Crescimento linear e exponencial · Matemática 11.º ano MACS

Crescimento linear

Na freguesia de Alte, no concelho de Loulé, a população foi subindo mais ou menos ao mesmo ritmo, ano após ano. Quando o aumento absoluto é o mesmo em intervalos de tempo iguais, dizemos que o crescimento é linear.

Porquê esta expressão? Se em cada ano somamos sempre $a$, ao fim de $t$ anos somámos $a \times t$ ao valor inicial. O gráfico é uma reta (ou, se só tivermos valores em anos inteiros, pontos alinhados).

Para encontrar $a$ com dois valores, divide-se a variação total pelo tempo decorrido:

$$a = \frac{P(t_2)-P(t_1)}{t_2-t_1}$$

Alte em 2015 e 2020

Em 2015 a freguesia tinha 1 850 habitantes e em 2020 tinha 1 970. Admite crescimento linear e usa $t$ = anos desde 2015.

Qual é o aumento médio anual?

Em 5 anos, a população aumentou $1\,970 - 1\,850 = 120$ habitantes. Por ano: $a = \dfrac{120}{5} = 24$ habitantes por ano.

Escreve o modelo: $P_0 = 1\,850$ (em $t=0$, isto é, 2015). Logo

$$P(t) = 1\,850 + 24\,t$$

Previsão para 2030: $t = 2030-2015 = 15$, então $P(15) = 1\,850 + 24 \times 15 = 1\,850 + 360 = 2\,210$ habitantes.

Em que ano se atingem 2 300 habitantes? Resolve a equação $1\,850 + 24t = 2\,300$:

$24t = 450$, logo $t = 18{,}75$.

Interpreta o resultado: $t = 18{,}75$ anos depois de 2015 não é um ano inteiro. Em que ano é que a população já ultrapassa os 2 300? (Calcula $P(18)$ e $P(19)$.)

???

$P(18) = 1\,850 + 432 = 2\,282 < 2\,300$ e $P(19) = 1\,850 + 456 = 2\,306 > 2\,300$. Portanto, o valor é atingido durante o 19.º ano depois de 2015, ou seja, em 2034.

Pratica★☆☆

A freguesia de Alte, no concelho de Loulé, tinha 1 850 habitantes em 2015 e 1 970 habitantes em 2020. Admite que a população cresce de forma linear. a) Quantos…

A freguesia de Alte, no concelho de Loulé, tinha 1 850 habitantes em 2015 e 1 970 habitantes em 2020. Admite que a população cresce de forma linear.

a) Quantos habitantes ganhou a freguesia, em média, por ano?
b) Escreve uma expressão que dê a população $P$ em função do número de anos $t$ decorridos desde 2015.
c) Estima a população da freguesia em 2030.
d) Se o crescimento se mantiver, em que ano a população atingirá os 2 300 habitantes?

Resolver

Crescimento exponencial

Agora, uma aplicação móvel que começa com 2 000 utilizadores e cresce 20 % por mês. No mês 1 tem $2\,000 \times 1{,}2 = 2\,400$; no mês 2 tem $2\,400 \times 1{,}2 = 2\,880$. O aumento em utilizadores não é constante (400, depois 480, …), mas a razão entre meses consecutivos é sempre a mesma: 1,2.

Porquê? Em cada período multiplicamos por $r$. Ao fim de $t$ períodos multiplicámos $t$ vezes, e $r \times r \times \cdots \times r = r^t$.

Também se pode escrever $P(t) = P_0\, e^{kt}$, com $r = e^{k}$; é a mesma família de modelos, com a base $e \approx 2{,}718$. Na calculadora usas a tecla $e^x$ (e a tecla $\ln$ para fazer o caminho inverso).

Uma razão $r$ é fácil de ler como percentagem: $r = 1{,}2$ significa +20 % por período; $r = 0{,}9$ significa −10 %.

Vê a diferença entre as duas famílias. Mexe nos deslizadores e compara a reta com a curva exponencial que parte do mesmo valor inicial.

Como reconhecer o modelo numa tabela

Dada uma tabela com valores em instantes igualmente espaçados, faz duas perguntas:

As diferenças entre valores consecutivos são constantes? Então o crescimento é linear.
As razões (quocientes) entre valores consecutivos são constantes? Então o crescimento é exponencial.

Com dados reais, os valores só são aproximadamente constantes (há arredondamentos e variações). Basta que sejam muito próximos.

Utilizadores de uma aplicação

Uma aplicação de entrega de refeições registou, no fim de cada mês, os utilizadores ativos:

Mês	0	1	2	3	4
Utilizadores	2 000	2 400	2 880	3 456	4 147

Diferenças: $2\,400-2\,000 = 400$; $2\,880-2\,400 = 480$; $3\,456-2\,880 = 576$; $4\,147-3\,456 = 691$. Não são constantes, logo o crescimento não é linear.

Razões: $\dfrac{2\,400}{2\,000} = 1{,}2$; $\dfrac{2\,880}{2\,400} = 1{,}2$; $\dfrac{3\,456}{2\,880} = 1{,}2$; $\dfrac{4\,147}{3\,456} \approx 1{,}2$. São (praticamente) constantes: o crescimento é exponencial, com $r = 1{,}2$ (+20 % por mês).

Modelo: $U(m) = 2\,000 \times 1{,}2^{\,m}$, em que $m$ é o número de meses desde o lançamento.

Usa o modelo para prever os utilizadores no mês 6 e confirma com a calculadora. Quanto tempo falta, aproximadamente, para passar dos 10 000?

???

$U(6) = 2\,000 \times 1{,}2^6 \approx 2\,000 \times 2{,}986 \approx 5\,972$ utilizadores. Para $U(m) = 10\,000$, resolve $1{,}2^m = 5$ por tentativas (ou graficamente, intersetando $y = 2\,000 \times 1{,}2^x$ com $y = 10\,000$): $1{,}2^8 \approx 4{,}30$ e $1{,}2^9 \approx 5{,}16$, logo é no 9.º mês.

Quando não consegues escrever o modelo à mão, a tecnologia ajuda: na calculadora gráfica ou numa folha de cálculo introduzes os pares (tempo, valor) e fazes uma regressão linear ou exponencial; o programa devolve $a$ e $P_0$ (ou $P_0$ e $r$). Para resolver equações como $P(t)=10\,000$, também podes usar o gráfico: a abcissa do ponto de interseção entre a curva e a reta $y=10\,000$.

Pratica★★☆

Uma aplicação móvel portuguesa de entrega de refeições registou o número de utilizadores ativos no fim de cada mês, desde o lançamento: | Mês | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |…

Uma aplicação móvel portuguesa de entrega de refeições registou o número de utilizadores ativos no fim de cada mês, desde o lançamento:

Mês	0	1	2	3	4
Utilizadores	2 000	2 400	2 880	3 456	4 147

a) Calcula as diferenças entre os números de utilizadores de meses consecutivos e mostra que o crescimento não é linear.
b) Calcula as razões entre os números de utilizadores de meses consecutivos. O que observas? Que tipo de crescimento sugere esse facto?
c) Escreve um modelo que dê o número de utilizadores $U$ em função do número de meses $n$ após o lançamento e estima o número de utilizadores ao fim de 8 meses.

Resolver

Escolher o modelo e perceber os seus limites

Na vida real, muitas vezes tens dados e dois (ou mais) modelos candidatos. Como decidir?

Constrói cada modelo a partir dos dados (por exemplo, com dois pontos extremos ou com regressão).
Calcula os valores que cada modelo prevê para os instantes já observados.
Compara com os valores reais: o melhor modelo é o que fica mais perto deles.
Pensa no contexto: faz sentido que o fenómeno continue indefinidamente a crescer assim?

Linces no Vale do Guadiana

Num programa de reintrodução do lince-ibérico foram contados 12, 15, 19 e 24 linces nos anos 0, 1, 2 e 3.

Modelo linear: aumento médio anual $\dfrac{24-12}{3} = 4$, logo $L(t) = 12 + 4t$.

Valores previstos: $L(1) = 16$, $L(2) = 20$, $L(3) = 24$. Comparação com os reais (15, 19, 24): erros de 1, 1 e 0.

Modelo exponencial: de $12 \times r^3 = 24$ vem $r^3 = 2$, logo $r = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ e $L(t) = 12 \times 1{,}26^t$.

Valores previstos: $L(1) \approx 15{,}1$, $L(2) \approx 19{,}0$, $L(3) = 24$. Os erros são de cerca de 0,1, 0,0 e 0.

Qual dos modelos se ajusta melhor? E acreditas que o exponencial serve para prever o número de linces daqui a 30 anos?

???

O exponencial ajusta-se melhor (os valores previstos quase coincidem com os reais). Mas $12 \times 1{,}26^{30} \approx 12 \times 1\,000 = 12\,000$ linces, o que é irrealista: o território, as presas e os recursos são limitados. O modelo serve para o curto prazo, não para sempre.

Pratica★★★

Num programa de reintrodução do lince-ibérico no Vale do Guadiana foram contabilizados os seguintes efetivos: | Anos após o início do programa | 0 | 1 | 2 | 3 |…

Num programa de reintrodução do lince-ibérico no Vale do Guadiana foram contabilizados os seguintes efetivos:

Anos após o início do programa	0	1	2	3
Número de linces	12	15	19	24

a) Um biólogo propõe um modelo linear: usa o aumento médio anual entre o ano 0 e o ano 3 para escrever o modelo e calcula os valores que ele prevê para os anos 1, 2 e 3.
b) Outra bióloga propõe um modelo exponencial: determina a razão $r$ tal que $12 \times r^3 = 24$, escreve o modelo e calcula os valores previstos para os anos 1, 2 e 3 (arredondados às unidades).
c) Comparando os valores previstos com os valores reais, qual dos modelos se ajusta melhor aos dados? Justifica.
d) Usa o modelo escolhido para estimar o efetivo no ano 6. Consideras plausível que este modelo continue válido daqui a 20 anos? Discute a resposta.

Resolver

Voltando ao início: a freguesia que ganha 24 habitantes por ano cresce de forma linear, e a aplicação que aumenta 20 % por mês cresce de forma exponencial. Com o tempo, a exponencial ultrapassa sempre a linear, por menor que seja o seu ritmo inicial; mas, na prática, só enquanto o modelo continuar válido.

Vamos praticar! 3 exercícios neste tema

★☆☆ A freguesia de Alte, no concelho de Loulé, tinha 1 850 habitantes em 2015 e 1 970…★★☆ Uma aplicação móvel portuguesa de entrega de refeições registou o número de utilizadores…★★★ Num programa de reintrodução do lince-ibérico no Vale do Guadiana foram contabilizados os…

Em resumo

Linear: variação absoluta constante (diferenças iguais). Modelo $P(t) = P_0 + a\,t$; $a$ é o declive.
Exponencial: razão constante entre valores consecutivos. Modelo $P(t) = P_0\, r^t$; $r>1$ cresce, $0
Para reconhecer o modelo numa tabela: calcula diferenças (linear) ou razões (exponencial).
Com a tecnologia, podes ajustar o modelo por regressão e resolver equações por via gráfica ou numérica.
Escolhe o modelo comparando os valores previstos com os reais e pensa sempre nos limites de validade fora do intervalo observado.