Exercícios: Teorema de Bayes

Numa plataforma de streaming, $60\,\%$ das séries são de produção própria, enquanto as restantes são de produtoras externas. Sabe-se que $15\,\%$ das séries de produção própria são do género de ficção científica, enquanto nas externas essa percentagem sobe para $25\,\%$. Se escolhermos uma série ao acaso e ela for de ficção científica, qual é a probabilidade de ser uma produção própria da plataforma?

Uma marca de ténis fabrica os seus modelos em duas fábricas diferentes: $70\,\%$ na fábrica $A$ e $30\,\%$ na fábrica $B$. O controlo de qualidade detetou que $2\,\%$ dos ténis da fábrica $A$ têm algum defeito de costura, enquanto na fábrica $B$ os defeitos aparecem em $5\,\%$ da produção. Um cliente compra um ténis e descobre que tem um defeito de costura. Calcule a probabilidade de ter sido fabricado na fábrica $B$.

Numa escola, $40\,\%$ dos alunos do 12.º ano são da opção de Ciências e $60\,\%$ de Ciências Sociais. Observou-se que aprovam na disciplina de Inglês $85\,\%$ dos alunos de Ciências e $90\,\%$ dos de Ciências Sociais. Se escolhermos um aluno ao acaso que sabemos ter sido aprovado em Inglês, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade de Ciências?

Um influencer distribui as suas publicações entre duas redes sociais: Instagram ($75\,\%$) e TikTok ($25\,\%$). Sabe-se que $40\,\%$ das suas fotos no Instagram recebem mais de 10 000 "gostos", enquanto no TikTok apenas $20\,\%$ dos seus vídeos ultrapassam esse número. Se recebermos uma notificação de que uma das suas publicações ultrapassou os 10 000 "gostos", que probabilidade há de ser um vídeo do TikTok?

Um filtro de correio eletrónico classifica automaticamente as mensagens como spam. O filtro marca corretamente como spam $98\,\%$ dos e-mails que realmente o são. No entanto, também envia para a pasta de spam $4\,\%$ dos e-mails legítimos. Estima-se que $10\,\%$ do e-mail que chega a uma caixa de entrada seja spam. Se um e-mail escolhido ao acaso tiver sido marcado como spam, calcule a probabilidade de realmente o ser.

Uma loja de jogos eletrónicos vende consolas de duas marcas: "N-Switch" e "PlayPro". $65\,\%$ das vendas são da PlayPro e o restante da N-Switch. O serviço técnico informa que $3\,\%$ das PlayPro são devolvidas por defeito de fabrico, enquanto nas N-Switch a percentagem de devolução é de $2\,\%$. Se um cliente devolver uma consola defeituosa, qual é a probabilidade de ser uma PlayPro?

Para chegar ao centro, um estudante pode ir de autocarro ($80\,\%$ das vezes) ou de bicicleta ($20\,\%$). Quando vai de autocarro, chega atrasado $10\,\%$ dos dias devido ao trânsito. Quando vai de bicicleta, só chega atrasado $5\,\%$ das vezes. Se um dia o estudante chega atrasado à aula, calcule a probabilidade de ter ido de autocarro.

Numa empresa de desenvolvimento de software, $70\,\%$ dos programadores utilizam a linguagem Python e $30\,\%$ utilizam Java. Estima-se que $10\,\%$ dos códigos escritos em Python contêm erros de sintaxe críticos, enquanto em Java essa percentagem é de $15\,\%$. Se for detetado um erro de sintaxe crítico num excerto de código, qual é a probabilidade de ele ter sido programado em Python?

Numa escola secundária, $40\,\%$ dos alunos do 12.º ano frequentam a área de Humanidades e Ciências Sociais e $60\,\%$ a de Ciências e Tecnologia. No exame nacional de acesso ao ensino superior, aprovam $85\,\%$ dos alunos de Ciências Sociais e $90\,\%$ dos de Ciências. Ao escolher ao acaso uma pessoa que foi aprovada nesse exame, pretende-se calcular a probabilidade de ser proveniente de Humanidades e Ciências Sociais.

O Mateo escreve no seu exame:

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pelo Mateo no denominador. Por que razão somar diretamente $0{,}85 + 0{,}90$ é incorreto do ponto de vista do teorema da probabilidade total?
2. b) Escreve a expressão correta segundo o teorema de Bayes e calcula o valor exato da probabilidade sob a forma de fração irredutível e arredondado a quatro casas decimais.

Numa grande cidade portuguesa, $70\,\%$ das pessoas que se deslocam diariamente para o trabalho utilizam o metro e $30\,\%$ o autocarro urbano. Os registos de mobilidade revelam que o metro sofre atrasos significativos em $10\,\%$ dos seus trajetos, enquanto o autocarro se atrasa em $40\,\%$ das ocasiões devido ao trânsito. Uma pessoa chega hoje com atraso ao seu local de trabalho.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico, estima de forma qualitativa e fundamentada: sabendo que o metro transporta mais do dobro dos passageiros do autocarro, mas o autocarro falha quatro vezes mais do que o metro, acreditas que a probabilidade de a pessoa atrasada ter viajado de autocarro será inferior, igual ou superior a $0{,}5$? Justifica a tua conjetura.
2. b) Aplica o teorema de Bayes para calcular a probabilidade exata de essa pessoa ter viajado de autocarro.
3. c) Compara o resultado numérico obtido com a tua estimativa inicial e avalia se confirma ou contradiz a tua intuição.

Num centro de saúde, está a ser realizado um estudo sobre a eficácia de um teste de diagnóstico para uma alergia alimentar que afeta $8\,\%$ da população juvenil. Os dados clínicos indicam que, se uma pessoa sofre da alergia, o teste dá positivo em $95\,\%$ dos casos. Por outro lado, se a pessoa não sofre da alergia, o teste dá um "falso positivo" (resultado positivo sem estar doente) em $4\,\%$ das ocasiões. Se for escolhido um jovem ao acaso e o seu resultado no teste for positivo, calcule a probabilidade de ele realmente sofrer de tal alergia.

Uma rede social utiliza um algoritmo de inteligência artificial para detetar comentários de ódio. Sabe-se que $5\,\%$ dos comentários publicados são realmente inadequados. O algoritmo identifica corretamente como "inadequado" $98\,\%$ dos comentários que realmente o são. No entanto, rotula erroneamente como "inadequado" $3\,\%$ dos comentários que são respeitosos. Se o sistema acabou de bloquear um comentário por o marcar como "inadequado", qual é a probabilidade de o comentário ser realmente respeitoso?

Uma empresa de logística de última milha distribui encomendas numa cidade utilizando três tipos de veículos: carrinhas elétricas ($60\,\%$), motociclos ($30\,\%$) e bicicletas de carga ($10\,\%$). A probabilidade de uma encomenda chegar com atraso é de $2\,\%$ se for entregue de carrinha, de $5\,\%$ se for de motociclo e de $8\,\%$ se for de bicicleta. Se um cliente telefonar para reclamar porque a sua encomenda chegou atrasada, qual é a probabilidade de o estafeta ter ido de bicicleta de carga?

Num curso preparatório para o exame de acesso ao ensino superior, $40\,\%$ dos alunos estão inscritos no grupo de Ciências, $35\,\%$ no de Ciências Sociais e $25\,\%$ no de Humanidades. No final do curso, foram aprovados no exame $92\,\%$ dos alunos de Ciências, $88\,\%$ dos de Ciências Sociais e $80\,\%$ dos de Humanidades. Escolhido ao acaso um aluno do centro, sabendo que foi aprovado no exame, calcule a probabilidade de pertencer ao grupo de Ciências Sociais.

Um fabricante de componentes eletrónicos para smartphones tem três linhas de produção: A, B e C. A linha A produz $45\,\%$ dos componentes, a B $30\,\%$ e a C $25\,\%$. Sabe-se que a probabilidade de um componente ser defeituoso é de $1\,\%$ na linha A, de $2\,\%$ na linha B e de $3\,\%$ na linha C. Se for selecionado um componente ao acaso e ele for defeituoso, determine justificadamente qual é a linha de produção mais provável de o ter fabricado.

Numa cidade, $70\,\%$ dos cidadãos utilizam uma aplicação móvel para pagar o transporte público, enquanto os restantes usam cartão físico. Observa-se que $15\,\%$ dos que usam a aplicação têm problemas de leitura no validador, contra $5\,\%$ dos que usam cartão físico. Se um validador emitir um sinal de erro de leitura, qual é a probabilidade de o utilizador estar a tentar pagar com a aplicação móvel?

Um centro de reciclagem processa embalagens que provêm de dois bairros da cidade, Norte e Sul. $60\,\%$ das embalagens provêm do bairro Norte. Na fábrica de processamento, deteta-se que $10\,\%$ das embalagens do Norte estão mal classificadas pelos cidadãos, enquanto no bairro Sul essa percentagem sobe para $15\,\%$. Se o operador do tapete rolante selecionar uma embalagem ao acaso e verificar que está corretamente classificada, qual é a probabilidade de provir do bairro Norte?

Uma equipa de e-sports joga os seus jogos de um torneio sob duas condições de rede: "Latência Baixa" ($P=0,75$) e "Latência Alta" ($P=0,25$). Quando a latência é baixa, a equipa vence $80\,\%$ dos seus confrontos. No entanto, se a latência for alta, a sua probabilidade de vitória desce para $40\,\%$. Sabendo que a equipa acabou de vencer um jogo, qual é a probabilidade de estar a jogar com latência alta?

De acordo com dados baseados em inquéritos do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre comércio eletrónico em Espanha, os métodos de pagamento habituais distribuem-se em: cartão bancário ($65\,\%$), plataformas ou carteiras digitais ($25\,\%$) e transferência ou cobrança ($10\,\%$). Os departamentos de segurança bancária estimam que se deteta alguma anomalia ou fraude em $1{,}2\,\%$ dos pagamentos com cartão, em $0{,}8\,\%$ das compras com carteira digital e em $3\,\%$ das operações por transferência ou cobrança.

1. a) Modela a situação através de um diagrama em árvore de probabilidades, definindo com clareza os acontecimentos e atribuindo a cada ramo a sua probabilidade correspondente.
2. b) Se o sistema de alerta intercetar uma transação fraudulenta, calcula a probabilidade de ter sido realizada através de cartão bancário.
3. c) A equipa antifraude dispõe de recursos limitados e só pode auditar a fundo o canal que acumule o maior volume absoluto de fraudes detetadas. Que método de pagamento devem priorizar? Justifica a resposta explicando por que motivo não precisas de recalcular o denominador completo para comparar as causas.

Uma central hortofrutícola da região de Valência processa laranjas provenientes apenas de duas cooperativas agrícolas, $A$ e $B$. A cooperativa $A$ fornece uma proporção $p$ dos lotes recebidos ($0 < p < 1$), enquanto a cooperativa $B$ fornece o restante ($1-p$). As inspeções fitossanitárias de controlo de qualidade determinam que $2\,\%$ dos lotes de $A$ e $5\,\%$ dos lotes de $B$ não cumprem o padrão exigido para a sua exportação para a União Europeia.

1. a) Sabendo que, ao selecionar ao acaso um lote que resultou não apto para a exportação, a probabilidade a posteriori de provir da cooperativa $A$ é exatamente igual a $\frac{4}{9}$, formula uma equação e calcula o valor da proporção $p$ do fornecimento total fornecida por essa cooperativa.
2. b) Raciocina e interpreta o resultado: como é possível que, tendo a cooperativa $A$ uma taxa de falhas percentual sensivelmente menor do que a de $B$ ($2\,\%$ face a $5\,\%$), a probabilidade de um lote defeituoso provir de $A$ atinja uma fração tão elevada como $\frac{4}{9}$?

Uma multinacional tecnológica utiliza três fornecedores diferentes para os microchips dos seus novos portáteis para gaming. O fornecedor $A$ fornece $45\%$ dos chips, o fornecedor $B$ $35\%$, e o restante provém do fornecedor $C$. Sabe-se por controlos de qualidade prévios que $1\%$ dos chips de $A$ são defeituosos, enquanto para $B$ e $C$ essas percentagens são de $2\%$ e $3\%$, respetivamente. Um utilizador compra um portátil e, após um mês de uso, sofre uma falha crítica devido ao microchip. Calcule a probabilidade de o chip defeituoso ter sido fornecido pelo fornecedor $B$.

O algoritmo de uma rede social classifica o conteúdo em três categorias: "Viral" ($15\%$), "Tendência" ($35\%$) e "Padrão" ($50\%$). A probabilidade de um utilizador parar o seu feed e ver um vídeo completo é de $80\%$ se for Viral, de $40\%$ se for Tendência e de apenas $10\%$ se for Padrão. Se observarmos que um utilizador acabou de ver um vídeo por completo, qual é a probabilidade de o algoritmo não o ter classificado originalmente como Viral?

Uma fábrica de peças de precisão utiliza uma máquina de visão computacional para controlar a qualidade da sua produção. Sabe-se que apenas $0,5\%$ das peças fabricadas apresenta algum defeito. A máquina deteta corretamente $96\%$ das peças defeituosas, mas também marca erroneamente como defeituosa $2\%$ das peças corretas. Se a máquina acabou de marcar uma peça como defeituosa, calcule a probabilidade de a peça estar realmente em perfeito estado.

Uma empresa de entregas utiliza carrinhas elétricas ($60\%$) e a combustão ($40\%$). Observou-se que $5\%$ dos trajetos realizados por carrinhas elétricas sofrem atrasos devido à necessidade de recarga intermédia, enquanto o atraso nas a combustão ocorre em $8\%$ dos casos por problemas de trânsito. Sabendo que uma encomenda chegou com atraso, determine a probabilidade de ter sido transportada por uma carrinha elétrica.

Três canais de streaming ($N$, $H$ e $D$) dividem o mercado de assinantes numa cidade nas proporções de $40\%$, $30\%$ e $30\%$, respetivamente. A probabilidade de um assinante de $N$ cancelar a sua assinatura este mês é de $0,05$; para $H$ é de $0,08$ e para $D$ é de $0,12$. Se escolhermos ao acaso um cidadão que acabou de cancelar a sua assinatura num desses canais, qual é a probabilidade de que fosse cliente de $D$?

Um sistema de segurança biométrica utiliza reconhecimento facial ou impressão digital. Em $70\%$ das vezes usa-se o rosto e em $30\%$ a impressão digital. O sistema falha ao identificar um utilizador autorizado em $2\%$ das vezes com o rosto e em $1\%$ com a impressão digital. Por outro lado, permite o acesso a um intruso em $0,5\%$ das vezes com o rosto e em $0,1\%$ com a impressão digital. Sabendo que o sistema negou o acesso a um utilizador autorizado, calcule a probabilidade de ele estar a tentar entrar por meio do reconhecimento facial.

Num estudo sobre hábitos de leitura em adolescentes, dividiu-se a amostra em três grupos segundo o tempo diário diante de ecrãs: Baixo ($20\%$), Médio ($50\%$) e Alto ($30\%$). A probabilidade de um jovem do grupo Baixo ler pelo menos um livro por mês é de $0,7$; para o grupo Médio é de $0,4$ e para o grupo Alto é de $0,15$. Se selecionarmos um adolescente ao acaso e ele afirmar não ter lido nenhum livro no último mês, calcule a probabilidade de ele pertencer ao grupo de utilização de ecrãs "Alto".

Uma fábrica tem duas máquinas, $M_1$ e $M_2$, que produzem a mesma peça. $M_1$ produz o triplo de peças de $M_2$. A percentagem de peças defeituosas de $M_1$ é de $k\%$ e a de $M_2$ é de $4\%$. Sabe-se que, se for escolhida uma peça ao acaso e ela for defeituosa, a probabilidade de ser proveniente da máquina $M_2$ é de $4/13$. Calcule o valor de $k$ e, em seguida, a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa.

Numa campanha de saúde no trabalho aplica-se um teste de rastreio para a deteção precoce de uma alteração metabólica assintomática cuja prevalência na população ativa é de apenas $0{,}5\,\%$. A sensibilidade do teste (probabilidade de dar positivo estando afetado) é de $98\,\%$, enquanto a taxa de falsos positivos (probabilidade de dar positivo não estando afetado) é de $2\,\%$. Uma trabalhadora obtém um resultado positivo no teste de rotina.

1. a) Calcula a probabilidade de a trabalhadora sofrer realmente da condição resolvendo o problema através de dois caminhos independentes:

• Caminho 1: Diagrama em árvore e formulação analítica do teorema de Bayes com probabilidades condicionadas.

• Caminho 2: Tabela de contingência baseada em frequências naturais, construída a partir de uma população hipotética de $10\,000$ trabalhadores representativos.

1. b) Compara ambos os métodos e argumenta qual deles se revela mais esclarecedor para explicar a um paciente não matemático por que razão um teste com $98\,\%$ de acerto gera uma probabilidade real de estar doente surpreendentemente baixa. Relaciona o teu raciocínio com o conceito da 'falácia da taxa base'.

A Direção-Geral de Tráfego (DGT) utiliza dispositivos indiciários na saliva para detetar o consumo recente de substâncias incompatíveis com a condução. Suponhamos um teste que apresenta uma sensibilidade de $96\,\%$ (deteta $96\,\%$ dos condutores que consumiram) e uma taxa de falsos positivos de $3\,\%$ (dá positivo em $3\,\%$ dos condutores que não consumiram).

Considera dois cenários operacionais muito distintos:

• Cenário 1 (Controlo preventivo geral na estrada): a prevalência real de consumo entre os condutores submetidos a este controlo aleatório é de $1\,\%$.

• Cenário 2 (Controlo específico após uma infração grave ou condução perigosa): a prevalência real de consumo neste coletivo eleva-se para $20\,\%$.

1. a) Calcula, para cada um dos dois cenários, a probabilidade de um condutor que tenha apresentado resultado positivo no teste de saliva ter consumido realmente a substância.
2. b) A partir dos resultados obtidos, reflete e argumenta de forma crítica: por que razão o quadro legal exige imperativamente contrastar o teste indiciário com um segundo teste laboratorial toxicológico antes de aplicar sanções penais ou de privação de direitos, em vez de atuar com o resultado do primeiro teste? Como é que o tipo de controlo (aleatório face a direcionado) condiciona a probabilidade de condenar injustamente uma pessoa inocente?

Desafio do tema. Imagina que prestas consultoria a um observatório de emprego. A tua missão é investigar a relação entre o nível de escolaridade e o desemprego jovem ($16$-$24$ anos) na tua região utilizando dados reais do INE (Inquérito ao Emprego).

1. Recolha e tabela: Descarrega do INE os dados do último trimestre que cruzem escolaridade (estudos superiores ou não) e situação profissional (empregado ou desempregado). Numa folha de cálculo, elabora a tabela de contingência com as frequências absolutas e relativas.

2. Acontecimentos e abordagens: Define o espaço amostral e os acontecimentos elementares. Atribui probabilidades mediante a interpretação frequentista e reflete sobre como diferiria em relação à regra de Laplace ou à probabilidade subjetiva. Mediante as propriedades da probabilidade, calcula uniões e interseções, e verifica analiticamente se o emprego e os estudos superiores são acontecimentos dependentes ou independentes ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$).

3. Árvore e Bayes: Constrói o diagrama de árvore associado. Utilizando a probabilidade condicionada, determina a probabilidade total de ocupação e aplica o teorema de Bayes para determinar a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso com emprego ter formação superior.

4. Produto final: Entrega uma folha de cálculo com os cálculos e um relatório executivo (1 página) com as tuas conclusões.

Será valorizado:

• Rigor na tabela de contingência e na árvore com dados do INE.

• Rigor no cálculo de probabilidades, probabilidade total e Bayes.

• Justificação conceptual da independência e dos tipos de probabilidade.

• Qualidade analítica e clareza nas conclusões do relatório.