Z \sim N(0,1)$. Sabe-se que $10\%$ das publicações mais relevantes recebem uma menção especial. A partir de que valor de $Z$ é que uma publicação é considerada dentro desse $10\%$ superior? (Determine o valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

O tempo de espera na fila de um festival de música, medido de forma padronizada, segue uma distribuição $N(0,1)$. Os organizadores querem determinar um intervalo central $(-k, k)$ que contenha $95\%$ dos participantes. Sabendo que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utiliza a simetria da curva de Gauss para encontrar o valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondente.

Determine o valor de $a$ para que se cumpra a seguinte igualdade numa distribuição normal padrão $N(0,1)$:

Explique o significado gráfico deste resultado em relação à área central da curva de Gauss.

Num estudo sobre a eficiência de um novo algoritmo de recomendação de uma rede social, determinou-se que o tempo de permanência adicional dos utilizadores segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. Se a plataforma deseja identificar o grupo de utilizadores "ultra-ativos", que são aqueles cujo tempo padronizado se encontra num intervalo simétrico em relação à média que engloba exatamente 88,82 % da população, calcule o valor crítico $k$ que define os limites desse intervalo.

Calcule o valor da constante positiva $a$ sabendo que, numa distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$, a probabilidade de a variável tomar valores no intervalo compreendido entre $-a$ e $a$ é o triplo da probabilidade de tomar valores superiores a $a$. Utilize as propriedades de simetria da curva de Gauss para propor uma equação antes de consultar a tabela.

Numa distribuição $N(0,1)$, consideram-se os pontos $z_1$ e $z_2$ tais que $z_1$ é o percentil 20 e $z_2$ é o valor que deixa à sua direita uma probabilidade de 0,15. Calcule a probabilidade de a variável $Z$ se encontrar no intervalo $[z_1, z_2]$. Arredonde os valores intermédios da tabela para quatro casas decimais.

Um analista de dados de uma liga de e-sports está a estudar o "índice de reflexos" dos jogadores profissionais, o qual se distribui segundo uma $N(0,1)$. Sabe-se que um jogador é selecionado para a equipa nacional se o seu índice estiver acima de um valor $z_0$. Se um jogador for escolhido ao acaso e soubermos que o seu índice é positivo, a probabilidade de ser selecionado para a equipa nacional é de 0,3412. Determine o valor da pontuação de corte $z_0$ necessária para entrar na equipa.