Exercícios: Probabilidade condicional

Em uma turma do 2º ano do Ensino Médio realizou-se uma pesquisa sobre o uso de óculos e o gênero dos estudantes. Os resultados são mostrados na seguinte tabela de contingência:

Se selecionarmos um aluno ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de ser um rapaz, sabendo que usa óculos.
2. b) A probabilidade de usar óculos, sabendo que é uma rapariga.

Numa biblioteca municipal, sabe-se que a probabilidade de um sócio requisitar um romance é $P(N) = 0,6$ e a probabilidade de requisitar uma banda desenhada é $P(C) = 0,4$. Além disso, a probabilidade de requisitar ambos é $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcule a probabilidade de um sócio requisitar uma banda desenhada, sabendo que já requisitou um romance.

Um analista de redes sociais estuda o comportamento dos adolescentes em duas aplicações: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Os dados indicam que:

• $70 \%$ dos jovens usam o TikTok.

• $50 \%$ usam o Instagram.

• A probabilidade de um jovem usar o Instagram sabendo que usa o TikTok é $0,4$.

Calcule a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso utilizar ambas as aplicações ($P(T \cap I)$) e raciocine se os acontecimentos são independentes.

Num estojo há 5 marcadores fluorescentes: 3 são de cor amarela e 2 são de cor rosa. Retiramos dois marcadores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro ao estojo).

Representa a situação através de um diagrama em árvore e calcula a probabilidade de que o segundo marcador retirado seja rosa, sabendo que o primeiro foi amarelo.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que a probabilidade de $A$ é $P(A) = 0,5$, a de $B$ é $P(B) = 0,3$ e a probabilidade da sua união é $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir do seguinte diagrama de Venn, identifique a região sombreada e calcule $P(A|B)$.

Numa liga escolar de basquetebol, $40 \%$ dos participantes são jogadores experientes ($E$) e os restantes são iniciantes ($P$). Sabe-se que $80 \%$ dos experientes chegam à final ($F$), enquanto apenas $20 \%$ dos iniciantes conseguem isso.

Se escolhermos um participante ao acaso e soubermos que é iniciante, qual é a probabilidade de que chegue à final? Exprime o resultado utilizando a notação de probabilidade condicionada.

Realizou-se um estudo sobre os hábitos de leitura de um grupo de alunos. A probabilidade de um aluno ler jornal digital é $P(L) = 0,45$. A probabilidade de ler jornal digital e também ouvir podcasts de notícias é $P(L \cap S) = 0,18$.

Determine a probabilidade de um aluno ouvir podcasts de notícias, sabendo que é leitor de jornal digital.

Numa loja de artigos de desporto, $60 \%$ das vendas são ténis de corrida ($Z$) e $40 \%$ são ténis de basquetebol ($B$). $20 \%$ dos compradores de ténis de corrida também adquire meias técnicas ($C$).

Se um cliente comprou ténis de corrida, qual é a probabilidade de não ter comprado meias técnicas? (Lembra-te da propriedade do acontecimento contrário na probabilidade condicionada).

Numa escola secundária realizou-se um inquérito sobre atividades extracurriculares. Os dados indicam que $45\,\%$ dos alunos pratica desporto com regularidade ($D$), $30\,\%$ frequenta ateliês artísticos ($A$) e $15\,\%$ participa em ambas as atividades. A Lucía, uma aluna do 2.º ano de Bacharelato, quer calcular a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso participar em ateliês artísticos sabendo que pratica desporto ($P(A|D)$), e escreve no seu caderno o seguinte:

«Como há $15\,\%$ de alunos que fazem ambas as coisas em relação ao total, temos que $P(A|D) = 0,15$. Além disso, a probabilidade de praticar desporto sabendo que frequenta arte é exatamente a mesma, $P(D|A) = 0,15$, porque a interseção é comutativa ($A \cap D = D \cap A$)».

1. a) Aponta com precisão os dois erros conceptuais cometidos pela Beatriz e explica por que razão o seu raciocínio contradiz a ideia de «redução do espaço de resultados» própria da probabilidade condicionada.
2. b) Corrige o raciocínio e calcula de forma fundamentada os valores corretos de $P(A|D)$ e de $P(D|A)$.

Numa academia de línguas que prepara para a certificação oficial do nível B2 de inglês, $70\,\%$ dos alunos matriculados assistem regularmente a aulas presenciais ($C$), enquanto os $30\,\%$ restantes se preparam de forma autodidata ($\overline{C}$). De acordo com o histórico de exames da academia, aprova no exame oficial $80\,\%$ dos que vão a aulas presenciais, mas apenas $40\,\%$ dos que estudam por conta própria.

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo analítico, faz uma estimativa fundamentada: se soubermos que um estudante qualquer aprovou no exame ($A$), a probabilidade de pertencer ao grupo de frequência presencial, $P(C|A)$, deveria ser maior, menor ou igual aos $70\,\%$ iniciais? Justifica de forma intuitiva a tua estimativa.
2. b) Modela a situação através do cálculo de probabilidades compostas para obteres formalmente o valor exato de $P(C|A)$. Em seguida, compara o resultado com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a informação a posteriori modifica a certeza que tínhamos sobre o acontecimento inicial.

Num inquérito realizado a 200 alunos de uma escola sobre a utilização de redes sociais, observou-se que 120 utilizam o TikTok, 100 utilizam o Instagram e 60 utilizam ambas as plataformas. Se selecionarmos um aluno ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de utilizar o Instagram sabendo que utiliza o TikTok.
2. b) A probabilidade de não utilizar o TikTok sabendo que utiliza o Instagram.
3. c) Os acontecimentos "ser utilizador do TikTok" e "ser utilizador do Instagram" são independentes? Justifique a resposta matematicamente.

Uma marca de roupa urbana fabrica as suas camisolas de capuz em duas oficinas diferentes. A oficina $A$ produz $60\%$ das peças e a oficina $B$ o restante. Sabe-se que $5\%$ das camisolas de capuz da oficina $A$ têm algum defeito de costura, enquanto na oficina $B$ a percentagem de defeitos é de $8\%$. Escolhe-se uma camisola de capuz ao acaso na loja e verifica-se que é defeituosa. Calcule a probabilidade de ter sido fabricada na oficina $A$.

Um estudante do 2º ano do Ensino Médio preparou 18 dos 25 tópicos dos quais consta o exame final de História. O exame consiste em escolher ao acaso dois tópicos do total e desenvolver um deles.

1. a) Calcule a probabilidade de o aluno saber os dois tópicos sorteados.
2. b) Calcule a probabilidade de o aluno ter aprovação no exame (ou seja, saber pelo menos um dos dois tópicos).

Num clube de leitura, $70\%$ dos sócios leem romances de mistério e $45\%$ lê ensaios. Além disso, sabe-se que $30\%$ dos sócios leem ambos os tipos de livros. Se selecionarmos um sócio que sabemos que não lê ensaios, qual é a probabilidade de que leia romances de mistério?

Um centro de treino desportivo classifica os seus atletas de acordo com a dieta (Equilibrada ou Deficiente) e o rendimento no último trimestre (Alto ou Baixo). Os dados estão reunidos na seguinte tabela de contingência:

Calcule:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determine se ter uma dieta equilibrada e ter um rendimento alto são acontecimentos independentes.

Um teste de deteção de uma doença rara, que afeta $1\%$ da população, dá positivo em $96\%$ dos doentes (sensibilidade). No entanto, também dá um "falso positivo" em $2\%$ das pessoas saudáveis.

1. a) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso dar positivo no teste.
2. b) Se o teste de uma pessoa deu positivo, qual é a probabilidade real de que esteja doente?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcule $P(A | B)$.
2. b) Calcule $P(B | \bar{A})$.
3. c) $A$ e $B$ são acontecimentos incompatíveis? São independentes?

Numa prova de atletismo de estafetas, a primeira atleta tem uma probabilidade de completar o seu percurso sem penalização de $0,8$. A segunda atleta, de forma independente da primeira, tem uma probabilidade de $0,7$.

1. a) Qual é a probabilidade de ambas completarem o seu percurso sem penalização?
2. b) Sabendo que pelo menos uma das duas completou o seu percurso sem penalização, qual é a probabilidade de a primeira o ter conseguido?

A partir de uma adaptação dos dados do Inquérito à População Ativa (EPA) do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre a população jovem espanhola dos 18 aos 29 anos, extraem-se as seguintes probabilidades relativas à situação laboral e residencial:

• A probabilidade de uma pessoa jovem estar emancipada (viver fora do agregado familiar) é $P(E) = 0,16$.

• A probabilidade de ter um contrato de trabalho sem termo é $P(I) = 0,45$.

• A probabilidade de não estar emancipada e, ao mesmo tempo, não dispor de contrato sem termo ascende a $51\,\%$ ($P(\overline{E} \cap \overline{I}) = 0,51$).

1. a) Utiliza as leis de De Morgan para calcular a probabilidade de uma pessoa jovem estar emancipada, ter contrato sem termo ou ambas as coisas ($P(E \cup I)$).
2. b) Deduz a probabilidade de uma pessoa jovem selecionada ao acaso cumprir simultaneamente ambas as condições: estar emancipada e ter contrato sem termo ($P(E \cap I)$).
3. c) Se for escolhida ao acaso uma pessoa jovem que disponha de contrato sem termo, calcula a probabilidade condicionada de estar emancipada, $P(E|I)$. Interpreta o resultado obtido comparando-o com a probabilidade marginal $P(E)$ e conclui se dispor de contrato sem termo favorece ou não a emancipação jovem.

Uma plataforma de venda online distribui as suas encomendas através de duas modalidades de entrega: «Envio Normal» ($S$) e «Envio Urgente» ($U$). $60\,\%$ das compras são geridas mediante envio normal e $40\,\%$ mediante envio urgente. Uma encomenda pode sofrer atrasos na entrega ($R$). Sabe-se pelos registos do operador logístico que, entre os envios urgentes, a probabilidade de sofrer um atraso é de apenas $P(R|U) = 0,02$.

O departamento de controlo de qualidade fixou como objetivo prioritário que, de entre todos os envios que cheguem com atraso aos clientes, a probabilidade de corresponderem à modalidade urgente não ultrapasse os $10\,\%$ (ou seja, exige que $P(U|R) = 0,10$).

Determina qual deve ser a taxa máxima admissível de atraso nos envios normais, isto é, o valor da probabilidade condicionada $P(R|S)$, para que a empresa cumpra exatamente o padrão de qualidade fixado.

Num ginásio, $60 \%$ dos alunos têm uma mensalidade "Mensal" ($S_1$) e os restantes uma mensalidade "Anual" ($S_2$). Sabe-se que $15 \%$ dos alunos com mensalidade mensal cancelam antes de terminar o primeiro mês, enquanto entre os alunos com mensalidade anual apenas $5 \%$ cancela nesse período.

Se selecionarmos um aluno ao acaso que cancelou a inscrição antes do primeiro mês, calcule a probabilidade de que tivesse contratado a mensalidade mensal.

Dispomos de duas urnas opacas. A urna $U_A$ contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. A urna $U_B$ contém 5 bolas brancas e 3 pretas. A experiência consiste em extrair uma bola da urna $U_A$ e, sem olhar para a sua cor, introduzi-la na urna $U_B$. Em seguida, extraem-se duas bolas simultaneamente da urna $U_B$.

Se as duas bolas extraídas da segunda urna forem brancas, qual é a probabilidade de a bola transferida da primeira urna ter sido preta? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Um estudo sobre hábitos digitais em adolescentes revela que $70 \%$ dos estudantes de uma escola utilizam uma rede social de microblogging ($M$). Sabe-se que $40 \%$ dos utilizadores dessa rede sofreram fadiga digital ($F$), enquanto, entre os que não a usam, a percentagem de fadiga digital se reduz a $10 \%$.

O seguinte diagrama de árvore reúne estes dados em cada ramo:

Calcula as seguintes probabilidades:

1. a) Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido ao acaso não use a rede social e não tenha fadiga digital?

1. b) Se um estudante afirma ter fadiga digital, qual é a probabilidade de que não seja utilizador dessa rede social?

1. c) Os acontecimentos «ser utilizador da rede social» e «ter fadiga digital» são independentes? Justifica a resposta matematicamente.

Uma fábrica de componentes para smartphones utiliza três máquinas, $A$, $B$ e $C$, para produzir uma peça específica. A máquina $A$ produz $45 \%$ do total, a $B$ produz $30 \%$ e a $C$ o restante. Foi detetado que $2 \%$ das peças de $A$ são defeituosas, $3 \%$ das de $B$ e $5 \%$ das de $C$.

Se uma peça for escolhida ao acaso e for defeituosa, determine de forma fundamentada qual a máquina que é mais provável que a tenha fabricado. Para isso, calcule as três probabilidades a posteriori utilizando o Teorema de Bayes.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de um espaço de resultados tais que conhecemos $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ e $P(A|\overline{B}) = 0,8$, onde $\overline{B}$ representa o acontecimento complementar de $B$.

Utilizando as propriedades da álgebra de acontecimentos e a definição de probabilidade condicionada, calcule:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Sugestão: Estabeleça um sistema de equações utilizando as definições de probabilidade condicionada.

No processo de seleção para um programa de intercâmbio escolar, um estudante deve superar duas fases consecutivas. A probabilidade de superar a primeira fase é de $0,7$. Se superar a primeira, a probabilidade de superar a segunda é de $0,6$. Por outro lado, se não superar a primeira fase, tem uma oportunidade de repescagem em que a probabilidade de superar a segunda fase desce para $0,2$.

1. Calcule a probabilidade de o estudante superar a segunda fase.

2. Sabendo que o estudante superou a segunda fase, qual é a probabilidade de NÃO ter superado a primeira fase originalmente?

Um centro de saúde realiza um teste de deteção de uma intolerância alimentar que afeta $2 \%$ da população. O teste não é perfeito: dá positivo em $98 \%$ das pessoas que realmente sofrem da intolerância, mas também dá um "falso positivo" em $3 \%$ das pessoas saudáveis.

Se for realizado o teste a um adolescente e o resultado for positivo:

1. Qual é a probabilidade de que ele seja realmente intolerante?

2. Interprete o resultado obtido em relação à eficácia do teste para realizar diagnósticos em massa em populações onde a prevalência da doença é muito baixa.

Em uma turma de 2º ano do Ensino Médio, $60 \%$ dos alunos são mulheres. Sabe-se que $80 \%$ das mulheres foi aprovada no último exame de matemática, enquanto a porcentagem de aprovados entre os homens foi de $x \%$.

Se a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso na turma ter sido aprovada no exame for de $0,74$, calcule o valor de $x$ (percentagem de aprovados entre os rapazes). Posteriormente, calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser rapaz, sabendo que foi reprovada no exame.

Numa investigação sociossanitária sobre uma infeção respiratória sazonal numa população de 1000 pessoas, dispõe-se da seguinte informação clínica:

• 200 pessoas apresentam sintomas compatíveis com a infeção ($S$) e as restantes são assintomáticas ($\overline{S}$).

• $75\,\%$ das pessoas com sintomas tem resultado positivo num teste rápido de diagnóstico ($T$).

• Entre as pessoas assintomáticas, $10\,\%$ tem resultado positivo no teste (falso positivo).

A equipa médica necessita de determinar a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso que teve resultado positivo no teste ser realmente uma pessoa assintomática, ou seja, $P(\overline{S}|T)$.

1. a) Propõe a resolução desta situação através de duas estratégias metodológicas distintas:

• Método 1: Construção de um diagrama de árvore probabilístico e aplicação rigorosa das fórmulas axiomáticas de probabilidade condicionada e interseção.

• Método 2: Elaboração de uma tabela de contingência de frequências absolutas distribuindo as 1000 pessoas pelas células correspondentes.

1. b) Executa ambos os métodos até obteres o valor de $P(\overline{S}|T)$ e verifica que conduzem ao mesmo resultado numérico.
2. c) Realiza uma apreciação crítica comparando ambos os caminhos: qual dos dois métodos consideras mais pedagógico e menos propenso a erros de compreensão para transmitir este resultado a uma equipa de gestores públicos não familiarizados com a estatística formal? Justifica a tua resposta.

Numa região costeira, o Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) ativa o protocolo de «Aviso por temporal de chuva torrencial» ($A$) em $8\,\%$ dos dias de outono. Os registos históricos do observatório local indicam que efetivamente chove de forma torrencial ($L$) em $5\,\%$ dos dias de outono. Além disso, os dados revelam que a probabilidade de chover torrencialmente num dia em que foi ativado o aviso prévio é $P(L|A) = 0,50$.

1. a) Demonstra mediante a definição formal de acontecimentos independentes se a ativação do aviso ($A$) e a ocorrência real de chuva torrencial ($L$) são acontecimentos independentes. Explica o significado operacional que esta conclusão tem para os serviços de Proteção Civil.
2. b) Calcula a probabilidade de ter sido ativado o aviso meteorológico sabendo que num determinado dia não se registaram, afinal, chuvas torrenciais, isto é, $P(A|\overline{L})$.
3. c) Durante uma conferência de imprensa, um porta-voz da Câmara Municipal sustenta a seguinte crítica: «Dado que $P(L|A) = 0,50$, o sistema de avisos do IPMA falha metade das vezes; por conseguinte, o aviso carece totalmente de utilidade informativa». Refuta matematicamente esta afirmação comparando a probabilidade condicionada com a probabilidade a priori de chuva torrencial sem aviso, e reflete sobre o custo assimétrico dos dois tipos de erros possíveis (falso alarme versus temporal imprevisto).