Exercícios: Diagramas de árvore

Numa prateleira de um quarto de jovem há duas caixas de ténis. A Caixa A contém $3$ pares de ténis brancos e $2$ pares de ténis pretos. A Caixa B contém $2$ pares de brancos e $4$ pares de pretos. Um estudante escolhe uma caixa ao acaso (com a mesma probabilidade) e, sem olhar, retira um par de ténis.

1. a) Desenha o diagrama de árvore que represente esta situação, indicando as probabilidades em cada ramo.

1. b) Calcula a probabilidade de que os ténis escolhidos sejam de cor branca.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um criador de conteúdos do TikTok observa que $70 \%$ dos seus vídeos são de humor e $30 \%$ são de desafios (challenges). A probabilidade de um vídeo de humor se tornar viral é de $0,1$, enquanto para os vídeos de desafios essa probabilidade sobe para $0,4$.

1. a) Represente a situação através de um diagrama em árvore.

1. b) Se escolhermos um vídeo ao acaso do seu perfil, qual é a probabilidade de ser um vídeo viral?

Num torneio de e-sports, um jogador tem de superar duas fases. Na Fase 1, a probabilidade de sucesso é de $0,8$. Se superar a primeira, passa para a Fase 2, onde a probabilidade de sucesso é de $0,6$. Se não superar a primeira fase, fica eliminado diretamente.

1. a) Elabore o diagrama de árvore correspondente.

1. b) Calcule a probabilidade de o jogador completar com sucesso as duas fases do torneio.

Um estudante do 2.º ano do Ensino Secundário preparou $60 \%$ dos temas de um exame de Geografia. O exame consiste em extrair um tema ao acaso de um saco. Se o tema extraído é um dos que estudou, a probabilidade de ser aprovado é de $0,9$. Se o tema é um dos que não estudou, a probabilidade de ser aprovado desce para $0,2$.

1. a) Constrói uma árvore de probabilidades com os dados do problema, indicando a probabilidade em cada ramo.

1. b) Qual é a probabilidade de o aluno ter positiva no exame?

Numa plataforma de streaming de música, $40 \%$ dos utilizadores têm uma conta "Premium" e $60 \%$ uma conta "Gratuita". Sabe-se que $80 \%$ dos utilizadores Premium ouvem música diariamente, enquanto apenas $30 \%$ dos utilizadores com conta gratuita o fazem. Escolhido um utilizador ao acaso:

1. a) Calcule a probabilidade de que ouça música diariamente.

1. b) Se sabemos que o utilizador escolhido é Premium, qual é a probabilidade de que não ouça música diariamente?

Para ir à escola, um adolescente utiliza o autocarro $80 \%$ dos dias e no restante vai a pé. Quando vai de autocarro, chega atrasado $5 \%$ das vezes. No entanto, quando vai a pé, chega atrasado $15 \%$ das vezes devido a distrair-se pelo caminho.

1. a) Construa o diagrama de árvore.

1. b) Calcule a probabilidade de que, num dia qualquer, chegue pontual à escola.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa urna temos $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas azuis. Extraímos duas bolas de forma sucessiva sem reposição (sem voltar a colocar a primeira bola na urna).

1. a) Represente o processo por meio de um diagrama em árvore indicando as probabilidades em cada ramo. Tenha em conta que a composição da urna muda após a primeira extração.

1. b) Qual é a probabilidade de as duas bolas extraídas serem da mesma cor?

Uma loja de roupa desportiva recebe camisolas de duas fábricas. A Fábrica 1 fornece $60 \%$ do stock e a Fábrica 2 os $40 \%$ restantes. $2 \%$ das camisolas da Fábrica 1 têm algum defeito de costura, enquanto na Fábrica 2 a percentagem de defeitos é de $5 \%$.

1. a) Representa a situação com uma árvore de probabilidades (desenha-a tu: primeiro a fábrica de proveniência e depois se a camisola tem ou não defeito, indicando a probabilidade de cada ramo).

1. b) Calcula a probabilidade de que uma camisola escolhida ao acaso não tenha qualquer defeito.

A Maria está a resolver um problema sobre as provas práticas para obter a carta de condução numa escola de condução. $60\,\%$ dos candidatos passam na primeira época. Daqueles que chumbam à primeira, $70\,\%$ conseguem passar na segunda época. A Maria quer calcular a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso obter a carta de condução em alguma das duas primeiras épocas.

No seu caderno escreve o seguinte:

«Construo a árvore: na primeira etapa tenho os ramos Passar ($0,6$) e Chumbar ($0,4$). Do ramo de Chumbar tiro dois novos ramos: Passar na 2.ª ($0,7$) e Chumbar na 2.ª ($0,3$). Portanto, a probabilidade de passar em alguma das duas épocas é a soma de passar na primeira ou na segunda: $0,6 + 0,7 = 1,3$. Como me dá mais de $1$, o enunciado tem de estar mal formulado porque uma probabilidade não pode ser maior do que $1$».

1. a) Localiza o erro conceptual que a Maria comete ao operar com os ramos da árvore e explica por que razão o seu raciocínio de somar diretamente $0,6$ e $0,7$ é incorreto.
2. b) Desenha o diagrama de árvore correto, detalhando os acontecimentos em cada nível e as probabilidades (marginais e condicionadas) de cada ramo.
3. c) Corrige o cálculo e encontra a probabilidade real de um candidato passar a carta numa das duas primeiras épocas.

Num lagar de Évora, a azeitona recebida é classificada de acordo com o método de colheita: varejo tradicional ($40\,\%$) ou vibração mecânica ($60\,\%$). Devido ao impacto durante a colheita, $10\,\%$ da azeitona recolhida por varejo perde a qualidade ótima para produzir azeite «Virgem Extra», enquanto na colheita mecânica essa percentagem sobe para $25\,\%$. Pretende-se calcular a probabilidade de uma amostra aleatória de azeitona ser apta para azeite «Virgem Extra».

Para resolver este problema, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• O Sérgio afirma: «É mais cómodo inventar um total de $1\,000$ kg de azeitona e construir uma tabela de contingência com os quilos de cada tipo».

• A Alba sustenta: «É muito mais direto e rigoroso propor um diagrama em árvore de duas etapas, porque os dados do enunciado já são probabilidades condicionadas sequenciais».

1. a) Compara ambas as abordagens: qual dos dois métodos representa de forma mais natural a estrutura da informação dada no enunciado e porquê?
2. b) Resolve o problema aplicando o diagrama em árvore: calcula a probabilidade de uma amostra selecionada ao acaso fornecer azeite «Virgem Extra».
3. c) Justifica se o método da tabela proposto pelo Sérgio teria chegado exatamente ao mesmo resultado numérico e reflete sobre que inconveniente metodológico pode ter inventar um total hipotético de indivíduos face ao uso da árvore.

Um popular streamer de videojogos transmite conteúdo em três plataformas diferentes: Twitch, YouTube e TikTok Live. Segundo as suas estatísticas, $45\,\%$ dos seus seguidores veem as suas transmissões na Twitch, $35\,\%$ no YouTube e os $20\,\%$ restantes no TikTok. Sabe-se que a percentagem de seguidores que interagem no chat é de $12\,\%$ na Twitch, de $8\,\%$ no YouTube e de $25\,\%$ no TikTok.

Se escolhermos um seguidor ao acaso deste streamer:

1. a) Representa a situação por meio de um diagrama de árvore.

1. b) Calcula a probabilidade de que o seguidor escolhido interaja no chat.

1. c) Sabendo que o seguidor escolhido não interage no chat, qual é a probabilidade de ser um seguidor do YouTube?

Uma aplicação de saúde utiliza um sensor inteligente para detetar se um utilizador está a realizar exercício aeróbico intenso. O sensor é capaz de detetar corretamente a atividade $98\,\%$ das vezes. No entanto, quando o utilizador está em repouso ou a caminhar devagar, o sensor dá um "falso positivo" (indica erradamente que faz exercício intenso) em $3\,\%$ dos casos. Segundo os dados da comunidade de utilizadores, estima-se que passam $15\,\%$ do tempo a realizar atividade intensa.

1. a) Qual é a probabilidade de, num momento escolhido ao acaso, a aplicação indicar que o utilizador está a realizar exercício intenso?

1. b) Se a aplicação indicar que o utilizador está a realizar exercício intenso, calcule a probabilidade de realmente estar em repouso ou a caminhar devagar.

Num torneio de e-sports, um jogador deve escolher entre duas personagens: "Guerreiro" ou "Mago". A probabilidade de escolher o Guerreiro é de $60\,\%$. Se escolher o Guerreiro, tem uma probabilidade de ganhar o jogo de $0,7$. Se escolher o Mago, a sua probabilidade de vitória aumenta para $0,85$.

1. a) Constrói o diagrama de árvore associado à experiência, indicando em cada ramo a sua probabilidade.

1. b) Calcula a probabilidade de o jogador ganhar o jogo.

1. c) Se o jogador perdeu o jogo, qual é a probabilidade de ter escolhido o Guerreiro?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma loja de roupa online envia os seus pedidos através de duas empresas de logística, A e B. $70\,\%$ dos pedidos são enviados pela empresa A e os restantes pela empresa B. Observou-se que $5\,\%$ dos pedidos da empresa A chegam com atraso, enquanto na empresa B o atraso afeta $10\,\%$ das encomendas.

1. a) Calcule a probabilidade de um pedido chegar a tempo.

1. b) Se um cliente receber a sua encomenda com atraso, qual é a probabilidade de ter sido transportada pela empresa A?

Numa urna digital de um jogo de azar há 10 esferas: 6 azuis e 4 brancas. A experiência consiste em extrair duas esferas de forma sucessiva e sem reposição.

1. a) Desenhe a árvore de probabilidades, indicando as probabilidades em cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de as duas esferas serem da mesma cor.

1. c) Calcule a probabilidade de a primeira esfera ser azul, sabendo que a segunda foi branca.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um aluno do 12.º ano preparou 18 dos 25 temas de uma prova de História. A prova consiste em escolher um tema entre dois sorteados ao acaso pelo professor.

1. a) Qual é a probabilidade de o aluno saber os dois temas extraídos?

1. b) Qual é a probabilidade de o aluno ter positiva na prova (ou seja, de saber pelo menos um dos dois temas)?

1. c) Se o aluno teve positiva na prova, qual é a probabilidade de saber apenas um dos dois temas sorteados?

Numa escola, $40\,\%$ dos alunos são de Ciências e $60\,\%$ de Ciências Sociais. $75\,\%$ dos alunos de Ciências utilizam o transporte escolar, enquanto apenas $30\,\%$ dos de Ciências Sociais o fazem.

1. a) Se escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de não utilizar o transporte escolar?

1. b) Se selecionarmos um aluno que utiliza o transporte escolar, qual é a probabilidade de ser de Ciências Sociais?

Uma fábrica de auriculares sem fios produz dois modelos: "Basic" e "Pro". $65\,\%$ da produção corresponde ao modelo Basic. O controlo de qualidade deteta que $2\,\%$ dos auriculares Basic são defeituosos, enquanto para o modelo Pro a percentagem de unidades defeituosas é de $1\,\%$.

1. a) Calcule a probabilidade de um auricular escolhido ao acaso ser defeituoso.

1. b) Se um auricular for defeituoso, qual é o modelo mais provável? Justifique a sua resposta calculando as probabilidades a posteriori.

No centro de triagem de uma empresa de comércio eletrónico em Lisboa, $90\,\%$ das encomendas são embaladas através de uma linha robotizada de alta velocidade e os restantes $10\,\%$ através de uma linha manual para artigos de formatos irregulares. A linha robotizada comete uma falha na selagem em $2\,\%$ dos envios, enquanto a linha manual tem uma taxa de falha na selagem de $18\,\%$.

Antes de sair para distribuição, um sensor deteta uma encomenda que apresenta um defeito na selagem.

1. a) Estima e raciocina antes de calcular: À primeira vista, achas que é mais provável que essa encomenda com defeito provenha da linha robotizada ou da linha manual? Justifica a tua intuição ponderando dois fatores opostos: a grande diferença no volume de encomendas que cada linha processa face à diferença nas suas taxas de erro.
2. b) Desenha o diagrama em árvore completo que modele a situação, indicando claramente a partição do primeiro nível e as probabilidades condicionadas do segundo nível.
3. c) Calcula a probabilidade total de uma encomenda escolhida ao acaso no centro apresentar uma selagem com defeito.
4. d) Confirma formalmente a tua estimativa: calcula a probabilidade de a encomenda com defeito provir da linha robotizada. Compara o resultado numérico exato com o que tinhas respondido na alínea a) e explica que enviesamento costuma levar ao erro neste tipo de situações.

Segundo dados do Ministério da Educação sobre os exames nacionais de acesso ao ensino superior numa região, $60\,\%$ dos alunos inscritos provêm da área de Ciências e Tecnologias, e $40\,\%$ da área de Humanidades e Ciências Sociais. Na época normal, $95\,\%$ dos estudantes de Ciências passam na fase geral obrigatória, enquanto em Humanidades e Ciências Sociais passam $90\,\%$.

De entre os que passam na fase geral, $35\,\%$ dos alunos de Ciências e $20\,\%$ dos de Humanidades e Ciências Sociais conseguem uma classificação final superior a $10$ valores (em $14$) graças às disciplinas com ponderação da fase específica.

1. a) Modela o percurso académico de um estudante escolhido ao acaso através de um diagrama em árvore de três níveis: área do ensino secundário, aprovação na fase geral e obtenção de uma classificação final superior a $10$ valores. Anota em cada ramo a respetiva probabilidade em notação decimal.
2. b) Calcula a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso dessa região passar na fase geral e, além disso, obter uma classificação superior a $10$ valores.
3. c) Identifica o caminho da árvore que descreve um estudante de Humanidades e Ciências Sociais que passa na fase geral mas não supera os $10$ valores. Calcula a sua probabilidade e interpreta que percentagem do total de estudantes do ensino secundário este perfil concreto representa.

Numa plataforma de e-sports, os jogadores são classificados segundo o seu ranking em: Bronze (50%), Prata (30%) e Ouro (20%). Observou-se que a probabilidade de um jogador usar batota (software proibido) depende do seu ranking: em Bronze é de 2%, em Prata é de 5% e em Ouro é de 10%. O sistema de segurança FairPlay deteta corretamente o batoteiro 98% das vezes, mas dá um "falso positivo" (acusa um jogador limpo) em 1% dos casos.

1. a) Desenhe o diagrama em árvore que represente a situação de um jogador escolhido ao acaso que passa pelo controlo de segurança.
2. b) Calcule a probabilidade de o sistema FairPlay emitir um alerta de "jogador batoteiro".
3. c) Se o sistema emitiu um alerta, qual é a probabilidade de o jogador ser realmente inocente e de ranking Ouro?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de entregas utiliza três rotas para entregar encomendas numa cidade difícil. A rota A (usada 40% das vezes) tem uma probabilidade de atraso de 15%. A rota B (usada 35%) tem um atraso de 10%. A rota C é usada nas restantes vezes e tem um atraso de 20%. Se uma encomenda chega com atraso, é-lhe aplicado um protocolo de auditoria. Este protocolo falha e não deteta o motivo real do atraso em 5% dos casos da rota A, em 8% da rota B e em 12% da rota C.

1. a) Represente por meio de um diagrama em árvore a probabilidade de uma encomenda escolhida ao acaso sofrer um atraso e a sua auditoria ser falhada.
2. b) Calcule a probabilidade de uma encomenda selecionada ao acaso ter uma auditoria falhada por causa de um atraso.
3. c) Sabendo que a auditoria foi falhada, qual é a probabilidade de a encomenda não ter viajado pela rota A?

Estão disponíveis três urnas com a seguinte composição de bolas coloridas:

• Urna $U_1$: 5 brancas, 3 pretas e 2 vermelhas.

• Urna $U_2$: 4 brancas e 6 pretas.

• Urna $U_3$: 2 brancas, 5 pretas e 3 vermelhas.

A experiência consiste em lançar um dado equilibrado. Se sair um número primo, extrai-se uma bola de $U_1$. Se sair um número composto, extrai-se uma bola de $U_2$. Em qualquer outro caso, extrai-se de $U_3$. Após a extração, a bola é introduzida na urna de onde não foi extraída que tenha mais bolas brancas nesse momento (em caso de empate, escolhe-se $U_3$). Finalmente, extrai-se uma segunda bola dessa última urna.

1. a) Construa o diagrama de árvore detalhado das duas extrações.
2. b) Qual é a probabilidade de a segunda bola extraída ser vermelha?
3. c) Se a segunda bola foi vermelha, qual é a probabilidade de a primeira ter sido branca?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um estudo sobre hábitos de sono entre adolescentes revela que 25% dormem menos de 6 horas, 60% dormem entre 6 e 8 horas, e o restante dorme mais de 8 horas. A probabilidade de ter falta de concentração na primeira aula da manhã é de 0,8 para o primeiro grupo, 0,3 para o segundo e 0,1 para o terceiro. Além disso, se um aluno tem falta de concentração, a probabilidade de se esquecer de entregar o seu trabalho de casa é de 0,7, enquanto se estiver concentrado essa probabilidade desce para 0,05.

1. a) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso se esquecer de entregar o trabalho de casa.
2. b) Se um aluno entregou o trabalho de casa, qual é a probabilidade de pertencer ao grupo que dorme mais de 8 horas?

Numa fábrica de aerogeradores, 1% das pás apresenta microfissuras estruturais. Utiliza-se um sistema de verificação por ultrassons que deteta a fissura com uma probabilidade de 0,99. No entanto, o scanner tem uma probabilidade de 0,03 de indicar que há uma fissura quando a pá está saudável. Para assegurar o controlo, se o scanner indicar "fissura", realiza-se um segundo teste manual independente que deteta a fissura real com probabilidade de 0,95 e tem uma margem de erro de 1% em pás saudáveis.

1. a) Calcule a probabilidade de uma pá passar por ambos os testes e ser declarada "defeituosa".
2. b) Se uma pá foi declarada "defeituosa" após os dois testes, qual é a probabilidade de realmente não ter nenhuma microfissura?

Três amigos, Hugo, Sílvia e Clara, jogam um jogo de estratégia por turnos. A probabilidade de Hugo ganhar é $P(H) = 0,2$, a de Sílvia é $P(S) = 0,5$ e a de Clara é $P(C) = 0,3$. Após ganhar uma partida, a probabilidade de o mesmo jogador ganhar a seguinte aumenta em 20% em relação à sua probabilidade inicial (subtraindo essa diferença proporcionalmente dos outros dois jogadores).

1. a) Se Sílvia ganhar a primeira partida, construa a árvore de probabilidades para a segunda partida.
2. b) Calcule a probabilidade de Sílvia ganhar as duas primeiras partidas.
3. c) Sabendo que Sílvia ganhou a segunda partida, qual é a probabilidade de Clara ter ganhado a primeira?

Tem-se uma caixa com 10 telemóveis inteligentes, dos quais 3 têm o ecrã defeituoso. Extraem-se dois telemóveis ao acaso, um após o outro e sem reposição.

• Se o primeiro extraído for defeituoso, lança-se uma moeda viciada onde a probabilidade de cara é 0,7. Se sair cara, extrai-se um terceiro telemóvel da caixa.

• Se o primeiro extraído não for defeituoso, lança-se um dado equilibrado. Se sair um número maior que 4, extrai-se um terceiro telemóvel.

1. a) Calcule a probabilidade de o número total de telemóveis defeituosos extraídos ser exatamente 2.
2. b) Sabendo que no final da experiência foram extraídos exatamente 2 telemóveis defeituosos, qual é a probabilidade de o primeiro telemóvel extraído ter sido correto?

Uma empresa tecnológica produz processadores em três fábricas: P1 (produz 50%), P2 (30%) e P3 (20%). A percentagem de processadores que superam a velocidade de 4GHz é de 80% em P1, 70% em P2 e 60% em P3. Os processadores que não superam essa velocidade são submetidos a um processo de otimização que faz com que 40% deles finalmente a superem.

1. a) Utilizando um diagrama em árvore, calcule a probabilidade de um processador escolhido ao acaso da produção total superar finalmente os 4GHz.
2. b) Se um processador não superar os 4GHz após todo o processo, qual é a probabilidade de ser proveniente da fábrica P1 ou da P2?

Numa estação de tratamento e reciclagem de resíduos tecnológicos, os circuitos integrados são encaminhados de forma automatizada para duas linhas de triagem: a linha $A$ e a linha $B$. A proporção de componentes que é encaminhada para a linha $A$ é um valor desconhecido $p$ (com $0 < p < 1$), sendo o restante ($1 - p$) encaminhado para a linha $B$.

Os registos técnicos demonstram que um componente processado na linha $A$ se revela diretamente reutilizável com uma probabilidade de $0,75$. Pelo contrário, na linha $B$, a probabilidade de reutilização direta é de apenas $0,35$.

Todos os componentes que não são diretamente reutilizáveis passam por uma segunda fase de refinação química para extrair metais preciosos: na linha $A$, $20\,\%$ dos não reutilizáveis permite recuperar metais preciosos, enquanto na linha $B$ se consegue recuperar metais preciosos em $40\,\%$ dos não reutilizáveis.

1. a) Desenha o diagrama em árvore completo que represente as etapas do processo, deixando as probabilidades dos primeiros ramos em função do parâmetro $p$.
2. b) Obtém a expressão algébrica simplificada, em função de $p$, que represente a probabilidade de um circuito integrado escolhido ao acaso acabar por fornecer metais preciosos após falhar a reutilização direta.
3. c) Sabendo que no final do dia exatamente $13\,\%$ do total de componentes recebidos na estação acaba por fornecer metais preciosos através da refinação química, propõe uma equação e deduz o valor original da proporção $p$.
4. d) Justifica analiticamente se seria possível, modificando unicamente a distribuição inicial de entrada $p$, conseguir que a percentagem global de componentes que fornecem metais preciosos seja igual a $30\,\%$.

Um laboratório de controlo de qualidade farmacêutico deve validar um lote reduzido de $15$ unidades de um reagente biológico. Sabe-se com certeza que no lote há exatamente $3$ unidades com defeito e $12$ corretas. Devido ao custo do procedimento, aplica-se uma inspeção sequencial destrutiva (as unidades analisadas ficam inutilizadas e, portanto, são extraídas sem reposição), regida pelo seguinte protocolo:

• Extrai-se uma primeira unidade ao acaso: se apresentar defeito, o lote é reprovado e interrompe-se imediatamente o processo.

• Se a primeira unidade for correta, extrai-se uma segunda unidade. Se esta segunda tiver defeito, extrai-se obrigatoriamente uma terceira unidade para desempatar; por outro lado, se a segunda for correta, o lote é declarado apto e o processo termina de imediato.

• Se se tiver chegado à terceira extração, o lote é declarado apto se essa terceira unidade for correta, e é reprovado definitivamente se tiver defeito.

1. a) Modela todo o protocolo através de um diagrama em árvore. Tem em conta que os ramos têm comprimentos diferentes (árvore truncada de acordo com o resultado) e que a composição do lote varia após cada extração. Exprime as probabilidades de cada ramo sob a forma de frações irredutíveis.
2. b) Justifica de forma fundamentada por que razão neste ensaio seria um erro grave calcular as probabilidades dos ramos assumindo independência entre as etapas sucessivas.
3. c) Calcula a probabilidade total de o lote acabar por ser declarado apto.
4. d) Imagina que o teste não era destrutivo e as extrações eram realizadas com reposição (devolvendo cada unidade após o exame). Raciocina, sem necessidade de calcular todas as casas decimais, se a probabilidade de declarar o lote apto em exatamente duas extrações seria maior, menor ou igual do que no caso sem reposição.