Parâmetros estatísticos de uma normal

Uma câmara municipal analisou o tempo que os autocarros da linha circular demoram a completar o seu percurso. Comprovou-se que esse tempo segue uma distribuição normal com média de $25$ minutos e desvio padrão de $4$ minutos. Identifique os parâmetros estatísticos dessa distribuição e escreva-a utilizando a notação matemática abreviada $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observe o gráfico seguinte que representa a distribuição dos pesos dos gatinhos recém-nascidos num abrigo de animais. Sabendo que a distribuição é simétrica, indique visualmente qual é o valor da média populacional $\mu$.

Um nutricionista afirma que o consumo diário de açúcar dos adolescentes de uma cidade segue uma distribuição normal. Se designarmos essa variável por $X \sim N(45, 8)$, em que os valores estão em gramas:

• Qual é o valor esperado do consumo de açúcar para um adolescente escolhido ao acaso?

• Qual é o parâmetro que indica se os dados estão muito agrupados perto desse valor ou muito dispersos?

Duas marcas de lâmpadas, "LuzEterna" e "BrilloMax", têm uma duração média de $1200$ horas. No entanto, o desvio padrão da "LuzEterna" é de $50$ horas, enquanto o da "BrilloMax" é de $150$ horas.

• Qual das duas marcas oferece um produto mais "homogéneo" ou regular na sua duração?

• Se tivesses de desenhar ambas as curvas de Gauss no mesmo eixo, qual delas seria mais alta e estreita?

A seguir são mostradas duas curvas de distribuição normal que representam o tempo de carga de dois modelos de telemóvel diferentes. Ambas têm o mesmo desvio padrão. Qual dos dois modelos (A ou B) tem uma média populacional $\mu$ maior? Justifica a tua resposta com base na posição das curvas no eixo.

Apresentam-se a seguir dois gráficos que representam a distribuição da duração de dois tipos de lâmpadas LED de diferentes marcas, A e B. Ambas seguem uma distribuição normal.

1. a) Observando a forma das curvas, qual das duas marcas tem um maior desvio padrão? Justifica a tua resposta relacionando a dispersão com a forma da curva.
2. b) Se a marca A tem uma distribuição $N(25000, 2000)$ e a marca B uma $N(28000, 3500)$, calcula a probabilidade de uma lâmpada da marca A durar mais do que a duração média da marca B.

A distribuição Normal Padrão é um caso especial muito utilizado em estatística para poder usar as tabelas de áreas. Indique quais são os valores fixos da sua média ($\mu$) e do seu desvio padrão ($\sigma$). Represente-a simbolicamente.

Num jogo eletrónico popular de estratégia, os pontos de experiência obtidos pelos jogadores numa missão específica seguem uma distribuição normal de média $\mu = 4500$ pontos e desvio padrão $\sigma = 800$ pontos. Se os programadores querem conceder uma medalha especial apenas a $15\%$ dos jogadores que conseguirem as pontuações mais altas, a partir de quantos pontos começará a ser entregue essa medalha?

O algoritmo de uma conhecida rede social analisa o tempo de permanência dos utilizadores a ver "reels". Comprovou-se que esse tempo segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Os analistas de dados determinaram que apenas $15,87\%$ dos utilizadores passam mais de $45$ minutos por dia, enquanto $2,28\%$ passam menos de $10$ minutos. Calcule de forma fundamentada o tempo médio de permanência ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) do comportamento dos utilizadores nessa rede social.

A Maria analisa o gasto mensal em eletricidade dos agregados familiares do seu município, o qual segue uma distribuição normal $X \sim N(60, 12)$ em euros. Para o próximo ano, a companhia elétrica anuncia uma atualização de tarifas que transforma linearmente o custo mensal segundo a fórmula $Y = 1,05 \cdot X + 8$ (um aumento de $5\%$ no consumo mais $8$ € fixos de manutenção).\n\nA Maria afirma no seu relatório: «Como cada fatura é multiplicada por $1,05$ e se lhe somam $8$ €, os dois parâmetros mudam da mesma forma, pelo que a nova distribuição será $Y \sim N(1,05 \cdot 60 + 8,\ 1,05 \cdot 12 + 8) = N(71,\ 20,6)$».\n\na) Identifica o erro concetual cometido pela Maria e explica, do ponto de vista da dispersão dos dados, por que razão somar uma quantidade fixa não altera o desvio-padrão.\nb) Corrige o cálculo e escreve a distribuição normal correta que a variável $Y$ segue.

O tempo de entrega (em minutos) das entregas em hora de ponta de uma empresa de logística segue uma distribuição $X \sim N(40, 6)$. A direção estabelece um índice de custo operacional por atraso definido pela transformação linear $Y = 1,5 \cdot X - 30$ (em euros). Pretende-se calcular a probabilidade de o custo de uma entrega ultrapassar os $45$ €.\n\nDois membros da equipa propõem estratégias diferentes:\n- Método 1: Determinar primeiro os parâmetros da nova variável $Y$ aplicando a transformação linear $Y \sim N(a\mu+b,\ a\sigma)$ e padronizar depois diretamente o valor $45$ sobre a distribuição de $Y$.\n- Método 2: Isolar a partir da inequação $1,5 \cdot X - 30 > 45$ que tempo de entrega na variável original $X$ equivale a esse custo, e padronizar esse valor sobre $X \sim N(40, 6)$.\n\na) Aplica ambos os métodos detalhando os passos intermédios e verifica que ambos conduzem exatamente ao mesmo valor de $Z$ padronizado. Calcula essa probabilidade sabendo que $P(Z \le 1,67) = 0,9525$.\nb) Discute fundamentadamente qual dos dois métodos seria mais vantajoso e eficiente se a empresa necessitasse de calcular não só essa probabilidade, mas também os percentis $10$, $50$ e $90$ do custo $Y$.

Uma empresa de entregas sustentáveis utiliza trotinetes elétricas para as suas entregas. A autonomia das baterias dessas trotinetes segue uma distribuição normal com média de $60$ km. Sabe-se que a probabilidade de uma trotinete ter uma autonomia superior a $75$ km é de $0,0668$. Devido a uma atualização do software, a autonomia de todas as trotinetes aumenta $10\%$ mais um extra fixo de $2$ km. Determine o desvio padrão original das baterias e os novos parâmetros (média e desvio padrão) após a atualização do software.