Exercícios: Variável padronizada

Numa comunidade de criadores de conteúdo, o número de visualizações diárias dos vídeos segue uma distribuição normal com uma média $\mu = 1200$ e um desvio padrão $\sigma = 300$. Se um "influencer" conseguiu hoje $1650$ visualizações, calcule o valor da variável padronizada $Z$ correspondente a esse dado.

A duração da bateria de um modelo de smartphone em utilização intensiva distribui-se segundo uma normal $N(8; 1,5)$, em que a média é de $8$ horas. Um utilizador nota que o seu telemóvel só dura $5$ horas após a última atualização. Padronize este valor e indique se o resultado é positivo ou negativo. Qual é o significado do sinal neste contexto?

Dois alunos de escolas diferentes querem comparar as suas notas no teste de Economia.

• Leonor obteve um $8,2$ na sua escola, onde a média foi $\mu = 6,5$ e o desvio padrão $\sigma = 1,1$.

• Youssef obteve um $8,5$ na sua escola, onde a média foi $\mu = 7,2$ e o desvio padrão $\sigma = 1,4$.

Calcule a variável padronizada para ambos e determine qual dos dois obteve uma nota melhor em relação ao seu próprio grupo.

Dada uma variável aleatória contínua $X$ que segue uma distribuição normal com média $\mu = 50$ e desvio padrão $\sigma = 8$, determine o valor da variável original $X$ sabendo que o seu valor padronizado é $Z = 2,25$.

Numa competição de e-sports, o tempo de reação dos jogadores segue uma distribuição normal com média $210$ milissegundos e desvio padrão $15$ milissegundos. Padronize os seguintes tempos de reação e interprete os resultados:

1. a) $195$ milissegundos.
2. b) $210$ milissegundos.
3. c) $240$ milissegundos.

O peso dos pacotes de pipocas de um cinema segue uma distribuição normal $N(150, 12)$ em gramas. Se selecionarmos um pacote ao acaso e soubermos que o seu valor padronizado é $Z = -1,5$, este pacote pesa mais ou menos do que a média? Calcule o seu peso exato em gramas.

Se uma variável tipificada $Z$ segue uma distribuição normal padrão $N(0, 1)$, utiliza a simetria da curva de Gauss para explicar porque é que a probabilidade $P(Z < -1)$ é igual a $P(Z > 1)$. Desenha tu mesmo um esquema da situação: a curva de Gauss, o seu eixo de simetria, os valores $-1$, $0$ e $1$ sobre o eixo horizontal e as duas regiões cujas áreas representam essas probabilidades.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Foi medido o tempo que os jovens de uma cidade demoram a chegar à escola. Os dados seguem uma distribuição normal com $\mu = 25$ minutos e $\sigma = 5$ minutos. Padronize o valor $X = 35$ minutos. Se a tabela da normal padrão nos diz que $P(Z < 2) = 0,9772$, qual é a percentagem de alunos que demora menos de $35$ minutos a chegar?

O Marcos tem uma variável aleatória $X \sim N(70, 8)$ que modela o tempo (em minutos) que os alunos de uma escola demoram a concluir um exame. Para calcular a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso demorar menos de $58$ minutos, o Marcos escreve no seu caderno:

«Tipifico: $z = \dfrac{70 - 58}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$. Como na tabela $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, a probabilidade pedida é de $93,32\,\%$.»

1. a) Sem necessidade de fazer contas, fundamenta por que razão o resultado final do Marcos não faz sentido a partir do valor da média.
2. b) Identifica o erro concetual e algébrico que o Marcos cometeu ao aplicar a fórmula da tipificação.
3. c) Corrige o procedimento e determina a probabilidade correta sabendo que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$.

Segundo dados climáticos históricos, a precipitação acumulada durante o mês de novembro numa comarca segue uma distribuição normal $X \sim N(80, 15)$ medida em litros por metro quadrado ($l/m^2$). No último mês de novembro registaram-se $115\text{ l/m}^2$.

1. a) Estima fundamentadamente, antes de realizar qualquer cálculo analítico, o sinal da variável tipificada $Z$ correspondente a esse registo e entre que dois números inteiros consecutivos se deve situar.
2. b) Calcula com precisão o valor de $Z$ e verifica se a tua estimativa prévia foi acertada.
3. c) Explica o significado do valor obtido de $Z$ em termos de desvios-padrão relativamente à média de pluviosidade da zona.

Numa plataforma de jogos online, a pontuação dos jogadores no nível "Lenda" segue uma distribuição normal com média $\mu = 4500$ pontos e desvio padrão $\sigma = 600$ pontos. Por outro lado, no nível "Mestre", as pontuações seguem uma distribuição normal com $\mu = 3800$ pontos e $\sigma = 450$ pontos.

Um jogador obteve $5200$ pontos no nível "Lenda" e o seu amigo obteve $4400$ pontos no nível "Mestre". Utiliza a variável padronizada para determinar qual dos dois amigos obteve uma pontuação melhor em relação ao seu grupo de jogo.

Foi realizado um estudo sobre o tempo diário que os adolescentes de 17 anos dedicam a ver conteúdos em plataformas de streaming. Os resultados mostram que esse tempo segue uma distribuição normal $X \sim N(110, 25)$, em que o tempo é medido em minutos.

1. a) Calcule a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso passar mais de $135$ minutos por dia nessas plataformas.
2. b) Qual é a probabilidade de o tempo dedicado estar compreendido entre $90$ e $120$ minutos?

As notas finais do exame nacional de acesso ao ensino superior numa determinada região seguem uma distribuição normal com média $6,8$ e desvio padrão $1,2$.

A universidade decidiu conceder uma bolsa especial de excelência a $5\%$ dos alunos que obtiveram as melhores classificações. Utilizando a tabela da distribuição normal padrão $N(0,1)$, calcule a nota mínima necessária para obter essa bolsa.

O peso das mochilas dos alunos do ensino secundário de uma escola segue uma distribuição normal com média $6,5$ kg e desvio padrão $1,4$ kg.

1. a) Determine o valor da variável padronizada $Z$ que corresponde a uma mochila de $8$ kg.
2. b) O médico da escola recomenda que o peso da mochila não ultrapasse $9$ kg. Qual é a percentagem de alunos que não cumpre esta recomendação?

A duração da bateria de um novo modelo de smartphone em utilização intensiva distribui-se segundo uma normal de média $\mu$ horas e desvio padrão $\sigma = 1,5$ horas.

Sabe-se que $25,14\%$ dos telemóveis têm uma bateria que dura menos de $8$ horas. Determine o valor da média $\mu$ desta distribuição utilizando o processo de despadronização.

Numa competição de atletismo, o tempo em segundos que os participantes demoram a completar os 400 metros rasos segue uma distribuição $X \sim N(52, \sigma)$.

Sabendo que $84,13\%$ dos corredores demoram menos de $55$ segundos a terminar a prova, calcule o desvio padrão $\sigma$ do tempo dos corredores.

Um criador de conteúdos numa rede social analisa o número de "gostos" que as suas publicações recebem. Ele observou que o número de "gostos" segue uma distribuição normal com média $1200$.

1. a) Se o desvio padrão é $\sigma = 150$, calcule o intervalo simétrico em relação à média que contenha $90\%$ das publicações.
2. b) Qual é a probabilidade de uma publicação escolhida ao acaso ter exatamente $1300$ "gostos"? Justifique a tua resposta com base nas propriedades das variáveis contínuas.

Pretende-se comparar a agilidade mental de dois grupos de estudantes por meio de um teste de lógica. O Grupo A obtém resultados que seguem uma $N(75, 8)$ e o Grupo B uma $N(70, 5)$.

1. a) Se um aluno do Grupo A obtém $85$ pontos e um do Grupo B obtém $78$ pontos, qual dos dois se encontra numa melhor posição relativa dentro do seu próprio grupo?
2. b) No Grupo B, a partir de que pontuação se encontra o $20\%$ dos estudantes com resultados mais baixos?

A partir das estatísticas do mercado da habitação, o preço do metro quadrado de arrendamento numa grande capital ($X$) é modelado como uma distribuição normal $N(18, 4)$ em euros, enquanto numa cidade intermédia ($Y$) segue uma distribuição normal $N(9; 1,5)$ em euros. Um portal imobiliário destaca dois imóveis: um na grande capital a $24\text{ euros/m}^2$ e outro na cidade intermédia a $12\text{ euros/m}^2$.

1. a) Tipifica ambos os preços e determina fundamentadamente qual dos dois apartamentos é relativamente mais caro em comparação com o seu próprio mercado local.
2. b) Se uma empresa de recolocação apenas recomenda imóveis situados abaixo do percentil $75$ da sua respetiva cidade, calcula o preço máximo por metro quadrado admissível em cada uma das duas cidades sabendo que na normal padrão $P(Z \le 0,67) \approx 0,75$.

Num processo seletivo para uma entidade pública, as classificações seguem uma distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. O júri do concurso não publica diretamente os parâmetros $\mu$ e $\sigma$, mas disponibiliza dois dados técnicos sobre as pontuações:

• A nota de corte de $65$ pontos encontra-se exatamente a $0,75$ desvios-padrão abaixo da média.

• Apenas $2,28\,\%$ dos candidatos superou os $86$ pontos (na distribuição normal padrão verifica-se $P(Z > 2) = 0,0228$).

1. a) Escreve a equação que relaciona diretamente $65$ com $\mu$ e $\sigma$ traduzindo a informação sobre a sua posição relativa tipificada.
2. b) Deduz o valor da variável tipificada $Z$ que corresponde à classificação de $86$ pontos e formula a segunda equação do sistema.
3. c) Resolve o sistema formulado para calcular a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$ do exame.

Num curso preparatório para os exames nacionais de acesso ao ensino superior, observou-se que as notas de um teste de Matemática Aplicada às Ciências Sociais seguem uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Sabe-se que $15,87\%$ dos alunos obteve uma nota superior a $8$ pontos, enquanto $2,28\%$ não atingiu $3$ pontos. Calcule o valor da média $\mu$ e do desvio padrão $\sigma$ dessa distribuição, utilizando a tabela da normal padrão $Z \sim N(0, 1)$.

Três estudantes de escolas diferentes querem comparar os seus resultados numa prova de aptidão linguística. Como os exames eram distintos, as pontuações seguem distribuições normais diferentes:

• Ana obteve $72$ pontos num exame com $N(60, 8)$.

• Beto obteve $80$ pontos num exame com $N(70, 12)$.

• Carla obteve $65$ pontos num exame com $N(55, 5)$.

Determine, por meio da estandardização das variáveis, qual dos três estudantes se encontra numa melhor posição relativa em relação ao seu grupo de referência. Justifique a sua resposta comparando os valores da variável estandardizada $Z$.

Uma empresa que fabrica componentes eletrónicos garante que a vida útil das suas baterias segue uma distribuição normal com média de $800$ dias. Após um estudo de qualidade, determina-se que a probabilidade de uma bateria durar mais de $1000$ dias é de apenas $0,0062$.

1. a) Encontre o valor do desvio padrão $\sigma$ da produção.
2. b) Se a empresa decidir substituir todas as baterias que durarem menos de $k$ dias, que valor deve ter $k$ para que tenham de repor apenas $5\%$ das baterias vendidas?

O tempo que os adolescentes de uma cidade dedicam diariamente às redes sociais segue uma distribuição normal $X \sim N(120, 20)$, em que o tempo é medido em minutos.

Calcule a probabilidade de um adolescente escolhido ao acaso dedicar às redes sociais entre $100$ e $150$ minutos, sabendo de antemão que dedica mais de $110$ minutos. (Nota: utilize a definição de probabilidade condicionada junto com a standardização da variável).

Sabe-se que o peso dos pacotes de café embalados automaticamente por uma máquina segue uma distribuição normal com desvio padrão $\sigma = 15$ gramas. Ajustou-se a máquina para que $97,5\%$ dos pacotes tenham um peso superior a $470,6$ gramas.

1. a) Calcule o peso médio $\mu$ para o qual a máquina foi programada.
2. b) Com esse ajuste, qual é a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso pesar mais de $510$ gramas?

Num estudo sobre a despesa mensal em lazer das famílias de um distrito, comprovou-se que esta segue uma distribuição normal. Sabe-se que a despesa média é de $250$ euros. Se $20\%$ das famílias gasta mais de $320$ euros:

1. a) Calcule o desvio padrão da distribuição.
2. b) Determine o intervalo de despesa, simétrico em relação à média, no qual se encontra $90\%$ central das famílias do distrito.

As alturas dos estudantes do segundo ano do ensino médio de uma escola se distribuem segundo uma normal $X \sim N(172, 9)$. O diretor da escola deseja selecionar $5\%$ dos estudantes mais altos para o time de basquete e $5\%$ dos estudantes mais baixos para um estudo ergométrico.

1. a) A partir de qual altura os alunos são selecionados para o time de basquete?
2. b) Qual é a altura máxima para fazer parte do estudo ergométrico?
3. c) Qual é a probabilidade de um aluno medir exatamente $172$ cm? Justifique a resposta com base na natureza das variáveis contínuas.

Seja $X$ uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Se definirmos a variável padronizada como $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, demonstre analiticamente, utilizando as propriedades da padronização e a simetria da curva de Gauss, que as seguintes probabilidades são equivalentes:

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calcule esse valor utilizando a tabela da distribuição $N(0, 1)$.

Para analisar o consumo energético numa região durante a época de inverno, modela-se a procura elétrica diária através de uma variável $X \sim N(3200, 400)$ em megawatts (MW). Pretende-se calcular a percentagem de dias em que a procura se situa no intervalo de consumo moderado, compreendido entre $2600\text{ MW}$ e $3800\text{ MW}$. Dois analistas propõem procedimentos distintos:

• Método 1 (Simetria central): Observar que os extremos distam o mesmo da média $\mu = 3200$, tipificar o extremo superior $z_2$ e calcular a probabilidade como $2 \cdot [P(Z \le z_2) - 0,5]$.

• Método 2 (Subtração padrão de funções de distribuição): Tipificar ambos os extremos $z_1$ e $z_2$ e aplicar diretamente $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$, transformando depois a cauda esquerda com $P(Z \le z_1) = 1 - P(Z \le -z_1)$.

1. a) Desenvolve completamente ambos os métodos numericamente, sabendo que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, e verifica que ambos conduzem à mesma probabilidade.
2. b) Justifica qual dos dois métodos minimiza o risco de cometer erros com os sinais negativos ao trabalhar com tabelas que apenas incluem valores positivos de $Z$.
3. c) Se o intervalo de estudo mudasse para $[2800, 4000]\text{ MW}$, fundamenta se o Método 1 continuaria a ser válido ou se, obrigatoriamente, se teria de recorrer ao Método 2.

O tempo de viagem em minutos de uma linha de comboio de alta velocidade em Espanha segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, 12)$. A empresa operadora mantém um compromisso de pontualidade: se a viagem ultrapassar os $165$ minutos, indemniza os passageiros devolvendo-lhes o valor do bilhete. A direção fixa como objetivo de qualidade que, no máximo, $1\,\%$ dos comboios necessite de indemnização, para o que se toma o valor crítico $P(Z \le 2,33) \approx 0,99$.

1. a) Modela a situação mediante a variável tipificada e calcula qual deve ser o tempo médio de viagem $\mu$ programado para cumprir esse compromisso com a dispersão atual ($\sigma = 12$ minutos).
2. b) A equipa de engenharia propõe dois projetos alternativos de modernização:

• Projeto A: Reduzir o tempo médio para $\mu_A = 140$ minutos, embora a dispersão aumentasse para $\sigma_A = 11$ minutos devido a novas paragens.

• Projeto B: Manter a média $\mu$ obtida na alínea a), mas investir em tecnologia de via para reduzir o desvio-padrão para $\sigma_B = 9$ minutos.

Compara as variáveis tipificadas associadas ao limite de indemnização ($165$ minutos) em ambas as propostas e fundamenta qual dos dois projetos consegue uma maior redução da percentagem de comboios indemnizados.

1. c) Explica que implicação prática tem, do ponto de vista do utilizador, que duas linhas ferroviárias com diferentes médias e desvios-padrão apresentem exatamente o mesmo valor tipificado $Z$ relativamente ao seu limiar de atraso.

Desafio do tema. O clima da tua cidade ajusta-se a uma curva de Gauss? Vais verificá-lo analisando temperaturas reais.

1. Recolha de dados e parâmetros: Acede ao IPMA (ou ao portal meteorológico da tua região) e descarrega as temperaturas máximas diárias dos últimos $30$ dias. Introduz os dados numa folha de cálculo e obtém a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$ para definir o teu modelo $X \sim N(\mu, \sigma)$.

2. Padronização e probabilidades: Fixa um limiar de calor significativo (por exemplo, $x = 28,5\,^\circ\text{C}$). Padroniza a variável através de $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ e utiliza a tabela da $N(0,1)$ para calcular $P(X \ge x)$. Compara esta probabilidade teórica com a frequência relativa real que obtiveste na tua amostra.

3. Visualização e conclusões: No GeoGebra, representa a função densidade da tua $N(\mu, \sigma)$ sombreando a área calculada. Redige um breve relatório (uma página) analisando se a distribuição normal modela adequadamente o comportamento térmico da tua zona.

Será valorizado:

• Rigor na estimativa dos parâmetros $\mu$ e $\sigma$ com a folha de cálculo.

• Correção analítica ao padronizar e calcular probabilidades com a tabela $N(0,1)$.

• Qualidade da representação gráfica no GeoGebra e confronto crítico entre o modelo teórico e os dados empíricos.