Números combinatórios

Calcule e simplifique o valor das seguintes expressões sem utilizar a calculadora, aplicando as propriedades dos fatoriais:

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Resolva as seguintes questões relacionadas com a combinatória e os fatoriais:

1. a) Encontre o valor de $n$ na seguinte igualdade:

$$\binom{n}{2} = 21$$

1. b) Simplifique a seguinte expressão deixando o resultado em função de $n$:

$$\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!}$$

1. c) Quantos números de 5 algarismos podem ser formados utilizando apenas os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ se não for permitido repetir nenhum algarismo? Como mudaria o resultado se permitíssemos repetições?

Para organizar a festa de finalistas do 2.º ano do ensino secundário, deve escolher-se uma comissão de festas formada por $3$ alunos. Se na turma há $20$ alunos voluntários, de quantas formas distintas se pode escolher este grupo? (A ordem em que se escolhem os alunos não importa: só conta quem forma a comissão.) Utiliza a fórmula dos números combinatórios:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

O Tomás está a resolver uma tarefa sobre organização de atividades escolares e deve calcular quantas comissões de 3 alunos se podem formar a partir de um grupo de 8 delegados de turma. No seu caderno escreve o seguinte:

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$$

A sua colega Inês revê o cálculo e avisa-o de que o resultado está errado.

1. a) Explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Tomás. Que grandeza calculou ele na realidade e por que razão não responde à formação de uma comissão sem cargos diferenciados?
2. b) Justifica que fator falta no denominador da sua fórmula, que papel desempenha esse fator na eliminação de repetições e calcula o valor correto de $\binom{8}{3}$.

Num centro de saúde de cuidados primários com serviço de urgência no Alentejo, a direção deve organizar os turnos noturnos através de pares de 2 médicos escolhidos de entre uma equipa fixa de $n$ profissionais disponíveis. A administração analisa a possibilidade de contratar mais 1 médico, o que aumentaria a equipa para $n+1$ profissionais e permitiria dispor de mais 7 pares possíveis do que antes.

1. a) Apresenta uma equação que relacione os números combinatórios $\binom{n+1}{2}$, $\binom{n}{2}$ e o aumento de pares anunciado.
2. b) Resolve a equação para determinar o número $n$ de médicos que integram atualmente a equipa.
3. c) Demonstra, aplicando a propriedade de Stifel $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$, que a diferença $\binom{n+1}{2} - \binom{n}{2}$ equivale diretamente a $\binom{n}{1}$, comprovando que o teu resultado anterior se obtém de forma imediata sem necessidade de resolver uma equação do segundo grau.

Na secção de números combinatórios, existe uma propriedade de simetria que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Verifica esta propriedade calculando os valores de $\binom{10}{8}$ e $\binom{10}{2}$. Que conclusão obténs quanto ao esforço de cálculo quando $r$ é um número próximo de $n$?

Para um estudo sobre opções de disciplinas optativas no Ensino Secundário, precisas de calcular à mão o valor do número combinatório $\binom{25}{23}$. A tua professora sugere que avalies três caminhos possíveis antes de começares a operar:

• Método A: Aplicar a definição estrita desenvolvendo fatoriais completos: $\dfrac{25!}{23! \cdot 2!}$, calculando primeiro os produtos do numerador e do denominador.

• Método B: Utilizar a propriedade de simetria $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ para transformar o número combinatório em $\binom{25}{2}$ e simplificar fatores antes de multiplicar.

• Método C: Desenhar o triângulo de Pascal linha a linha desde a linha 0 até à linha 25 somando valores sucessivos através da propriedade de Stifel.

1. a) Compara os três métodos e justifica qual é o mais eficiente neste caso concreto e por que razão os outros dois se tornam desaconselháveis num teste escrito com limite de tempo.
2. b) Aplica o método escolhido para calcular o resultado final mostrando todos os passos da simplificação.

Uma consultora de opinião pública em Portugal quer selecionar um painel de consumidores a partir de um grupo voluntário de 12 pessoas. A equipa técnica debate três possíveis tamanhos para o painel: 3 pessoas, 9 pessoas ou 6 pessoas.

1. a) Sem realizar nenhum cálculo numérico prévio, estima fundamentadamente se haverá mais formas de formar um painel de 3 pessoas ($\binom{12}{3}$) ou um de 9 pessoas ($\binom{12}{9}$), ou se ambos os números serão iguais, apoiando-te no significado de 'escolher quem entra' em oposição a 'escolher quem fica de fora'.
2. b) Comprova a tua estimativa calculando formalmente $\binom{12}{3}$ e $\binom{12}{9}$ através da fórmula fatorial.
3. c) Antes de calcular $\binom{12}{6}$, estima fundamentadamente se o número de combinações possíveis para um painel de 6 pessoas será maior, menor ou igual a $\binom{12}{3}$. Em seguida, calcula $\binom{12}{6}$ e avalia se o resultado concorda com a posição que este valor ocupa na linha correspondente do triângulo de Pascal.

Demonstre, utilizando a definição de número combinatório por meio de fatoriais, a seguinte identidade (conhecida como fórmula das três variáveis ou propriedade de Stifel):

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

Aplique este resultado para calcular o valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sem calcular cada termo separadamente.

Antes de estudar a distribuição binomial, é fundamental distinguir o tipo de variável. Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas:

1. O número de "gostos" que uma publicação do Instagram recebe numa hora.

2. O tempo exato que um estudante demora a chegar à escola.

3. O número de pessoas que testam positivo num teste de antigénio numa amostra de $50$ indivíduos.

4. A altura dos jogadores da seleção portuguesa de basquetebol.

Sabendo que, para uma distribuição binomial $B(n, p)$, a probabilidade de obter $k$ sucessos é:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Calcule a probabilidade de obter exatamente $2$ vezes face monetária ao lançar uma moeda equilibrada $4$ vezes.

Um exame do tipo teste consta de $5$ perguntas com resposta de verdadeiro ou falso, e as respostas de umas perguntas não influenciam as das outras (são acontecimentos independentes). Um aluno responde a todas ao acaso, de modo que em cada pergunta a probabilidade de acertar é $p=0,5$. Seja $X$ o número de perguntas em que acerta.

1. a) Qual é a probabilidade de que não acerte em nenhuma pergunta, ou seja, $P(X=0)$?

1. b) Utilizando o acontecimento contrário, explica como calcularias a probabilidade de que acerte em pelo menos uma pergunta, $P(X \geq 1)$.

Um estudo afirma que $70\%$ dos adolescentes espanhóis utiliza o TikTok diariamente. Se selecionarmos ao acaso um grupo de $8$ adolescentes de uma escola:

1. a) Identifique os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição binomial que esta situação segue.
2. b) Defina a variável aleatória $X$ associada a esta experiência.
3. c) Qual é a probabilidade de exatamente os $8$ adolescentes utilizarem a aplicação? (Expresse apenas a montagem da fórmula).

Uma jovem empreendedora lançou uma aplicação de moda sustentável. Segundo os seus estudos de mercado, $35\%$ dos utilizadores que descarregam a aplicação acabam por realizar uma compra na primeira semana. Se hoje se registaram 10 novos utilizadores independentes:

1. a) Defina a variável aleatória $X$ e justifique se ela segue uma distribuição binomial, indicando os seus parâmetros.
2. b) Calcule a probabilidade de que exatamente 4 desses utilizadores realizem uma compra.
3. c) Qual é a probabilidade de que, no máximo, 2 utilizadores comprem na primeira semana?

Sabe-se que $15\%$ das embalagens produzidas por uma fábrica de reciclagem de plástico não cumprem os padrões de pureza exigidos. Um inspetor de qualidade seleciona ao acaso 8 embalagens para análise. Considera que as embalagens são escolhidas de forma independente e que a probabilidade de cada uma ser defeituosa é sempre $0,15$.

1. a) Calcula a probabilidade de todas as embalagens selecionadas serem aptas (cumprirem os padrões).
2. b) Calcula a probabilidade de pelo menos uma das embalagens ser defeituosa.
3. c) Qual é a probabilidade de haver mais de 6 embalagens aptas na amostra?

Numa distribuição binomial $X \sim B(100; 0,2)$, calcule:

1. a) A média ou valor esperado ($\mu = n \cdot p$).
2. b) A variância ($\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$).
3. c) O desvio-padrão ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$).

Explique sucintamente o que significa o valor da média neste contexto.

Um teste consiste em 12 perguntas, cada uma com 4 opções de resposta das quais apenas uma está correta. Um aluno que não estudou nada decide responder a todas as perguntas ao acaso.

1. a) Calcule o número esperado de respostas corretas (valor médio) e o desvio padrão desta distribuição.
2. b) Qual é a probabilidade de o aluno ter positiva no teste (obter pelo menos 6 respostas certas)?
3. c) Se o teste tivesse 100 perguntas, quais seriam os parâmetros da distribuição binomial resultante? (Não realize os cálculos de probabilidade.)

Numa campanha de vacinação numa escola, observou-se que $10\%$ dos alunos têm algum efeito secundário ligeiro (como dor no braço). Se for selecionada uma turma com 25 alunos vacinados:

1. a) Qual é o número médio de alunos que se espera que tenham efeitos secundários?
2. b) Calcule a probabilidade de o número de alunos com efeitos secundários ser inferior à média.
3. c) Qual é a probabilidade de exatamente 3 alunos terem efeitos secundários?

Um criador de conteúdos no TikTok sabe que a probabilidade de que um dos seus vídeos se torne "viral" (ultrapasse as 100 000 visualizações) é de 0,05. Se decidir publicar um vídeo por dia durante uma semana (7 dias), e supusermos que os vídeos são independentes entre si:

1. a) Qual é a probabilidade de que nenhum dos seus vídeos se torne viral?

1. b) Calcula a probabilidade de que pelo menos 2 vídeos sejam virais.

1. c) Representa graficamente, através de um diagrama em árvore, as possibilidades de sucesso (V, vídeo viral) e insucesso (N, vídeo não viral) para os primeiros 3 dias e atribui as probabilidades a cada ramo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar encomendas em zonas rurais. Verificou-se que a probabilidade de um drone ter um erro de precisão na aterragem é de 0,12. Se um drone realizar 15 aterragens num dia de trabalho:

1. a) Calcule a probabilidade de ter sucesso em todas as aterragens.
2. b) Calcule a probabilidade de ter erros em mais de 2 aterragens.
3. c) Se a empresa quiser que o número médio de erros por dia seja no máximo 1, quantas aterragens deveria o drone realizar por dia, mantendo a mesma taxa de erro?

Uma conhecida rede social está a analisar o comportamento dos seus "stories". Foi verificado que a distribuição do número de utilizadores que interagem com um anúncio segue um modelo binomial. Numa amostra de utilizadores, sabe-se que a média de interações é de $\mu = 12$ e a variância é de $\sigma^2 = 7,2$.

1. a) Calcule o tamanho da amostra $n$ e a probabilidade de interação $p$ de cada utilizador.

1. b) Uma vez obtidos $n$ e $p$, determine a probabilidade de que, numa nova amostra do mesmo tamanho, o número de interações seja superior a $2$, mas inferior ou igual a $4$.

Uma empresa de fabrico de componentes para smartphones realiza um controlo de qualidade. Cada lote de produção de uma peça crítica contém $2\%$ de unidades defeituosas. As peças são embaladas em caixas de $15$ unidades. Um cliente compra um carregamento de $100$ caixas.

1. a) Qual é a probabilidade de que, numa caixa escolhida ao acaso, haja pelo menos $2$ peças defeituosas?

1. b) Se o cliente devolver a caixa caso esta contenha mais de uma peça defeituosa, quantas caixas se espera que sejam devolvidas das $100$ que comprou?

Um exame de recuperação consiste em $80$ perguntas do tipo teste com $4$ opções cada uma, das quais apenas uma está correta. Um aluno responde ao acaso às $12$ perguntas que não sabia.

1. a) Seja $X$ a variável "número de respostas certas nas $12$ perguntas". Defina os parâmetros da distribuição.

1. b) Calcule a probabilidade de ter mais acertos do que erros.

1. c) Se, para ser aprovado nessa parte, for necessária pelo menos uma resposta certa, calcule a probabilidade de chumbar.

Uma aplicação de entregas tem uma probabilidade de atraso na entrega de $p = 0,15$. Um estafeta realiza $20$ entregas num turno da noite. Seja $X$ o número de entregas atrasadas (supõe-se que as entregas são independentes, de modo que $X$ segue uma binomial $B(20;\ 0,15)$). A figura mostra a distribuição de probabilidade de $X$.

1. a) Qual é a probabilidade de ter exatamente $3$ atrasos? Expressa o número combinatório como um produto de frações antes de operar.

1. b) Se o estafeta recebe uma penalização caso tenha mais de $4$ atrasos, qual é a probabilidade de ser penalizado? (Propõe a operação utilizando o acontecimento contrário e justifica por que é mais eficiente neste caso, comparando quantas probabilidades individuais teria de calcular com cada método).

Num torneio de e-sports, a probabilidade de um jogador profissional de "League of Legends" realizar um "Pentakill" numa partida competitiva é de $p = 0,008$. Uma equipa decide participar numa liga que consiste num número determinado de partidas $n$. Sabe-se que a probabilidade de a equipa não conseguir nenhum "Pentakill" em toda a liga é inferior a $0,6$.

1. a) Determine, utilizando logaritmos, o número mínimo de partidas que a equipa deve jogar para que essa condição seja cumprida.

1. b) Se finalmente jogarem $120$ partidas, calcule a probabilidade de conseguirem exatamente dois "Pentakills", expressando o resultado final com quatro casas decimais. Para o cálculo do número combinatório, utilize a fórmula fatorial: $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Um estudo sobre hábitos de leitura em adolescentes de 17 anos afirma que $70\%$ lê habitualmente em formato digital. Selecionam-se ao acaso $10$ adolescentes.

1. a) Calcule a probabilidade de que o número de adolescentes que leem em formato digital seja igual à moda desta distribuição binomial. (Nota: A moda numa $B(n, p)$ é o valor inteiro $k$ tal que $(n+1)p - 1 \leq k \leq (n+1)p$).

1. b) Sabendo que pelo menos $8$ deles leem em formato digital, qual é a probabilidade de que os $10$ o façam? (Probabilidade condicionada).

No departamento de matemática de uma escola, deseja-se formar uma comissão de finalistas. Há $12$ alunos de Ciências e $10$ de Ciências Sociais.

1. a) De quantas formas se pode escolher uma comissão de $6$ pessoas se deve haver pelo menos $4$ alunos de Ciências Sociais? Utiliza as propriedades dos números combinatórios para simplificar os cálculos manuais.

1. b) Se o processo de seleção de cada membro fosse independente e a probabilidade de escolher um aluno de Sociais fosse a proporção real no grupo ($10/22$), qual seria a probabilidade de que numa comissão de $6$ pessoas escolhidas com reposição houvesse exatamente $3$ de cada modalidade?

Segundo dados do Inquérito sobre Características Essenciais da População do INE, numa grande área metropolitana espanhola a probabilidade de um utilizador habitual de comboios suburbanos avaliar positivamente a pontualidade do serviço é de $p = 0,3$ ($30\%$). Numa estação, são inquiridos de forma independente 5 passageiros ao acaso.

1. a) Define a variável aleatória $X =$ «número de passageiros que avaliam positivamente a pontualidade entre os 5 inquiridos». Justifica de forma fundamentada se se trata de uma variável discreta ou contínua e verifica se cumpre os requisitos para ser modelada através de uma distribuição binomial $B(n, p)$.
2. b) Na fórmula $P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^3$, explica pelas tuas próprias palavras que papel específico desempenha o número combinatório $\binom{5}{2}$ face aos fatores $0,3^2$ e $0,7^3$. Por que razão seria incorreto omitir o número combinatório ao calcular a probabilidade?
3. c) Um porta-voz de uma associação de utilizadores declara: «Como a probabilidade individual de satisfação é de apenas $0,3$, é praticamente o triplo mais provável encontrar 1 utilizador satisfeito do que 2 utilizadores satisfeitos». Modela ambas as probabilidades ($P(X=1)$ e $P(X=2)$), calcula o seu quociente exato e argumenta matematicamente se a afirmação do porta-voz está correta ou se incorre num erro ao ignorar o peso do número combinatório face às probabilidades individuais.

A comissão de trabalhadores de uma empresa tecnológica em Lisboa convoca um processo interno para constituir uma comissão negociadora com um número $k$ de representantes escolhidos de entre uma candidatura de $n$ trabalhadores. Dispõe-se de dois dados sobre o processo:

1) Se se decidisse formar uma comissão mínima de apenas 2 representantes, existiriam exatamente 45 combinações distintas de candidatos: $\binom{n}{2} = 45$.

2) Por razões de representatividade interna, o número de comissões possíveis de tamanho $k$ coincide exatamente com o número de comissões possíveis se se alargar a comissão para $k+2$ elementos: $\binom{n}{k} = \binom{n}{k+2}$, onde $k > 0$.

1. a) A partir do primeiro dado, apresenta uma equação e deduz fundamentadamente o número total $n$ de trabalhadores que integram a candidatura.
2. b) Apoiando-te na propriedade de simetria dos números combinatórios ($\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$), estabelece uma relação linear entre $n$, $k$ e $k+2$, e determina o valor exato de $k$.
3. c) Se finalmente a candidatura aumentasse em 1 pessoa (passando a ter $n+1$ elementos) e se fixasse o tamanho da comissão em $k+1$ membros, utiliza a propriedade de Stifel para calcular quantas comissões diferentes se poderiam formar somando dois números combinatórios da candidatura original, e interpreta o significado de cada uma dessas parcelas no contexto da empresa.