Interpretações da probabilidade: clássica, frequentista e subjetiva

O Marcos e a sua colega Elena estão a estudar a probabilidade de diferentes experiências aleatórias. Ao analisar o lançamento de um pionés sobre uma mesa, o Marcos afirma:

«Ao cair, o pionés só pode ficar em duas posições: com a ponta virada para cima ou apoiado de lado com a ponta virada para baixo. Como há dois casos possíveis e um favorável, a probabilidade de cair com a ponta virada para cima é exatamente:

aplicando a regra de Laplace».

• a) Explica detalhadamente por que razão o raciocínio do Marcos é erróneo e que requisito imprescindível da regra de Laplace não se cumpre neste caso.

• b) A Elena propõe-lhe utilizar a interpretação frequentista. Descreve que experiência teriam de realizar, que dados deveriam registar e como calculariam a probabilidade a partir deles.

• c) Após lançarem o pionés $400$ vezes nas mesmas condições, observam que a ponta fica virada para cima em $136$ ocasiões. Calcula a frequência relativa obtida, expressa-a na forma decimal e justifica se é razoável adotar este valor como estimativa da probabilidade procurada.

Numa roleta europeia ($37$ casas: $18$ vermelhas, $18$ pretas e o zero verde), registaram-se $5\,000$ lançamentos, e a bola caiu no vermelho $2\,560$ vezes.

• a) Que probabilidade de «vermelho» atribui a interpretação clássica (regra de Laplace)?

• b) Que probabilidade atribui a interpretação frequentista a partir dos dados?

• c) Comenta a qual das duas darias mais credibilidade e porquê.

Um dado foi lançado $200$ vezes e obtiveram-se estes resultados:

• a) Calcule a frequência relativa de cada face.

• b) Estime a probabilidade de sair um número par com este dado.

• c) As tuas estimativas coincidem com as probabilidades que a regra de Laplace daria? Comente a diferença.

Verdadeiro ou falso, justificando a resposta: «Lancei uma moeda $10$ vezes e saíram $7$ vezes cara; portanto, a probabilidade de sair cara nesta moeda já não é $0,5$, mas sim $0,7$».

O gráfico mostra a evolução da frequência relativa do acontecimento «cara» ao lançar repetidamente uma moeda, como se mostra na figura.

• a) Descreva o que acontece às oscilações da frequência relativa à medida que aumenta o número de lançamentos.

• b) Que lei enuncia esse comportamento? Escreva-a com as suas palavras.

• c) O que se deve esperar da frequência relativa se forem atingidos $10\,000$ lançamentos?

Suspeita-se que um dado de um jogo de tabuleiro esteja viciado. É lançado $1\,000$ vezes e obtém-se:

• a) Estime a probabilidade de cada face por frequências relativas.

• b) Calcule as probabilidades estimadas de «par», «menor que $6$» e «sair $1$ ou $2$».

• c) Face às estimativas, o dado parece equilibrado? Justifique.

Uma aplicação de simulação lança virtualmente dois dados equilibrados $5\,000$ vezes. Em $833$ das simulações a soma dos dados foi $7$.

1. a) Estima a probabilidade de que a soma seja $7$ a partir da simulação.

1. b) Calcula a probabilidade teórica exata desse acontecimento com a regra de Laplace.

1. c) Explica a que se deve a pequena diferença entre ambos os valores.

Um casino incorpora uma nova roleta eletrónica francesa que dispõe de $37$ casas numeradas de $0$ a $36$. Para verificar se o gerador de números aleatórios não apresenta anomalias nem enviesamentos, um auditor examina o comportamento do acontecimento $A = \text{«obter o número } 0\text{»}$.

• a) Antes de analisar qualquer dado empírico, calcula a probabilidade teórica de $A$ através da regra de Laplace (arredondando a quatro casas decimais) e estima em que percentagem aproximada das jogadas deveria sair o $0$ se o dispositivo funcionar com perfeita equiprobabilidade.

• b) Numa primeira ronda curta de $N = 80$ jogadas, o número $0$ sai $5$ vezes. Calcula a frequência relativa observada nesta série. É possível concluir a partir deste resultado que a máquina está viciada a favor do $0$? Justifica a tua resposta com base na lei dos grandes números.

• c) Alarga-se a auditoria até registar $N = 10\,000$ jogadas consecutivas, obtendo-se o número $0$ em $274$ ocasiões. Calcula a nova frequência relativa, compara-a com a estimativa teórica obtida na alínea a) e argumenta se agora dispões de base suficiente para validar o funcionamento do software.

Justifique se cada uma destas afirmações sobre um dado equilibrado é verdadeira ou falsa:

• a) «Estou há $20$ lançamentos sem sair nenhum $5$; pela lei dos grandes números, no próximo lançamento é muito provável que saia um $5$».

• b) «Embora em $20$ lançamentos não tenha saído nenhum $5$, a probabilidade de sair $5$ no próximo lançamento continua a ser $\frac{1}{6}$».

• c) «Se eu lançar o dado $6\,000$ vezes, sairão exatamente $1\,000$ cincos».

A figura mostra duas simulações de uma experiência aleatória cujo acontecimento de interesse tem probabilidade $0,3$: a do painel A com $100$ repetições e a do painel B com $10\,000$, como se mostra na figura.

• a) Explique por que razão a frequência relativa final do painel A se afasta mais de $0,3$ do que a do painel B.

• b) Enuncie com precisão a lei dos grandes números.

• c) Essa lei garante que a frequência relativa chegue a valer exatamente $0,3$ em algum momento? Justifique a resposta.

Pretende-se estimar experimentalmente a probabilidade de que, ao dar $4$ cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas, haja pelo menos um ás, usando uma folha de cálculo com o seu gerador de números aleatórios.

• a) Descreva detalhadamente o procedimento de simulação: como codificar as cartas, como simular uma distribuição sem repetição e quantas repetições realizaria.

• b) Explique como obteria a estimativa e o que faria para verificar se a sua simulação é fiável.

Atribua uma probabilidade subjetiva, entre $0$ e $1$, a cada um destes acontecimentos e justifique a sua escolha:

• a) «Amanhã choverá na tua cidade».

• b) «Vais ser aprovado no próximo exame de matemática».

• c) Explique por que razão, nestes casos, não podes usar nem a regra de Laplace nem as frequências relativas.

Dois estudantes de Ciências Sociais, Maria e Tomás, analisam a previsão que o IPMA (Instituto Português do Mar e da Atmosfera) publicou para o próximo sábado no seu concelho: «Probabilidade de precipitação: $80\,\%$, com aviso amarelo de trovoada».

Maria opina:

«Esse valor de $80\,\%$ é um juízo puramente subjetivo dos meteorologistas, sem rigor matemático objetivo. Na verdade, para sábado só há duas possibilidades lógicas: ou chove ou não chove. Como não podemos prever o futuro com certeza, aplicando a regra de Laplace a probabilidade autêntica é de $1/2 = 0,5$».

Tomás contesta:

«Não é subjetivo, é estritamente frequentista: significa que durante $80\,\%$ das horas do dia estará a chover sobre o município, isto é, cerca de $19$ horas e doze minutos de chuva contínua. Além disso, como nos últimos quatro sábados seguidos choveu sem parar, pela lei dos grandes números a probabilidade real de este sábado não chover deve ser muito superior a $20\,\%$ para compensar a média histórica mensal».

• a) Desmonta a posição de Maria: identifica e argumenta com rigor os dois erros concetuais que comete (um relativo às condições de aplicação da regra de Laplace e outro sobre a natureza científica dos modelos meteorológicos).

• b) Desmonta a posição de Tomás: identifica e argumenta com rigor os seus dois erros (um relativo à interpretação física da percentagem de precipitação e outro sobre o funcionamento da lei dos grandes números e a falácia do apostador).

• c) Explica como se calcula na meteorologia atual esses $80\,\%$ através de modelos de previsão por conjuntos (ensemble forecasting: execução de dezenas de simulações numéricas com ligeiras perturbações nas condições iniciais) e discute fundamentadamente em qual das três interpretações (clássica, frequentista ou subjetiva/grau de crença baseado em evidência) se situa esta abordagem.

Uma empresa de logística e distribuição em carrinha na área metropolitana do Porto deseja saber a probabilidade de um dos seus veículos sofrer uma avaria durante um dia de trabalho. A direção pede aconselhamento e são apresentadas duas alternativas metodológicas:

• Método A: Considerar que uma carrinha só pode terminar o dia de duas formas (com avaria ou sem avaria) e aplicar a regra de Laplace atribuindo $P(\text{avaria}) = 1/2 = 0,5$.

• Método B: Rever o registo informático da frota do último ano, onde constam $15\,000$ dias de trabalho concluídos e um total de $180$ ocorrências por avaria, para calcular a frequência relativa correspondente.

• a) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois é o adequado para este problema, indicando a incorreção fundamental do método descartado.

• b) Calcula a probabilidade estimada de avaria por dia de trabalho utilizando o método correto e expressa-a na forma decimal e em percentagem.

• c) Se a empresa prevê realizar $3\,500$ dias de trabalho de distribuição no próximo trimestre, quantas avarias é de esperar que ocorram? Explica que princípio matemático apoia a fiabilidade desta estimativa.

Numa escola, perguntou-se a $400$ alunos escolhidos ao acaso e $268$ afirmam praticar desporto pelo menos duas vezes por semana.

• a) Estime a probabilidade de um aluno dessa escola praticar desporto semanalmente.

• b) Se a escola tem $1\,200$ alunos, quantos esperarias que praticassem desporto?

• c) Explica qual a interpretação da probabilidade que usaste e porque é que a interpretação clássica não é aplicável aqui.

Uma equipa de engenharia avalia a fiabilidade do sistema de travagem de emergência automática de um protótipo de automóvel elétrico. Após submeter o sistema a uma série continuada de ensaios idênticos em pista, obteve-se que a probabilidade frequentista de travagem correta estimada é $P(\text{sucesso}) = 0,985$.

• a) Durante toda a fase de testes, o sistema falhou exatamente em $24$ ocasiões. Formula uma equação que relacione a frequência relativa de falha observada com o número total de ensaios $N$ realizados e resolve-a para determinar quantos testes foram efetuados no total.

• b) Concebe o conteúdo de uma urna fictícia que contenha unicamente bolas vermelhas (representando a falha) e bolas verdes (representando o sucesso), de modo a que a probabilidade clássica de extrair uma bola vermelha ao acaso coincida exatamente com a probabilidade frequentista de falha obtida nos ensaios. Especifica qual é o número mínimo possível de bolas de cada cor que a urna deve ter.

• c) Após observar uma sequência de $120$ ensaios consecutivos sem qualquer falha, um membro da equipa propõe cancelar os testes restantes alegando: «Dado que a taxa de falha é de $1,5\,\%$, o sistema já acumula demasiados sucessos seguidos e a probabilidade de falhar no próximo ensaio é iminentemente alta para compensar a média». Identifica o nome deste erro de raciocínio e refuta-o utilizando as propriedades da probabilidade.

Uma seguradora fixa o preço do seguro antirroubo de bicicletas a partir dos seus registos: de $20\,000$ bicicletas seguradas no ano passado, $340$ sofreram um roubo.

• a) Qual interpretação da probabilidade a seguradora utiliza? Justifique por que razão as outras duas interpretações (clássica e subjetiva) não lhe serviriam.

• b) Calcule a probabilidade estimada de roubo.

• c) Se uma bicicleta vale $800\ \text{€}$, calcule o «prémio puro» (o preço que cobriria exatamente o risco) e explique por que razão o prémio real será maior.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) publica periodicamente as tábuas de mortalidade da população em Portugal. De acordo com os dados para uma coorte de pessoas de $65$ anos (idade habitual de reforma), de cada $100\,000$ indivíduos que atingem essa idade, $88\,500$ chegam com vida aos $75$ anos e $63\,720$ atingem os $85$ anos.

• a) Modela matematicamente a partir destes dados demográficos as seguintes duas probabilidades: a probabilidade $P_1$ de uma pessoa de $65$ anos escolhida ao acaso falecer antes de completar os $75$ anos, e a probabilidade condicionada $P_2$ de uma pessoa que já completou os $75$ anos chegar a celebrar o seu $85.^{\circ}$ aniversário. Expressa os resultados sob a forma de fração irredutível e com três casas decimais.

• b) Fundamenta detalhadamente que interpretação da probabilidade (clássica, frequentista ou subjetiva) sustenta os cálculos da alínea anterior. Explica por que razão seria um erro metodológico grave aplicar a regra de Laplace argumentando que, para cada ano, uma pessoa só tem duas opções: «continuar viva ou falecer».

• c) Uma instituição financeira oferece um plano de pensões com renda vitalícia a um cliente particular de $65$ anos. Embora a entidade tome as tábuas do INE como referência inicial, um atuário ajusta a probabilidade após avaliar os seus relatórios médicos, hábitos de vida (tabagismo, exercício físico) e historial familiar. Explica a transição epistemológica que ocorre neste processo: que papel desempenha a probabilidade frequentista como ponto de partida e como se transforma numa probabilidade subjetiva (ou bayesiana)? Por que razão nenhuma das duas interpretações seria suficiente por si só para gerir o negócio segurador?