Exercícios: Regra de Laplace

Numa partida de um jogo de RPG, um jogador lança um dado de oito faces (octaedro) numeradas de $1$ a $8$. Se o dado estiver perfeitamente equilibrado, calcule as seguintes probabilidades utilizando a Regra de Laplace:

1. a) Obter um número par.
2. b) Obter um número maior do que $5$.
3. c) Obter um número primo.

De um baralho espanhol de $40$ cartas extrai-se uma carta ao acaso. O baralho tem $4$ naipes (ouros, copas, espadas e paus) com $10$ cartas cada um: do $1$ (ás) ao $7$, mais o valete (S), o cavalo (C) e o rei (R). Determina a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) Que a carta seja um ás.

1. b) Que seja uma copa.

1. c) Que seja o rei de ouros.

Numa gaveta há $10$ meias pretas, $6$ meias azuis e $4$ meias brancas, todas soltas. Se escolhermos uma ao acaso para ir à aula, calcule:

1. a) A probabilidade de que seja azul.
2. b) A probabilidade de que não seja branca.
3. c) A probabilidade de que seja preta ou branca.

Um grupo de alunos do 12.º ano organiza uma rifa para a viagem de finalistas. Venderam bilhetes numerados de $1$ a $100$. Se o sorteio for realizado extraindo um número ao acaso, determine a probabilidade de o número premiado:

1. a) Ser um múltiplo de $10$.
2. b) Terminar no algarismo $7$.
3. c) Ser um número menor que $15$.

Numa turma há $30$ alunos, dos quais $18$ são raparigas e $12$ são rapazes. Sabe-se que $10$ raparigas e $8$ rapazes gostam do podcast de matemática "Derivando". Se organizares os dados numa tabela de contingência (raparigas/rapazes versus gosta/não gosta) e escolheres um aluno ao acaso, calcula a probabilidade de que:

1. a) Seja um rapaz.

1. b) Seja uma rapariga que goste do podcast.

1. c) Seja uma pessoa que não goste do podcast.

Utiliza-se uma roleta dividida em $12$ setores iguais, numerados de $1$ a $12$. Calcule a probabilidade de, ao rodar a roleta, a seta parar em:

1. a) Um número divisível por $3$.
2. b) Um número que seja quadrado perfeito (como $1, 4, 9$).
3. c) Um número maior do que $2$ e menor do que $7$.

Se escolhermos ao acaso uma letra da palavra ESTATÍSTICA, determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) A letra ser uma vogal.
2. b) A letra ser a letra S.
3. c) A letra ser uma consoante.

Lançamos simultaneamente duas moedas equilibradas ao ar.

1. a) Escreve o espaço de resultados da experiência.
2. b) Qual é a probabilidade de obter exatamente uma cara?
3. c) Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma coroa?

O Hugo quer calcular a probabilidade de, ao lançar simultaneamente três moedas equilibradas de $1$ euro, se obterem exatamente duas caras e uma coroa. O Hugo raciocina da seguinte forma: «Ao lançar três moedas, o número total de caras obtidas só pode ser $0$, $1$, $2$ ou $3$. Portanto, o espaço de resultados tem $4$ resultados possíveis. Como o acontecimento "obter duas caras" é um desses quatro resultados, aplicando a Regra de Laplace a probabilidade é $P = \frac{1}{4} = 0,25$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Hugo, fazendo referência explícita à condição indispensável que a Regra de Laplace exige sobre os acontecimentos elementares.
2. b) Escreve o espaço de resultados correto formado por acontecimentos equiprováveis e calcula o valor real da probabilidade de obter exatamente duas caras.
3. c) Calcula a probabilidade de obter pelo menos duas caras.

Uma urna opaca utilizada num sorteio para atribuir vagas de atividades extracurriculares contém unicamente rifas azuis e rifas vermelhas. No total há $50$ rifas idênticas ao tato. Sabe-se que, se se extrair uma rifa ao acaso, a probabilidade de ser azul é exatamente $0,36$.

1. a) Determina quantas rifas de cada cor há inicialmente na urna, justificando o cálculo através da Regra de Laplace.
2. b) Formula uma equação e calcula quantas rifas azuis adicionais se devem introduzir na urna, sem retirar nenhuma das existentes, para que a probabilidade de a rifa extraída ao acaso ser azul seja exatamente $0,60$.

Num festival de jogos de tabuleiro, utilizam-se dois dados cúbicos equilibrados (com faces de 1 a 6). Um jogador lança ambos os dados ao mesmo tempo. A tabela mostra a soma das pontuações para cada resultado possível (linhas: dado 1; colunas: dado 2).

Calcula a probabilidade de que a soma das pontuações obtidas seja um número primo maior do que $5$.

De um baralho de $40$ cartas extraem-se duas cartas simultaneamente (o que equivale a extrair uma após a outra sem reposição). Calcule a probabilidade de que:

• a) Ambas as cartas sejam do mesmo naipe.

• b) Pelo menos uma das cartas seja um Ás.

Numa urna de vidro para um sorteio de uma loja de tecnologia há $12$ bolas brancas e $8$ bolas pretas. Extraem-se três bolas ao acaso, uma a uma e sem reposição. Aplicando a regra de Laplace sobre o espaço de resultados de acontecimentos elementares equiprováveis, determine a probabilidade de as três bolas extraídas serem da mesma cor.

Foi realizada uma pesquisa em uma escola sobre o uso de redes sociais. Dos $100$ estudantes do 2º ano do Ensino Médio, sabe-se que $65$ usam TikTok, $40$ usam Instagram e $15$ não usam nenhuma das duas aplicações. Se selecionarmos um estudante ao acaso, calcule a probabilidade de que:

• a) Use ambas as redes sociais.

• b) Use TikTok, mas não Instagram.

Um videojogo de pontaria consiste em lançar um dardo virtual num alvo quadrado de $20\text{ cm}$ de lado que tem inscrito um círculo de cor laranja. O programa garante que o dardo acerta sempre nalgum ponto do quadrado de forma aleatória (equiprovável). Calcule a probabilidade de o dardo acertar fora do círculo laranja. (Considere $\pi \approx 3,14$).

Um grupo de $5$ amigos (Ana, Bruno, Clara, David e Elena) vai posar em fila para uma fotografia de finalistas. Se se posicionarem de forma aleatória, calcule a probabilidade de a Ana e a Elena aparecerem juntas na fotografia.

Para entrar numa aplicação de banco online, gera-se um código PIN aleatório de $4$ algarismos (do $0$ ao $9$). Calcule a probabilidade de o código atribuído cumprir as seguintes condições:

• a) Todos os seus algarismos sejam distintos.

• b) Seja um número capicua (lê-se da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

Num globo de lotaria há $10$ bolas numeradas de $0$ a $9$. Extraem-se duas bolas sucessivamente com reposição (devolve-se a primeira antes de tirar a segunda). Calcule a probabilidade de o número formado por ambos os algarismos (considerando o primeiro como dezenas e o segundo como unidades) ser um múltiplo de $4$ ou um número maior que $75$.

Numa faculdade universitária de Ciências Sociais foram recebidas $10$ candidaturas de estudantes para realizar uma estadia de intercâmbio Erasmus: $7$ frequentam a Licenciatura em Gestão e Administração de Empresas (ADE) e $3$ frequentam a Licenciatura em Relações Internacionais. Como os processos académicos são idênticos, a direção decide atribuir as $4$ vagas disponíveis por sorteio, selecionando ao acaso e de forma simultânea $4$ dos $10$ candidatos.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo analítico, estima se a probabilidade de as $4$ vagas recaírem exclusivamente em estudantes de ADE é menor do que $0,15$, está entre $0,15$ e $0,35$, ou é superior a $0,35$. Justifica brevemente a tua previsão intuitiva tendo em conta que $70\,\%$ dos candidatos pertencem a ADE.
2. b) Aplica a Regra de Laplace recorrendo a combinações para calcular o valor exato dessa probabilidade.
3. c) Compara a tua estimativa prévia com o resultado exato obtido. A partir deste cálculo, deduz a probabilidade de a delegação selecionada contar com pelo menos um estudante de Relações Internacionais.

De acordo com os registos da empresa ferroviária, um comboio suburbano procedente de Santarém chega à estação de Lisboa-Oriente num instante aleatório distribuído de forma uniforme entre as 8:00 e as 8:20 da manhã. Uma utilizadora precisa de fazer transbordo para outro comboio com destino a Sete Rios que parte de Lisboa-Oriente num instante, também aleatório e uniforme, compreendido entre as 8:15 e as 8:35. Para se deslocar a pé entre plataformas e aceder ao novo comboio antes de fecharem as portas, a utilizadora necessita obrigatoriamente de uma margem de tempo mínima de $10$ minutos entre a chegada do seu primeiro comboio e a partida do segundo.

Modela a situação através da versão contínua da Regra de Laplace (probabilidade geométrica):

1. a) Define as variáveis $x$ e $y$ (minutos decorridos desde as 8:00 para a chegada do primeiro comboio e a partida do segundo, respetivamente), descreve algebricamente o espaço de resultados bidimensional e calcula a sua área total.
2. b) Escreve a desigualdade que descreve a condição temporal que se deve cumprir para que a utilizadora consiga o transbordo com sucesso e determina a área da região favorável no plano.
3. c) Calcula a probabilidade de a utilizadora conseguir realizar o transbordo a tempo e interpreta o resultado.

Num clube de desportos eletrónicos (eSports), vai-se selecionar uma equipa de 5 jogadores para um torneio nacional. No processo de seleção apresentaram-se 15 candidatos: 8 especialistas em estratégia e 7 especialistas em reflexos. O regulamento do torneio exige que a equipa tenha, pelo menos, 3 especialistas em estratégia e, no mínimo, 1 especialista em reflexos. Se a direção escolher os 5 elementos ao acaso entre todos os candidatos, calcule a probabilidade de a equipa cumprir estritamente o regulamento.

Uma aplicação de design gráfico gera um padrão aleatório colocando um ponto $P$ dentro de um círculo de raio $R = 10 \text{ cm}$. No centro do círculo encontra-se inscrito um quadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. O algoritmo da aplicação considera um "acerto visual" se o ponto $P$ cair dentro do quadrado ou na região do círculo que fica acima do diâmetro horizontal, mas fora do quadrado. Utilizando o conceito de probabilidade geométrica (extensão da Regra de Laplace para áreas), calcule a probabilidade de obter um "acerto visual" numa tentativa.

Extraem-se, de forma simultânea, 3 cartas de um baralho de 40 cartas. Calcule a probabilidade de a soma dos valores das três cartas ser exatamente 10. (Para este exercício, considere que as figuras: valete, cavalo e rei, têm valores de 8, 9 e 10, respetivamente, e o ás vale 1).

Um sistema de segurança informática requer uma palavra-passe de 6 caracteres. O utilizador deve escolher estes caracteres do conjunto formado pelas 26 letras minúsculas do alfabeto e pelos dígitos de 0 a 9. Se o sistema gerar automaticamente uma palavra-passe ao acaso, qual é a probabilidade de conter exatamente 2 dígitos, 4 letras e que, além disso, não se repita nenhum caráter?

Lançamos três dados não viciados de seis faces (numeradas de 1 a 6) e anotamos os resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcule a probabilidade de o produto dos três números obtidos ser um quadrado perfeito (por exemplo: $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 = 2^2$).

Em um jantar de formatura do 2º ano do Ensino Médio, sentam-se 8 amigos em uma mesa circular. Entre eles estão um casal, Alicia e Bruno, que discutiram e não querem se sentar juntos, e outros dois amigos, Nerea e Thiago, que são inseparáveis e devem se sentar obrigatoriamente um ao lado do outro. Se os assentos forem atribuídos de forma totalmente aleatória, calcule a probabilidade de serem atendidos simultaneamente os desejos dos quatro amigos.

Realiza-se um estudo sobre os hábitos de consumo de conteúdos via streaming entre os jovens de uma cidade. Sabe-se que:

• $65\%$ têm subscrição da plataforma N.

• $50\%$ têm subscrição da plataforma D.

• $45\%$ têm subscrição da plataforma H.

• $30\%$ estão subscritos a N e D.

• $25\%$ estão subscritos a N e H.

• $20\%$ estão subscritos a D e H.

• $10\%$ estão subscritos às três plataformas.

Se se escolher um jovem ao acaso, calcula a probabilidade de que esteja subscrito apenas a uma das três plataformas.

Como ajuda, no diagrama de Venn só se anotou a região das três plataformas; completa tu as restantes regiões.

Utilizando as letras da palavra $ALGORITMO$, formam-se todas as permutações possíveis. Se se escolher uma destas ordenações ao acaso, calcula a probabilidade de a palavra resultante começar e terminar por consoante, e de que além disso todas as vogais apareçam juntas nalgum ponto da sequência.

Num concurso público para ingressar no corpo de inspetores da Administração Pública em Portugal, um júri examina oralmente os candidatos sorteando ao acaso $3$ temas distintos de um programa oficial de $25$ temas. Uma candidata preparou a fundo $20$ temas e não conseguiu estudar os $5$ restantes. Pretende-se calcular a probabilidade de a candidata ter de enfrentar pelo menos um tema que não preparou.

Durante uma sessão de estudo surgem três posições entre os candidatos:

• O Daniel afirma: «Como os temas são extraídos um a um de um saco, é obrigatório ter em conta a ordem de extração e utilizar arranjos sem repetição, tanto nos casos favoráveis como nos possíveis. Trabalhar com combinações é incorreto porque ignora a ordem física do sorteio».

• A Leonor propõe calcular a probabilidade através de combinações somando os casos de três situações incompatíveis: sair exatamente um tema não preparado, dois não preparados ou os três não preparados.

• O Tomás propõe calcular primeiro a probabilidade do acontecimento complementar («os três temas extraídos são dos que a candidata estudou») através de combinações e subtrair o valor obtido à unidade.

1. a) Analisa criticamente a objeção do Daniel: é necessário ter em conta a ordem para aplicar a Regra de Laplace em extrações sucessivas sem reposição? Justifica algebricamente por que razão a abordagem com combinações e a abordagem com arranjos conduzem exatamente ao mesmo resultado, apoiando-te no princípio de coerência de critério.
2. b) Compara as estratégias da Leonor e do Tomás. Justifica qual dos dois métodos é preferível tendo em conta a eficiência de cálculo e a probabilidade de cometer erros.
3. c) Aplica o método mais eficiente para determinar a probabilidade exata de a candidata ter de expor pelo menos um tema não preparado.

A assembleia geral de uma cooperativa olivícola de Moura deve renovar a sua comissão delegada elegendo ao acaso $3$ membros de entre um grupo fechado de $10$ candidaturas. Entre os candidatos há $k$ produtores de olival tradicional e $10 - k$ produtores de olival intensivo (com $k \ge 3$). A eleição realiza-se extraindo simultaneamente $3$ votos de uma urna.

Sabe-se que, após aplicar a Regra de Laplace, a probabilidade de a comissão delegada contar com pelo menos um representante do olival intensivo é exatamente igual a $\frac{5}{6}$.

1. a) Formula uma equação combinatória que permita encontrar o valor de $k$, recorrendo à análise do acontecimento complementar e ao uso de combinações.
2. b) Resolve a equação anterior de forma fundamentada e determina quantos candidatos de cada modalidade de cultivo se apresentaram à eleição.
3. c) Supõe que, antes da votação, se altera o regulamento para que a comissão delegada passe a ter $5$ membros em vez de $3$ (mantendo-se o mesmo grupo de $10$ candidatos com o valor de $k$ obtido). Calcula a probabilidade de na nova comissão os produtores de olival intensivo alcançarem a maioria absoluta (isto é, pelo menos $3$ dos $5$ lugares).