Diagramas de árvore

Numa prateleira de um quarto de jovem há duas caixas de ténis. A Caixa A contém $3$ pares de ténis brancos e $2$ pares de ténis pretos. A Caixa B contém $2$ pares de brancos e $4$ pares de pretos. Um estudante escolhe uma caixa ao acaso (com a mesma probabilidade) e, sem olhar, retira um par de ténis.

1. a) Desenha o diagrama de árvore que represente esta situação, indicando as probabilidades em cada ramo.

1. b) Calcula a probabilidade de que os ténis escolhidos sejam de cor branca.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Num torneio de e-sports, um jogador tem de superar duas fases. Na Fase 1, a probabilidade de sucesso é de $0,8$. Se superar a primeira, passa para a Fase 2, onde a probabilidade de sucesso é de $0,6$. Se não superar a primeira fase, fica eliminado diretamente.

1. a) Elabore o diagrama de árvore correspondente.

1. b) Calcule a probabilidade de o jogador completar com sucesso as duas fases do torneio.

Numa plataforma de streaming de música, $40 \%$ dos utilizadores têm uma conta "Premium" e $60 \%$ uma conta "Gratuita". Sabe-se que $80 \%$ dos utilizadores Premium ouvem música diariamente, enquanto apenas $30 \%$ dos utilizadores com conta gratuita o fazem. Escolhido um utilizador ao acaso:

1. a) Calcule a probabilidade de que ouça música diariamente.

1. b) Se sabemos que o utilizador escolhido é Premium, qual é a probabilidade de que não ouça música diariamente?

Um popular streamer de videojogos transmite conteúdo em três plataformas diferentes: Twitch, YouTube e TikTok Live. Segundo as suas estatísticas, $45\,\%$ dos seus seguidores veem as suas transmissões na Twitch, $35\,\%$ no YouTube e os $20\,\%$ restantes no TikTok. Sabe-se que a percentagem de seguidores que interagem no chat é de $12\,\%$ na Twitch, de $8\,\%$ no YouTube e de $25\,\%$ no TikTok.

Se escolhermos um seguidor ao acaso deste streamer:

1. a) Representa a situação por meio de um diagrama de árvore.

1. b) Calcula a probabilidade de que o seguidor escolhido interaja no chat.

1. c) Sabendo que o seguidor escolhido não interage no chat, qual é a probabilidade de ser um seguidor do YouTube?

Num torneio de e-sports, um jogador deve escolher entre duas personagens: "Guerreiro" ou "Mago". A probabilidade de escolher o Guerreiro é de $60\,\%$. Se escolher o Guerreiro, tem uma probabilidade de ganhar o jogo de $0,7$. Se escolher o Mago, a sua probabilidade de vitória aumenta para $0,85$.

1. a) Constrói o diagrama de árvore associado à experiência, indicando em cada ramo a sua probabilidade.

1. b) Calcula a probabilidade de o jogador ganhar o jogo.

1. c) Se o jogador perdeu o jogo, qual é a probabilidade de ter escolhido o Guerreiro?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa urna temos $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas azuis. Extraímos duas bolas de forma sucessiva sem reposição (sem voltar a colocar a primeira bola na urna).

1. a) Represente o processo por meio de um diagrama em árvore indicando as probabilidades em cada ramo. Tenha em conta que a composição da urna muda após a primeira extração.

1. b) Qual é a probabilidade de as duas bolas extraídas serem da mesma cor?

Numa urna digital de um jogo de azar há 10 esferas: 6 azuis e 4 brancas. A experiência consiste em extrair duas esferas de forma sucessiva e sem reposição.

1. a) Desenhe a árvore de probabilidades, indicando as probabilidades em cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de as duas esferas serem da mesma cor.

1. c) Calcule a probabilidade de a primeira esfera ser azul, sabendo que a segunda foi branca.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um aluno do 12.º ano preparou 18 dos 25 temas de uma prova de História. A prova consiste em escolher um tema entre dois sorteados ao acaso pelo professor.

1. a) Qual é a probabilidade de o aluno saber os dois temas extraídos?

1. b) Qual é a probabilidade de o aluno ter positiva na prova (ou seja, de saber pelo menos um dos dois temas)?

1. c) Se o aluno teve positiva na prova, qual é a probabilidade de saber apenas um dos dois temas sorteados?

Uma loja de roupa online envia os seus pedidos através de duas empresas de logística, A e B. $70\,\%$ dos pedidos são enviados pela empresa A e os restantes pela empresa B. Observou-se que $5\,\%$ dos pedidos da empresa A chegam com atraso, enquanto na empresa B o atraso afeta $10\,\%$ das encomendas.

1. a) Calcule a probabilidade de um pedido chegar a tempo.

1. b) Se um cliente receber a sua encomenda com atraso, qual é a probabilidade de ter sido transportada pela empresa A?

Uma empresa de entregas utiliza três rotas para entregar encomendas numa cidade difícil. A rota A (usada 40% das vezes) tem uma probabilidade de atraso de 15%. A rota B (usada 35%) tem um atraso de 10%. A rota C é usada nas restantes vezes e tem um atraso de 20%. Se uma encomenda chega com atraso, é-lhe aplicado um protocolo de auditoria. Este protocolo falha e não deteta o motivo real do atraso em 5% dos casos da rota A, em 8% da rota B e em 12% da rota C.

1. a) Represente por meio de um diagrama em árvore a probabilidade de uma encomenda escolhida ao acaso sofrer um atraso e a sua auditoria ser falhada.
2. b) Calcule a probabilidade de uma encomenda selecionada ao acaso ter uma auditoria falhada por causa de um atraso.
3. c) Sabendo que a auditoria foi falhada, qual é a probabilidade de a encomenda não ter viajado pela rota A?

Uma empresa tecnológica produz processadores em três fábricas: P1 (produz 50%), P2 (30%) e P3 (20%). A percentagem de processadores que superam a velocidade de 4GHz é de 80% em P1, 70% em P2 e 60% em P3. Os processadores que não superam essa velocidade são submetidos a um processo de otimização que faz com que 40% deles finalmente a superem.

1. a) Utilizando um diagrama em árvore, calcule a probabilidade de um processador escolhido ao acaso da produção total superar finalmente os 4GHz.
2. b) Se um processador não superar os 4GHz após todo o processo, qual é a probabilidade de ser proveniente da fábrica P1 ou da P2?