Exercícios: Propriedades das probabilidades

Num estudo sobre a utilização de aplicações móveis entre adolescentes, determinou-se que a probabilidade de um aluno ter instalado uma aplicação de edição de vídeo é $P(V) = 0,35$. Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não ter instalado a referida aplicação.

Para a festa de formatura, os alunos do 2º ano do Ensino Médio devem escolher entre três destinos possíveis: Mojácar, Maiorca ou Tenerife. Sabe-se que a probabilidade de escolherem Mojácar é $P(M) = 0,42$ e a de escolherem Maiorca é $P(L) = 0,38$. Sabendo que os eventos são incompatíveis (só podem escolher um destino), calcule:

1. a) A probabilidade de os alunos viajarem para Porto Santo ou Açores.
2. b) A probabilidade de não escolherem nenhum destes dois destinos e irem para a Madeira.

Segundo as estatísticas de uma escola, $75\,\%$ dos alunos usa habitualmente o Instagram ($I$), $60\,\%$ usa o TikTok ($T$) e $45\,\%$ utiliza ambas as redes sociais em simultâneo.

Calcula a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, utilizar o Instagram ou o TikTok, ou seja, $P(I \cup T)$.

Um programador de videojogos está a analisar a probabilidade de obter itens raros num baú surpresa. Os possíveis resultados são: "Item Comum" ($C$), "Item Raro" ($R$) e "Item Épico" ($E$). Indica se a seguinte atribuição de probabilidades é válida segundo os axiomas de Kolmogorov e justifica a tua resposta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

Consideram-se os acontecimentos $A$ e $B$ associados a uma experiência aleatória. Se sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e que a probabilidade de não ocorrer nem $A$ nem $B$ é $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica as Leis de De Morgan para encontrar a probabilidade da união, $P(A \cup B)$.

Numa caixa de materiais para um projeto de tecnologia há 50 resistências. Sabe-se que algumas são de $100\ \Omega$ ($A$) e outras de $220\ \Omega$ ($B$), e algumas são novas e outras usadas. Extrai-se uma ao acaso. Se $P(A) = 0,6$ e os acontecimentos $A$ e $B$ são complementares, determine:

1. a) A probabilidade de extrair uma resistência de $220\ \Omega$.
2. b) Qual é o valor de $P(A \cap B)$? Justifique a sua resposta com base na relação entre acontecimentos complementares.

Sejam $X$ e $Y$ dois acontecimentos tais que $P(X) = 0,25$ e $P(Y) = 0,55$. Se sabemos que estes acontecimentos são incompatíveis, calcule a probabilidade de que:

1. a) Ocorra o acontecimento $X$ ou o acontecimento $Y$.
2. b) Não ocorra o acontecimento $X$.
3. c) Ocorram $X$ e $Y$ ao mesmo tempo.

A partir dos dados representados no seguinte diagrama de Venn, onde os valores indicam as probabilidades de cada região, calcule as probabilidades pedidas:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A \cup B)$

Numa escola secundária realiza-se um inquérito sobre hábitos de leitura. Define-se o acontecimento $L$: «o aluno lê habitualmente livros em formato papel» com $P(L) = 0,60$, e o acontecimento $D$: «o aluno lê em suporte digital» com $P(D) = 0,55$. A Maria, aluna do 12.º ano de escolaridade, afirma no seu trabalho: «Como a probabilidade da reunião é a soma das probabilidades, temos que $P(L \cup D) = 0,60 + 0,55 = 1,15$; portanto, é $100\,\%$ certo que lêem de alguma forma e sobra um excesso de $15\,\%$». Identifica e fundamenta os dois erros concetuais cometidos pela Maria com base nos axiomas de Kolmogorov. De seguida, sabendo que $35\,\%$ dos alunos lêem em ambos os formatos ($P(L \cap D) = 0,35$), calcula a probabilidade real de um aluno ler em pelo menos um dos dois formatos e a probabilidade de não ler em nenhum ($P(\overline{L} \cap \overline{D})$).

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) prevê para um fim de semana em Aveiro uma probabilidade de chuva no sábado de $P(S) = 0,70$, uma probabilidade de chuva no domingo de $P(D) = 0,60$, e uma probabilidade de chover em ambos os dias de $P(S \cap D) = 0,50$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico formal, estima fundamentadamente se a probabilidade de chover pelo menos num dos dois dias ($P(S \cup D)$) deve ser maior, igual ou menor do que $0,70$. Justifica a tua previsão a partir da relação de inclusão entre os acontecimentos $S$ e $S \cup D$.

1. b) Calcula o valor exato de $P(S \cup D)$ mediante a propriedade da reunião de acontecimentos compatíveis e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

1. c) Utilizando as leis de De Morgan, obtém a probabilidade de o fim de semana ser completamente seco ($P(\overline{S} \cap \overline{D})$) e avalia se este resultado é coerente com os dados de partida.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória. Sabe-se que a probabilidade de que não ocorra nenhum dos dois é $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Além disso, sabe-se que $P(A) = 0,5$ e que $P(B) = 0,4$.

Calcule justificadamente as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes.

Numa plataforma de conteúdos em streaming, $60 \%$ dos subscritores jovens veem séries de ficção científica (acontecimento $S$), $45 \%$ veem documentários sobre a natureza (acontecimento $D$) e $20 \%$ dos utilizadores veem ambos os tipos de conteúdo.

Calcule a probabilidade de um utilizador escolhido ao acaso:

1. a) Ver séries de ficção científica ou documentários sobre a natureza.
2. b) Não ver nenhum dos dois géneros.
3. c) Ver apenas um dos dois géneros.
4. d) Sabendo que não vê séries de ficção científica, qual é a probabilidade de ver documentários sobre a natureza?

Observe o seguinte diagrama de Venn que representa as probabilidades de diferentes regiões para dois acontecimentos $M$ e $N$ num espaço de resultados $E$.

A partir dos dados do diagrama, calcule as seguintes probabilidades:

1. a) $P(M \cup N)$
2. b) $P(M - N)$, ou seja, a probabilidade de que ocorra $M$ mas não $N$.
3. c) $P(\bar{M} \cup \bar{N})$ utilizando as Leis de De Morgan.
4. d) Os acontecimentos $M$ e $N$ são incompatíveis? Justifique a sua resposta.

Uma equipa de eSports está a analisar o seu rendimento em dois mapas distintos de um videojogo: Inferno (acontecimento $I$) e Mirage (acontecimento $M$). As estatísticas mostram que vencem em Inferno com uma probabilidade de $0,7$ e que a probabilidade de vencer em Mirage é de $0,5$. Foi comprovado que a probabilidade de vencer em pelo menos um dos dois mapas é de $0,85$.

1. a) Calcule a probabilidade de vencerem em ambos os mapas.
2. b) O facto de vencer em Inferno é independente de vencer em Mirage?
3. c) Calcule a probabilidade de vencerem em Mirage sabendo que perderam em Inferno.

Dados dois acontecimentos $A$ e $B$ de uma mesma experiência aleatória, sabe-se que:

• A probabilidade de que ocorra $A$ é o triplo da do seu complementar, $\bar{A}$.

• $P(B) = 0,4$.

• $P(A \cap B) = 0,3$.

Calcule justificadamente:

1. a) $P(A)$.
2. b) $P(A \cup B)$.
3. c) $P(\bar{A} \cap B)$.
4. d) $P(\bar{B} | \bar{A})$.

Num estudo sobre mobilidade sustentável entre alunos do ensino secundário, constatou-se que a probabilidade de um aluno usar a bicicleta para ir à escola é $P(B) = 0,25$, a de usar o transporte público é $P(T) = 0,60$ e a de não usar nenhum destes dois meios é $P(\bar{B} \cap \bar{T}) = 0,30$.

1. a) Os acontecimentos "usar bicicleta" e "usar transporte público" são compatíveis?
2. b) Calcule a probabilidade de um aluno usar apenas a bicicleta.
3. c) Qual é a probabilidade de usar o transporte público se sabemos que não utiliza a bicicleta?

Consideram-se dois acontecimentos $X$ e $Y$ independentes. Sabe-se que $P(X) = 0,6$ e $P(X \cup Y) = 0,8$. Utilizando as propriedades da probabilidade e a definição de independência, calcule:

1. a) A probabilidade do acontecimento $Y$.
2. b) A probabilidade de que ocorra $X$ mas não ocorra $Y$.
3. c) A probabilidade de que não ocorra nenhum dos dois.

Uma aplicação de gestão de tarefas classifica os avisos segundo a sua urgência ($U$) e o seu tipo: pessoal ($P$) ou trabalho ($T$). Sabe-se que $P(U) = 0,35$, $P(P) = 0,55$ e que $P(U \cup P) = 0,75$.

Determine:

1. a) Se os acontecimentos $U$ e $P$ são independentes.
2. b) A probabilidade de um aviso ser urgente sabendo que é pessoal.
3. c) A probabilidade de um aviso ser pessoal, mas não urgente.
4. d) Se os avisos são ou do tipo pessoal ($P$) ou de trabalho ($T$), calcule a probabilidade de um aviso não ser urgente e ser de trabalho, ou seja, $P(\bar{U} \cap T)$.

A partir de uma amostra de trabalhadores de uma área metropolitana portuguesa, um estudo de mobilidade analisa o uso do transporte público ($T$) e do veículo privado ($V$). Os dados indicam que $P(T) = 0,45$, $P(V) = 0,30$ e que a probabilidade de um trabalhador combinar ambos os meios na sua deslocação diária é $P(T \cap V) = 0,10$.

1. a) Modela a situação e calcula a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso utilizar exclusivamente um dos dois meios de transporte analisados.

1. b) Exprime em linguagem formal o acontecimento «não utiliza nenhum destes dois meios de transporte», calcula a sua probabilidade recorrendo às leis de De Morgan, justificando cada igualdade, e explica o que representa este grupo no contexto do problema.

1. c) Fundamenta se os acontecimentos $T$ e $V$ são incompatíveis e explica que implicação prática teria para o tráfego urbano que o fossem.

Numa investigação sobre o mercado do lazer digital em Portugal analisam-se dois serviços de subscrição: plataformas de cinema e séries ($A$) e plataformas de transmissões desportivas ($B$). Sabe-se que $P(A) = 0,65$, que $P(B) = 0,40$ e que a probabilidade de não ter contratada nenhuma das duas é $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,15$. Pede-se para determinar a probabilidade de um agregado familiar dispor de ambos os serviços, $P(A \cap B)$.

Para resolver este problema propõem-se dois caminhos:

• Método 1: Aplicar a lei de De Morgan para isolar $P(A \cup B)$ a partir de $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ e substituir na fórmula geral da adição da reunião.

• Método 2: Construir uma tabela de contingência de probabilidades ($2 \times 2$) identificando os quatro acontecimentos disjuntos fundamentais até deduzir o valor pedido.

1. a) Desenvolve a resolução completa aplicando o método que consideres mais direto e eficiente, justificando fundamentadamente os passos matemáticos seguidos.

1. b) Compara criticamente ambos os métodos e explica qual resulta mais vantajoso se, adicionalmente, fosse solicitado calcular a probabilidade de contratar unicamente cinema e séries ($P(A \cap \overline{B})$).

Em um estudo sobre o uso de redes sociais entre jovens do 2º ano do Ensino Médio, analisam-se duas plataformas: InstaPlus (evento $A$) e TikToker (evento $B$). Sabe-se que a probabilidade de um aluno usar pelo menos uma das duas é de $0,8$. Além disso, a probabilidade de usar a primeira, mas não a segunda, é de $0,3$. Se se sabe que a probabilidade de usar ambas as plataformas é a metade da probabilidade de não usar nenhuma das duas, calcule:

1. a) A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, usar a plataforma TikToker.

1. b) Os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes? Justifique matematicamente a tua resposta comparando $P(A \cap B)$ com o produto das suas probabilidades individuais.

1. c) Calcule a probabilidade de usar apenas uma das duas plataformas.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que as suas probabilidades são dadas em função de um parâmetro $k$. Sabe-se que $P(A) = k$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$.

1. a) Determine o valor de $k$ para que os acontecimentos $A$ e $B$ sejam incompatíveis.

1. b) Determine o valor de $k$ para que os acontecimentos $A$ e $B$ sejam independentes.

1. c) Se $k = 0,4$, calcule a probabilidade de que ocorra $B$ sabendo que não ocorreu $A$, ou seja, $P(B | \bar{A})$.

Um sistema de cibersegurança monitoriza dois tipos de ataques: de Phishing ($A$) e de Malware ($B$). As métricas do último mês indicam que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$ e que $P(A \cap B) = 0,25$. Se a probabilidade de sofrer um ataque de Phishing é o dobro da de sofrer um de Malware ($P(A) = 2P(B)$), obtenha:

1. a) A probabilidade de sofrer um ataque do tipo Malware.

1. b) A probabilidade de que, tendo sofrido um ataque de Malware, este não seja de Phishing.

1. c) Utilizando as Leis de De Morgan, demonstre se é mais provável a reunião dos complementares $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ ou o complementar da interseção $\overline{P(A \cap B)}$.

Num torneio de eSports, um jogador tem uma probabilidade $p$ de vencer a primeira partida. Se vencer a primeira, a confiança aumenta e a probabilidade de vencer a segunda é de $0,7$. Se perder a primeira, a probabilidade de vencer a segunda cai para $0,3$. Sabendo que a probabilidade de vencer a segunda partida é de $0,54$, calcule:

1. a) O valor da probabilidade $p$.

1. b) A probabilidade de o jogador ter vencido a primeira partida sabendo que perdeu a segunda.

Demonstre formalmente, utilizando a axiomática de Kolmogorov e as propriedades da probabilidade, a seguinte afirmação: "Se $A$ e $B$ são dois acontecimentos independentes, então os seus complementares $\bar{A}$ e $\bar{B}$ também são independentes".

Ajuda: Deves partir da definição de independência $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ e chegar a $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$.

Uma aplicação de música por streaming classifica os seus utilizadores em três categorias segundo o seu tempo de escuta: Free ($F$), Premium ($P$) e Family ($S$). $50\%$ são utilizadores Free, $30\%$ Premium e os restantes Family. Sabe-se que a percentagem de utilizadores que escutam podcasts habitualmente é de $20\%$ na categoria Free, de $60\%$ na Premium e de $40\%$ na Family.

1. a) Se escolhermos um utilizador ao acaso que escuta podcasts, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade Premium?

1. b) Se for adicionada uma nova condição: "Nenhum utilizador Family que escuta podcasts tem menos de 18 anos". Se escolhermos um utilizador ao acaso, qual é a probabilidade de ser um utilizador Family, escutar podcasts e ter menos de 18 anos? Justifique a sua resposta usando o acontecimento impossível.

Sejam $A$, $B$ e $C$ três acontecimentos tais que $A$ e $B$ são independentes entre si, e $C$ é um acontecimento incompatível com $A$ e com $B$. Conhecem-se as seguintes probabilidades: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ e $P(C) = 0,1$. Calcule justificadamente:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$

1. b) $P((A \cap B) \cup C)$

1. c) $P(\bar{A} | \bar{B})$

Num exame de acesso ao ensino superior, $75\%$ dos estudantes têm aprovação a Matemática ($M$) e $60\%$ têm aprovação a História ($H$). Sabe-se que $10\%$ dos alunos não têm aprovação a nenhuma das duas disciplinas.

1. a) Calcule a probabilidade de um aluno aprovar ambas as disciplinas.

1. b) Sabendo que um aluno teve aprovação a História, qual é a probabilidade de ter tido também aprovação a Matemática?

1. c) Qual é a probabilidade de um aluno ter aprovação a Matemática, mas não a História? Explique a relação entre este resultado e a diferença de acontecimentos $P(M - H)$.

Um departamento de controlo de qualidade inspeciona peças numa fábrica têxtil antes da sua distribuição. Avaliam-se dois defeitos independentes na sua origem: defeito no tecido ($A$) e defeito no tingimento ($B$). Os registos da fábrica indicam que $P(A) = 0,70$ e que $P(B) = 0,55$.

1. a) Demonstra rigorosamente, apoiando-te nos axiomas de Kolmogorov, porque é impossível que os acontecimentos $A$ e $B$ sejam incompatíveis nesta produção.

1. b) Problema inverso: Determina fundamentadamente o intervalo de valores admissíveis $[k_{\min}, k_{\max}]$ para a probabilidade da interseção $k = P(A \cap B)$ de modo que a atribuição de probabilidades continue a ser matematicamente coerente.

1. c) Para cada um dos dois extremos do referido intervalo ($k_{\min}$ e $k_{\max}$), calcula a probabilidade de uma peça resultar completamente perfeita ($P(\overline{A} \cap \overline{B})$) e interpreta o que acontece na cadeia de confeção em cada um desses casos limite.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) estuda a situação formativa e laboral da população jovem em Portugal através de dois acontecimentos: $E$ («a pessoa frequenta estudos regulamentados») e $T$ («a pessoa tem um emprego remunerado»). Dispõe-se dos seguintes dados: a probabilidade de frequentar estudos é $P(E) = 0,60$, a probabilidade de ter emprego é $P(T) = 0,40$, e a proporção de jovens que não estudam nem trabalham (acontecimento $\overline{E} \cap \overline{T}$) é de $0,15$.

1. a) Demonstra, mediante as propriedades da probabilidade, que $P(E \cup T) = P(E) + P(T \cap \overline{E})$, decompondo a reunião em acontecimentos disjuntos. A partir dessa relação e dos dados do problema, deduz o valor exato de $P(E \cap T)$ e o de $P(T \cap \overline{E})$.

1. b) Um relatório ministerial de juventude projeta um cenário no qual se mantivesse fixa a taxa de estudantes em $P(E) = 0,60$, mas se conseguisse reduzir a taxa de jovens sem qualquer ocupação para $P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,08$. Se nesse novo cenário se exigisse que nenhum estudante acumulasse os estudos com o trabalho ($E$ e $T$ incompatíveis), fundamenta mediante os axiomas de probabilidade se tal situação seria possível ou se a proposta encerra uma contradição matemática.