Modelos logarítmico e logístico
Uma aplicação nova chega ao telemóvel de toda a gente na primeira semana. Mas será que vai ter 10 milhões de utilizadores em Portugal? Nenhum crescimento dura para sempre: ao fim de algum tempo, abranda. Que funções descrevem esse abrandamento, e para onde tende o número de utilizadores?
Crescimento logarítmico
Num modelo logarítmico, o crescimento é rápido no início e vai ficando cada vez mais lento, mas nunca pára e não tem limite.
$$f(t) = a + b\ln(t + c)$$Aqui $\ln$ é o logaritmo natural, a tecla $\ln$ da calculadora. Não precisas de teoria de logaritmos: basta saberes calcular valores com a calculadora e interpretar o resultado.
Repara no que acontece com $U(t) = 3 + 4\ln(t+1)$, o número de utilizadores (em milhares) de uma rede social, $t$ meses após o lançamento:
| $t$ (meses) | 0 | 1 | 3 | 7 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| $U(t)$ | 3,0 | 5,8 | 8,5 | 11,3 | 14,1 |
Para somar 2,8 milhares de utilizadores, foi preciso 1 mês no início, mas passam a ser necessários 8 meses entre o 7.º e o 15.º. Por isso, cada vez custa mais ganhar o mesmo.
O número de utilizadores ativos de uma nova rede social, em milhares, $t$ meses após o lançamento, é bem descrito pelo modelo logarítmico $U(t) = 3 + 4 \ln(t + 1)$. a)…
O número de utilizadores ativos de uma nova rede social, em milhares, $t$ meses após o lançamento, é bem descrito pelo modelo logarítmico
$U(t) = 3 + 4 \ln(t + 1)$.
- a) Quantos utilizadores tinha a rede social no lançamento?
- b) Calcula $U(6)$, arredondado às décimas, e interpreta o resultado no contexto.
- c) Compara o crescimento no primeiro mês, $U(1) - U(0)$, com o crescimento no sétimo mês, $U(7) - U(6)$. O que concluis sobre a velocidade de crescimento deste modelo?
Crescimento logístico
Na realidade, quase tudo tem um teto: uma freguesia só tem tantas famílias, uma escola só tem tantos alunos. O modelo logístico descreve isso.
$$P(t) = \frac{C}{1 + A\,e^{-kt}} \qquad (C, A, k > 0)$$-
$C$ é a capacidade (valor-limite): o valor para onde a função tende.
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O crescimento começa devagar, acelera no meio e satura perto de $C$: a curva tem forma de «S».
Porque é que $P(t)$ tende para $C$? Quando $t$ aumenta, $e^{-kt}$ aproxima-se de 0, logo o denominador aproxima-se de 1 e $P(t)$ aproxima-se de $C$. Nunca ultrapassa $C$, porque o denominador é sempre maior do que 1.
Em $t = 0$ temos $e^0 = 1$, logo $P(0) = \dfrac{C}{1 + A}$.
A proporção de famílias portuguesas com acesso à Internet por fibra ótica, $t$ anos após 2018, é modelada pela função logística $P(t) = \frac{0,95}{1 + 18 e^{-0,55 t}}$.…
A proporção de famílias portuguesas com acesso à Internet por fibra ótica, $t$ anos após 2018, é modelada pela função logística
$P(t) = \frac{0,95}{1 + 18 e^{-0,55 t}}$.
- a) Qual é a capacidade (valor-limite) deste modelo? Interpreta-a no contexto do problema.
- b) Que proporção de famílias tinha acesso à fibra ótica em 2018?
- c) Calcula $P(4)$, com duas casas decimais, e interpreta o resultado.
- d) Pode a proporção de famílias com fibra ótica ultrapassar 95 %, segundo este modelo? Justifica.
Resolver equações e escolher o modelo
Muitas vezes queremos saber quando se atinge um valor. Por exemplo, em $N(t) = \dfrac{800}{1+79e^{-0{,}9t}}$, quando é que metade dos alunos (400) está infetada?
Podes resolver de duas maneiras:
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Graficamente: na calculadora, desenha $y = N(t)$ e $y = 400$ e procura a interseção.
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Algebricamente, isolando $e^{-kt}$ e aplicando $\ln$. A regra é $\ln(e^x) = x$.
Repara que a metade da capacidade é o ponto onde a curva é mais inclinada: é quando aparecem mais casos novos por dia. Depois, os casos novos diminuem, porque há cada vez menos pessoas ainda por infetar. Isto explica a forma de «S».
Como escolher o modelo para uns dados reais?
| Modelo | Como se comporta | Exemplo |
|---|---|---|
| Linear | aumenta sempre o mesmo | poupar 5 € por semana |
| Exponencial | aumenta sempre na mesma razão, sem limite | propagação inicial de um vírus |
| Logarítmico | cresce cada vez mais devagar, sem limite | utilizadores de uma aplicação |
| Logístico | forma de «S», com limite $C$ | famílias com fibra ótica |
Nenhum modelo é perfeito: serve bem num intervalo de tempo, mas as previsões muito longe dos dados são pouco fiáveis. Por exemplo, uma gripe numa escola deixa de seguir o modelo quando a escola toma medidas de contenção.
A propagação de uma gripe numa escola com 800 alunos é descrita pelo modelo logístico $N(t) = \frac{800}{1 + 79 e^{-0,9 t}}$, em que $N(t)$ é o número de alunos…
A propagação de uma gripe numa escola com 800 alunos é descrita pelo modelo logístico
$N(t) = \frac{800}{1 + 79 e^{-0,9 t}}$,
em que $N(t)$ é o número de alunos infetados $t$ dias após o primeiro caso detetado.
- a) Quantos alunos estavam infetados no dia 0?
- b) Se a situação evoluir sem medidas de contenção, para que valor tende o número de alunos infetados? Justifica.
- c) Determina, usando logaritmos, o valor de $t$ para o qual metade dos alunos está infetada. Apresenta o resultado arredondado às décimas.
- d) Explica, relacionando com a forma da curva logística, por que razão o número de novos casos por dia é máximo precisamente quando $N(t) = 400$.
Em resumo
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Logarítmico: $a + b\ln(t+c)$. Cresce sempre, mas cada vez mais devagar e sem limite.
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Logístico: $\dfrac{C}{1+Ae^{-kt}}$. Tem forma de «S» e tende para a capacidade $C$, que nunca ultrapassa.
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O valor inicial do logístico é $\dfrac{C}{1+A}$, não $C$.
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Para saber quando se atinge um valor: usa a interseção dos gráficos ou isola $e^{-kt}$ e aplica $\ln$.
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Escolhe o modelo pelo comportamento dos dados e lembra-te das limitações das previsões.