Probabilidade condicionada

Numa biblioteca municipal, sabe-se que a probabilidade de um sócio requisitar um romance é $P(N) = 0,6$ e a probabilidade de requisitar uma banda desenhada é $P(C) = 0,4$. Além disso, a probabilidade de requisitar ambos é $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcule a probabilidade de um sócio requisitar uma banda desenhada, sabendo que já requisitou um romance.

Realizou-se um estudo sobre os hábitos de leitura de um grupo de alunos. A probabilidade de um aluno ler jornal digital é $P(L) = 0,45$. A probabilidade de ler jornal digital e também ouvir podcasts de notícias é $P(L \cap S) = 0,18$.

Determine a probabilidade de um aluno ouvir podcasts de notícias, sabendo que é leitor de jornal digital.

Numa liga escolar de basquetebol, $40 \%$ dos participantes são jogadores experientes ($E$) e os restantes são iniciantes ($P$). Sabe-se que $80 \%$ dos experientes chegam à final ($F$), enquanto apenas $20 \%$ dos iniciantes conseguem isso.

Se escolhermos um participante ao acaso e soubermos que é iniciante, qual é a probabilidade de que chegue à final? Exprime o resultado utilizando a notação de probabilidade condicionada.

Num estojo há 5 marcadores fluorescentes: 3 são de cor amarela e 2 são de cor rosa. Retiramos dois marcadores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro ao estojo).

Representa a situação através de um diagrama em árvore e calcula a probabilidade de que o segundo marcador retirado seja rosa, sabendo que o primeiro foi amarelo.

Um estudante do 2º ano do Ensino Médio preparou 18 dos 25 tópicos dos quais consta o exame final de História. O exame consiste em escolher ao acaso dois tópicos do total e desenvolver um deles.

1. a) Calcule a probabilidade de o aluno saber os dois tópicos sorteados.
2. b) Calcule a probabilidade de o aluno ter aprovação no exame (ou seja, saber pelo menos um dos dois tópicos).

Numa prova de atletismo de estafetas, a primeira atleta tem uma probabilidade de completar o seu percurso sem penalização de $0,8$. A segunda atleta, de forma independente da primeira, tem uma probabilidade de $0,7$.

1. a) Qual é a probabilidade de ambas completarem o seu percurso sem penalização?
2. b) Sabendo que pelo menos uma das duas completou o seu percurso sem penalização, qual é a probabilidade de a primeira o ter conseguido?

Dispomos de duas urnas opacas. A urna $U_A$ contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. A urna $U_B$ contém 5 bolas brancas e 3 pretas. A experiência consiste em extrair uma bola da urna $U_A$ e, sem olhar para a sua cor, introduzi-la na urna $U_B$. Em seguida, extraem-se duas bolas simultaneamente da urna $U_B$.

Se as duas bolas extraídas da segunda urna forem brancas, qual é a probabilidade de a bola transferida da primeira urna ter sido preta? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Em uma turma do 2º ano do Ensino Médio realizou-se uma pesquisa sobre o uso de óculos e o gênero dos estudantes. Os resultados são mostrados na seguinte tabela de contingência:

Se selecionarmos um aluno ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de ser um rapaz, sabendo que usa óculos.
2. b) A probabilidade de usar óculos, sabendo que é uma rapariga.

Num inquérito realizado a 200 alunos de uma escola sobre a utilização de redes sociais, observou-se que 120 utilizam o TikTok, 100 utilizam o Instagram e 60 utilizam ambas as plataformas. Se selecionarmos um aluno ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de utilizar o Instagram sabendo que utiliza o TikTok.
2. b) A probabilidade de não utilizar o TikTok sabendo que utiliza o Instagram.
3. c) Os acontecimentos "ser utilizador do TikTok" e "ser utilizador do Instagram" são independentes? Justifique a resposta matematicamente.

Um centro de treino desportivo classifica os seus atletas de acordo com a dieta (Equilibrada ou Deficiente) e o rendimento no último trimestre (Alto ou Baixo). Os dados estão reunidos na seguinte tabela de contingência:

Calcule:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determine se ter uma dieta equilibrada e ter um rendimento alto são acontecimentos independentes.

Numa academia de línguas que prepara para a certificação oficial do nível B2 de inglês, $70\,\%$ dos alunos matriculados assistem regularmente a aulas presenciais ($C$), enquanto os $30\,\%$ restantes se preparam de forma autodidata ($\overline{C}$). De acordo com o histórico de exames da academia, aprova no exame oficial $80\,\%$ dos que vão a aulas presenciais, mas apenas $40\,\%$ dos que estudam por conta própria.

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo analítico, faz uma estimativa fundamentada: se soubermos que um estudante qualquer aprovou no exame ($A$), a probabilidade de pertencer ao grupo de frequência presencial, $P(C|A)$, deveria ser maior, menor ou igual aos $70\,\%$ iniciais? Justifica de forma intuitiva a tua estimativa.
2. b) Modela a situação através do cálculo de probabilidades compostas para obteres formalmente o valor exato de $P(C|A)$. Em seguida, compara o resultado com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a informação a posteriori modifica a certeza que tínhamos sobre o acontecimento inicial.

Uma marca de roupa urbana fabrica as suas camisolas de capuz em duas oficinas diferentes. A oficina $A$ produz $60\%$ das peças e a oficina $B$ o restante. Sabe-se que $5\%$ das camisolas de capuz da oficina $A$ têm algum defeito de costura, enquanto na oficina $B$ a percentagem de defeitos é de $8\%$. Escolhe-se uma camisola de capuz ao acaso na loja e verifica-se que é defeituosa. Calcule a probabilidade de ter sido fabricada na oficina $A$.

Um teste de deteção de uma doença rara, que afeta $1\%$ da população, dá positivo em $96\%$ dos doentes (sensibilidade). No entanto, também dá um "falso positivo" em $2\%$ das pessoas saudáveis.

1. a) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso dar positivo no teste.
2. b) Se o teste de uma pessoa deu positivo, qual é a probabilidade real de que esteja doente?

No processo de seleção para um programa de intercâmbio escolar, um estudante deve superar duas fases consecutivas. A probabilidade de superar a primeira fase é de $0,7$. Se superar a primeira, a probabilidade de superar a segunda é de $0,6$. Por outro lado, se não superar a primeira fase, tem uma oportunidade de repescagem em que a probabilidade de superar a segunda fase desce para $0,2$.

1. Calcule a probabilidade de o estudante superar a segunda fase.

2. Sabendo que o estudante superou a segunda fase, qual é a probabilidade de NÃO ter superado a primeira fase originalmente?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que a probabilidade de $A$ é $P(A) = 0,5$, a de $B$ é $P(B) = 0,3$ e a probabilidade da sua união é $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir do seguinte diagrama de Venn, identifique a região sombreada e calcule $P(A|B)$.

Numa loja de artigos de desporto, $60 \%$ das vendas são ténis de corrida ($Z$) e $40 \%$ são ténis de basquetebol ($B$). $20 \%$ dos compradores de ténis de corrida também adquire meias técnicas ($C$).

Se um cliente comprou ténis de corrida, qual é a probabilidade de não ter comprado meias técnicas? (Lembra-te da propriedade do acontecimento contrário na probabilidade condicionada).

Num clube de leitura, $70\%$ dos sócios leem romances de mistério e $45\%$ lê ensaios. Além disso, sabe-se que $30\%$ dos sócios leem ambos os tipos de livros. Se selecionarmos um sócio que sabemos que não lê ensaios, qual é a probabilidade de que leia romances de mistério?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcule $P(A | B)$.
2. b) Calcule $P(B | \bar{A})$.
3. c) $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis? São independentes?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de um espaço de resultados tais que conhecemos $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ e $P(A|\overline{B}) = 0,8$, onde $\overline{B}$ representa o acontecimento complementar de $B$.

Utilizando as propriedades da álgebra de acontecimentos e a definição de probabilidade condicionada, calcule:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Sugestão: Estabeleça um sistema de equações utilizando as definições de probabilidade condicionada.