Média e desvio padrão da distribuição binomial

Um estudo recente sobre hábitos digitais indica que $85\%$ dos adolescentes espanhóis entre 15 e 16 anos utilizam a autenticação de dois fatores nas suas contas de jogos eletrónicos. Se selecionarmos uma amostra aleatória de $20$ adolescentes:

1. a) Identifique os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição binomial que modela esta situação.
2. b) Calcule o valor esperado (média) do número de adolescentes que utilizam esse sistema de segurança na amostra.

Uma plataforma de streaming de música comprovou que a probabilidade de um utilizador "saltar" uma música recomendada pelo algoritmo antes de ela terminar é de $0,3$. Se numa tarde ouvires uma lista de $12$ músicas recomendadas:

1. a) Determine a média e a variância do número de músicas que se espera que sejam saltadas.
2. b) Calcule o desvio padrão e interprete qual a informação que ele fornece sobre a dispersão dos dados neste contexto.

Considere uma variável aleatória discreta $X$ que segue uma distribuição binomial $B(n, p)$. Se sabemos que o número de experiências é $n = 100$ e que o valor médio da distribuição é $\mu = 60$:

1. a) Determine o valor da probabilidade de sucesso $p$.
2. b) Calcule a variância desta distribuição.

Lança-se um dado equilibrado de seis faces um total de $30$ vezes e regista-se o número de vezes que sai o número "6".

1. a) Defina a variável aleatória e a sua distribuição.
2. b) Calcule o valor esperado da variável e o seu desvio padrão. Arredonde os resultados às centésimas.

Dois jogadores de basquetebol, Alba e Bruno, treinam lances livres. A Alba tem uma probabilidade de acertar de $0,8$ e realiza $50$ lançamentos. O Bruno tem uma probabilidade de $0,6$, mas realiza $80$ lançamentos.

1. a) Qual dos dois jogadores tem um valor esperado maior de acertos?

1. b) Qual dos dois jogadores apresenta uma dispersão maior (desvio padrão) nos seus resultados? Interpreta o que isso significa em termos de regularidade no jogo.

Comprovou-se que $40\%$ dos alunos de um centro de idiomas fazem o exame oficial de nível B2. Se este ano há $100$ alunos matriculados:

1. a) Determine os parâmetros da variável $X$ que define o número de alunos que fazem o exame.

1. b) Nas distribuições binomiais, considera-se que os valores mais "típicos" ou prováveis se encontram no intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcule esse intervalo para este caso concreto.

Numa conhecida rede social, estimou-se que a probabilidade de um utilizador interagir com uma publicação de conteúdo cultural é $p = 0,18$. Se um influenciador lançar uma campanha que alcance um grupo de $n = 150$ seguidores:

1. a) Calcule o número esperado de seguidores que interagirão com a publicação e o seu desvio padrão.

1. b) Se o custo da campanha for de $50$ € fixos mais $2$ € por cada interação prevista (baseada na média), qual é o orçamento esperado para esta ação publicitária?

Uma variável aleatória discreta segue uma distribuição binomial $X \sim B(n, p)$. Sabe-se que a sua média é $\mu = 12$ e o seu desvio padrão é $\sigma = 3$.

1. a) Determine os valores dos parâmetros $n$ (número de ensaios) e $p$ (probabilidade de sucesso).

1. b) Justifique se esta distribuição poderia ser aproximada por uma distribuição normal, com base nos valores obtidos.

Uma empresa de logística utiliza drones para a entrega de encomendas em cidades inteligentes. Sabe-se que a variável $X$ que define o número de entregas mal-sucedidas num lote de $n$ envios segue uma distribuição binomial. Após um estudo interno, comprovou-se que a média de falhas é de $4$ e a variância é de $3,2$.

1. a) Calcule os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição.
2. b) Se for realizado um envio individual, qual é a probabilidade de a entrega ser bem-sucedida?
3. c) Qual é a probabilidade de, num lote de $n$ envios, nenhum falhar?

Num estudo sobre o uso de transporte sustentável, observou-se que o número de alunos que vão para a escola de trotinete elétrica, em grupos de $50$ pessoas, segue uma distribuição binomial $B(50,\,p)$, onde $p$ é a probabilidade de que um aluno use trotinete elétrica. O desvio-padrão desse número de utilizadores é $\sigma = 3$.

A figura mostra como varia o desvio-padrão $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ em função de $p$ e a reta $\sigma = 3$.

1. a) Encontra os dois valores possíveis da probabilidade $p$ de que um aluno use trotinete elétrica.

1. b) Sabendo que a trotinete é um transporte minoritário ($p < 0,5$), calcula a média de utilizadores numa amostra de $100$ alunos.

Seja $X$ uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial $B(n, p)$. Sabe-se que a sua média é $\mu = 30$.

1. a) Qual é o valor mínimo que o seu desvio padrão pode assumir? Justifique a resposta raciocinando sobre os possíveis valores de $p$.
2. b) Se o desvio padrão for $\sigma = 5$, calcule a probabilidade de obter algum sucesso numa amostra de apenas $3$ indivíduos dessa mesma população.