Exercícios: Eventos

Um estudante do 2.º ano do Bachillerato está a organizar as suas pastas digitais de apontamentos. Na sua pasta de "Economía" tem 12 ficheiros PDF, 8 documentos de texto e 5 esquemas em formato de imagem. Se escolher um ficheiro ao acaso para o revisar antes de um exame, determina:

1. a) O espaço de resultados da experiência.

1. b) A probabilidade de o ficheiro escolhido ser um esquema em formato de imagem.

1. c) A probabilidade de o ficheiro escolhido não ser um documento de texto.

Em uma turma do 2º ano do Bacharelado, realizou-se uma pesquisa sobre o uso de redes sociais. Sabe-se que o evento $A$ é "utilizar o Instagram" e o evento $B$ é "utilizar o TikTok". Defina mediante operações de eventos (união, interseção ou complementar) as seguintes situações:

1. a) O aluno utiliza ambas as redes sociais.
2. b) O aluno utiliza pelo menos uma das duas redes.
3. c) O aluno não utiliza o Instagram.
4. d) O aluno utiliza o Instagram, mas não o TikTok.

Considera dois acontecimentos $A$ e $B$ associados a uma experiência aleatória. Sabendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$, calcula as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A})$ (probabilidade do acontecimento contrário de $A$).

1. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando as Leis de Morgan.

O diagrama de Venn apresenta apenas os dados do enunciado.

Uma equipa de eSports tem no seu plantel jogadores de três nacionalidades: 5 espanhóis, 3 franceses e 2 italianos. Se for selecionado ao acaso um capitão para o próximo torneio, calcule:

1. a) A probabilidade de que seja francês.
2. b) A probabilidade de que não seja espanhol.
3. c) Os acontecimentos "ser espanhol" e "ser italiano" são compatíveis ou incompatíveis? Justifique a sua resposta.

Dados dois acontecimentos $M$ e $N$ tais que são incompatíveis entre si, com $P(M) = 0,35$ e $P(N) = 0,45$, determine a probabilidade de que:

1. a) Ocorra o acontecimento $M$ ou o acontecimento $N$.
2. b) Não ocorra nenhum dos dois acontecimentos.
3. c) Ocorram $M$ e $N$ simultaneamente.

Numa plataforma de streaming, $70\%$ dos utilizadores veem séries de ação ($S$), $40\%$ veem documentários ($D$) e $25\%$ veem ambos os tipos de conteúdo. Calcula a probabilidade de que um utilizador escolhido ao acaso:

1. a) Veja séries de ação ou documentários.

1. b) Não veja nenhum destes dois conteúdos.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,5$, $P(\bar{B}) = 0,7$ e $P(A \cup B) = 0,65$. Calcule a probabilidade da interseção $P(A \cap B)$ e determine se os acontecimentos são compatíveis.

Retiramos uma bola de uma urna que contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Consideramos os acontecimentos:

$A = \{ \text{tirar um número par} \}$

$B = \{ \text{tirar um número múltiplo de 3} \}$

1. a) Escreva os elementos que formam os acontecimentos $A \cup B$ e $A \cap B$.
2. b) Calcule $P(A \cup B)$ utilizando a Regra de Laplace sobre a contagem dos seus elementos.
3. c) Verifique o resultado anterior aplicando a fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Numa escola secundária, o gabinete de orientação analisa as opções de matrícula no 12.º ano relativamente a duas disciplinas opcionais: Francês ($F$) e Tecnologias de Informação ($T$). Sabe-se que $30\,\%$ dos alunos frequenta Francês, $45\,\%$ frequenta Tecnologias de Informação e $15\,\%$ frequenta ambas.

O Afonso, para calcular a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não frequentar nenhuma das duas disciplinas, escreve no seu exame:

1. a) Identifica o erro conceptual cometido pelo Afonso com as leis de De Morgan ou as operações com acontecimentos e explica fundamentadamente por que razão a sua fórmula não está correta.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor real de $P(\overline{F} \cap \overline{T})$.
3. c) A partir dos dados, justifica se os acontecimentos $F$ e $T$ são compatíveis ou incompatíveis, e se são acontecimentos contrários.

A partir dos dados do Inquérito sobre Equipamento e Utilização de Tecnologias de Informação nos Lares do INE, estima-se que, entre os jovens de 16 a 24 anos em Espanha, $92\,\%$ utilizam redes sociais diariamente (acontecimento $R$) e $68\,\%$ acedem a plataformas de banca digital ou carteiras móveis (acontecimento $B$). Além disso, $65\,\%$ afirmam realizar ambas as ações diariamente.

Se se selecionar ao acaso uma pessoa desse grupo:

1. a) Expressa formalmente com operações de acontecimentos ($R$, $B$ e os seus complementares) cada uma das seguintes situações:

i) Utiliza redes sociais diariamente, mas não banca digital.

ii) Não realiza diariamente nenhuma das duas atividades.

iii) Realiza diariamente pelo menos uma das duas atividades.

1. b) Calcula a probabilidade de cada um dos três acontecimentos da alínea anterior.
2. c) Justifica formalmente se os acontecimentos «utilizar redes sociais diariamente» e «utilizar banca digital diariamente» são acontecimentos contrários, indicando as duas condições que deveriam cumprir para o ser.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória dos quais se conhecem as seguintes probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ e $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Com base nas propriedades da probabilidade e nas leis de De Morgan, calcule:

1. a) A probabilidade da união dos acontecimentos, $P(A \cup B)$.
2. b) A probabilidade da interseção, $P(A \cap B)$.
3. c) Indique, justificando, se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis.

Num estudo sobre o consumo de conteúdos digitais entre jovens de 16 anos, identificou-se que $70 \%$ utiliza a plataforma StreamVibe e $45 \%$ utiliza CloudMusic. Além disso, sabe-se que $25 \%$ dos jovens não utiliza nenhuma das duas plataformas. Se escolhermos um jovem ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de que utilize ambas as plataformas.
2. b) A probabilidade de que utilize apenas o StreamVibe.
3. c) A probabilidade de que utilize o CloudMusic, mas não o StreamVibe.

Dispomos da seguinte tabela de contingência parcial que mostra a distribuição de um grupo de 120 alunos do ensino secundário segundo a sua participação em atividades extracurriculares (Desporto ou Música):

1. a) Completa a tabela de contingência no teu caderno.
2. b) Calcula a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não realizar nenhuma das duas atividades.
3. c) Os acontecimentos "Participar em Música" e "Participar em Desporto" são independentes? Justifica a tua resposta matematicamente.

Um estudante do 2º ano do Bacharelado preparou 18 dos 25 tópicos dos quais consta o programa de Geografia. No exame final, o professor escolhe dois tópicos ao acaso (sem reposição). Calcule:

1. a) A probabilidade de o aluno saber os dois tópicos.
2. b) A probabilidade de não saber nenhum.
3. c) A probabilidade de saber pelo menos um dos dois tópicos selecionados.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,3$. Calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$ em cada uma das seguintes hipóteses:

1. a) $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis.
2. b) $A$ e $B$ são acontecimentos independentes.
3. c) O acontecimento $B$ está contido no acontecimento $A$ ($B \subset A$).

Num jogo de RPG, um jogador deve superar dois desafios consecutivos. A probabilidade de superar o primeiro desafio é de $0,7$. Se superar o primeiro, a probabilidade de superar o segundo é de $0,8$, mas se falhar no primeiro, a probabilidade de superar o segundo desce para $0,4$.

1. a) Desenhe o diagrama em árvore que represente esta situação.
2. b) Calcule a probabilidade de o jogador superar os dois desafios.
3. c) Calcule a probabilidade de o jogador superar apenas um dos dois desafios.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

De um baralho espanhol de 40 cartas, extraem-se duas cartas sucessivamente e sem devolver a primeira ao baralho. Determine as seguintes probabilidades:

1. a) Que as duas cartas sejam figuras (Valete, Cavalo ou Rei).
2. b) Que a primeira carta seja um Ás e a segunda seja um Rei.
3. c) Que pelo menos uma das duas cartas seja de Ouros.

Considere os acontecimentos $A$ e $B$ tais que $P(A) = 0,5$, $P(B|A) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,65$. A partir destes dados:

1. a) Determine o valor da probabilidade da interseção $P(A \cap B)$.
2. b) Calcule o valor de $P(B)$.
3. c) Determine, justificadamente, se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes.

De acordo com os registos climatológicos do IPMA para uma cidade do norte de Portugal no mês de novembro, a probabilidade de chover num dia qualquer é $P(L) = 0{,}70$ e a probabilidade de se registarem rajadas de vento forte é $P(V) = 0{,}50$. Da mesma forma, a probabilidade de um dia não apresentar chuva nem vento forte é $P(\overline{L} \cap \overline{V}) = 0{,}10$.

1. a) Antes de calcular qualquer valor exato, faz uma estimativa fundamentada: pode a probabilidade de chover e fazer vento em simultâneo, $P(L \cap V)$, ser inferior a $0{,}20$? Justifica a tua estimativa deduzindo um limite inferior obrigatório a partir da soma $P(L) + P(V)$ e do facto de uma probabilidade nunca poder ultrapassar $1$.
2. b) Utilizando as leis de De Morgan e as propriedades da adição de probabilidades, calcula o valor exato da união $P(L \cup V)$ e da interseção $P(L \cap V)$.
3. c) Verifica se o resultado obtido confirma a tua estimativa prévia e calcula a probabilidade de, num dia de novembro, ocorrer exatamente um dos dois fenómenos meteorológicos (chuva sem vento forte, ou vento forte sem chuva).

Uma frota de carrinhas de distribuição de comércio eletrónico opera na área metropolitana do Porto. Num dia de trabalho, a probabilidade de um veículo sofrer uma avaria mecânica é $P(M) = 0{,}18$ e a de sofrer um atraso grave devido a congestionamentos de trânsito é $P(T) = 0{,}32$. Sabe-se ainda que a probabilidade de registar pelo menos um destes dois problemas é $P(M \cup T) = 0{,}40$.

Pretende-se calcular a probabilidade de um veículo terminar o dia a sofrer no máximo uma das duas ocorrências.

1. a) Desenvolve o cálculo seguindo o Método 1: definir o acontecimento pedido como o complementar de sofrer ambos os problemas simultaneamente, aplicando a relação com o acontecimento contrário.
2. b) Desenvolve o cálculo seguindo o Método 2: decompor o acontecimento na união de três acontecimentos incompatíveis (apenas avaria, apenas trânsito, ou nenhuma das duas ocorrências) e somar as suas probabilidades utilizando a diferença de acontecimentos e as leis de De Morgan.
3. c) Compara ambos os métodos: verifica que dão o mesmo resultado e argumenta qual dos dois caminhos consideras mais eficiente e seguro tendo em vista um exame nacional, justificando a tua escolha.

Numa plataforma de streaming, observou-se que $65\%$ dos utilizadores com menos de 20 anos veem séries de animação (acontecimento $A$) e $40\%$ veem documentários sobre a natureza (acontecimento $D$). Além disso, sabe-se que a probabilidade de um utilizador não ver séries de animação, sabendo que não vê documentários sobre a natureza, é de $0,5$.

Calcula justificadamente:

1. a) A probabilidade de um utilizador ver ambos os tipos de conteúdo.
2. b) A probabilidade de um utilizador ver séries de animação, mas não documentários sobre a natureza.
3. c) Os acontecimentos $A$ e $D$ são independentes? Justifica a tua resposta utilizando os resultados anteriores.

Uma equipa de programadores de jogos eletrónicos está a analisar os erros (bugs) da sua última versão. Classificaram os erros em três categorias: Críticos ($C$), Gráficos ($G$) e de Som ($S$). Após um teste massivo, foram obtidos os seguintes dados:

• $10\%$ dos erros são dos três tipos ao mesmo tempo.

• A probabilidade de que um erro seja Crítico é $P(C) = 0,4$.

• A probabilidade de que seja Gráfico é $P(G) = 0,5$.

• A probabilidade de que seja de Som é $P(S) = 0,35$.

• A probabilidade de que um erro seja Crítico e Gráfico é $0,2$.

• A probabilidade de que seja Gráfico e de Som é $0,15$.

• A probabilidade de que um erro não pertença a nenhuma destas três categorias é $0,2$.

Calcule a probabilidade de que um erro selecionado ao acaso seja:

1. a) Crítico e de Som.
2. b) Exclusivamente um erro Gráfico.
3. c) De Som, sabendo que não é Crítico nem Gráfico.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que as suas probabilidades são $P(A) = x$ e $P(B) = y$. Sabe-se que o acontecimento união tem probabilidade $P(A \cup B) = 0,75$ e que o acontecimento interseção cumpre $P(A \cap B) = 0,15$.

Se, além disso, se sabe que a probabilidade de ocorrer $A$ condicionada a que não ocorra $B$ é $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determine os valores de $x$ e $y$. $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis? São independentes?

Num campeonato de eSports, analisam-se as jogadas de um pro player. Definem-se os acontecimentos $K$ (obter uma eliminação) e $W$ (vencer a ronda). O analista determina que:

• A probabilidade de vencer a ronda tendo obtido uma eliminação é $P(W|K) = 0,8$.

• A probabilidade de vencer a ronda sem ter obtido eliminações é $P(W|\bar{K}) = 0,3$.

• A probabilidade de que numa ronda aconteça o jogador vencer ou obter uma eliminação é $0,85$.

Utilizando a álgebra de acontecimentos, calcule:

1. a) A probabilidade de o jogador obter uma eliminação numa ronda, $P(K)$.
2. b) A probabilidade de o jogador vencer a ronda e não obter nenhuma eliminação.
3. c) Demonstre se os acontecimentos "vencer a ronda" e "obter uma eliminação" são dependentes ou independentes.

Demonstre, utilizando as propriedades da probabilidade e as leis de De Morgan, a veracidade ou falsidade da seguinte afirmação:

"Se $A$ e $B$ são dois acontecimentos incompatíveis com probabilidades não nulas, então verifica-se sempre que $P(\bar{A} | B) = 1$".

Acompanhe o seu raciocínio com um exemplo numérico original onde $P(A) = 0,3$ e $P(B) = 0,4$.

Um sistema de cibersegurança tem duas barreiras de proteção independentes, $B_1$ e $B_2$. A probabilidade de um ataque externo ultrapassar a primeira barreira é $P(B_1) = 0,15$ e a probabilidade de ultrapassar a segunda é $P(B_2) = 0,10$.

Calcule a probabilidade de que um ataque:

1. a) Ultrapasse pelo menos uma das duas barreiras.
2. b) Ultrapasse exatamente uma das barreiras.
3. c) Não seja detetado por nenhuma barreira, sabendo que o ataque conseguiu ultrapassar a primeira proteção.

Num estudo sobre o uso de redes sociais, selecionam-se dois estudantes de 2.º do Ensino Secundário de forma consecutiva e sem reposição. Sabe-se que $60\%$ dos alunos da escola utilizam a rede social X.

Se a probabilidade de o segundo aluno selecionado utilizar a rede social X, sabendo que o primeiro a utiliza, é de $35/59$, determina o número total de alunos de 2.º do Ensino Secundário que há nessa escola.

Considera três acontecimentos $A$, $B$ e $C$ tais que $A$ e $B$ são independentes, e $A$ e $C$ são incompatíveis. Conhecem-se as seguintes probabilidades:

$P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$; $P(C) = 0,2$ e $P(B \cap C) = 0,1$.

Determina a probabilidade dos seguintes acontecimentos compostos:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$

1. b) $P((A \cap B) \cup C)$

1. c) $P(A \mid \bar{C})$

Um analista financeiro desenha um modelo para avaliar dois fatores de risco de crédito em PME, o fator $A$ (falta de liquidez imediata) e o fator $B$ (queda acentuada de vendas). O modelo inicial exige cumprir duas condições fixas:

• A probabilidade de uma empresa não apresentar nenhum dos dois fatores de risco é $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}25$.

• A probabilidade de apresentar unicamente o fator $A$ é o dobro da probabilidade de apresentar unicamente o fator $B$; isto é, $P(A \cap \overline{B}) = 2 \cdot P(\overline{A} \cap B)$.

1. a) Se os dados preliminares fixarem a probabilidade de ocorrerem ambos os fatores ao mesmo tempo em $P(A \cap B) = 0{,}15$, reconstrói fundamentadamente os valores individuais de $P(A)$ e $P(B)$.
2. b) Formula e resolve o seguinte problema inverso: determina que valores deveriam tomar $P(A)$ e $P(B)$ se for imposta a restrição de que os fatores de risco $A$ e $B$ sejam totalmente incompatíveis, mantendo as duas condições iniciais do modelo.
3. c) Demonstra se é possível ou impossível que $P(A \cap B) = 0{,}80$ sob as condições iniciais do enunciado e deduz o valor máximo que $P(A \cap B)$ poderia atingir teoricamente. Justifica a tua resposta em termos de inclusão de acontecimentos.

Um relatório de um observatório social sobre consumo responsável em jovens de 18 a 25 anos em Espanha apresenta os seguintes dados amostrais:

• $70\,\%$ adquire habitualmente peças de roupa em segunda mão ou de confeção ética (acontecimento $S$).

• $55\,\%$ consome habitualmente alimentos biológicos ou de proximidade (acontecimento $E$).

Durante uma entrevista, o porta-voz da entidade afirma perante os meios de comunicação: «Segundo os nossos cálculos, pelo menos $40\,\%$ dos jovens não realiza nenhuma destas duas práticas sustentáveis».

1. a) Traduz as afirmações do relatório e as declarações do porta-voz para a linguagem formal de acontecimentos e probabilidades.
2. b) Aplicando rigorosamente as leis de De Morgan e os axiomas da probabilidade, demonstra se a declaração do porta-voz é matematicamente coerente com os dados do relatório ou se contém uma contradição insanável.
3. c) Supondo verdadeiras as percentagens do relatório ($P(S) = 0{,}70$ e $P(E) = 0{,}55$), determina o intervalo fechado exato $[p_{\min}, p_{\max}]$ no qual deve encontrar-se a probabilidade de realizar ambas as práticas em simultâneo, $P(S \cap E)$, para que o modelo seja matematicamente coerente. Explica que significado tem cada um dos extremos do intervalo em relação à inclusão ou relação mútua entre ambos os acontecimentos.