Exercícios: Probabilidades de uma N(0,1)

Um estudo sobre o tempo que os jovens passam numa conhecida rede social de vídeos curtos determina que, uma vez normalizados os dados, a variável segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. Se selecionarmos um utilizador ao acaso, calcule a probabilidade de o seu tempo de utilização ser menor ou igual a $1,45$ unidades padronizadas. Utilize a representação gráfica para identificar a área pedida.

Num torneio de e-sports, o tempo de reação dos jogadores profissionais foi padronizado para seguir uma distribuição $N(0,1)$. Se se considerar "tempo de reação lento" qualquer valor acima de $0,82$, determina a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso ter um tempo de reação lento, isto é, calcula $P(Z > 0,82)$.

A pontuação num teste de aptidão musical para adolescentes segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. O departamento de música de uma escola decide reforçar os alunos cuja pontuação padronizada seja inferior a $-1,2$. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso precisar desse reforço?

Uma aplicação de idiomas regista o progresso diário dos utilizadores. A melhoria no vocabulário, após estandardizar os dados, ajusta-se a uma normal $N(0,1)$. Calcule a probabilidade de um utilizador melhorar o seu vocabulário num intervalo compreendido entre $0,5$ e $1,5$ unidades estandardizadas.

Numa fábrica de ténis desportivos, o controlo de qualidade da resistência da sola é realizado por meio de uma variável padronizada $Z \sim N(0,1)$. Os engenheiros querem identificar o valor $k$ positivo tal que a probabilidade de uma sola ter uma resistência menor ou igual a $k$ seja de $0,975$. Procura na tabela da normal padrão esse valor de $k$.

O tempo de espera na fila de um festival de música, medido de forma padronizada, segue uma distribuição $N(0,1)$. Os organizadores querem determinar um intervalo central $(-k, k)$ que contenha $95\%$ dos participantes. Sabendo que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utiliza a simetria da curva de Gauss para encontrar o valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondente.

As classificações de um simulacro de exame nacional foram normalizadas, obtendo-se uma distribuição normal reduzida. Se um aluno deseja estar acima de $22,66\%$ dos piores resultados, deve obter uma classificação normalizada superior a $-0,75$. Calcule a probabilidade $P(Z > -0,75)$ utilizando as propriedades de simetria da distribuição normal.

Dada uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$, calcule a probabilidade de a variável tomar valores no intervalo $[-1,1, 0,4]$. Lembra-te de que, para resolver este tipo de intervalo, deves aplicar a fórmula:

Uma estudante, Irene, está a calcular a probabilidade $P(Z \le -1,35)$ para uma variável normal reduzida $Z \sim N(0,1)$. Como na tabela da normal reduzida apenas constam valores positivos, procura o valor $1,35$, observa que $P(Z \le 1,35) = 0,9115$ e conclui no seu exame: «Por se tratar de um valor negativo, a probabilidade acumulada é $P(Z \le -1,35) = -0,9115$».

1. a) Explica qual é o erro conceptual grave cometido pela Irene relativamente à definição e às propriedades fundamentais de uma probabilidade.
2. b) Apoiando-te na simetria da curva de Gauss em relação ao eixo vertical $Z = 0$, deduz a relação correta entre $P(Z \le -1,35)$ e as áreas da metade direita da curva.
3. c) Corrige o procedimento da Irene e calcula o valor numérico exato de $P(Z \le -1,35)$.

Considera uma variável com distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo analítico, efetua uma estimativa fundamentada: a probabilidade $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$ será estritamente maior, menor ou igual a $0,50$? Justifica a tua resposta analisando que porção da área total o intervalo encerra à esquerda e à direita da média $\mu = 0$.
2. b) Comprova a tua estimativa calculando o valor exato de $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$. Detalha cada uma das transformações por simetria utilizadas.

(Dados: $P(Z \le 0,50) = 0,6915$; $P(Z \le 1,20) = 0,8849$).

Num estudo sobre o desempenho de uma nova inteligência artificial, padronizaram-se os tempos de resposta seguindo uma distribuição normal mínima $N(0,1)$. Calcule as seguintes probabilidades utilizando a tabela da distribuição normal:

1. A probabilidade de um tempo padronizado ser superior a $1,32$; isto é, $P(Z > 1,32)$.

2. A probabilidade de o tempo se encontrar abaixo de $-0,45$; isto é, $P(Z < -0,45)$.

As pontuações de um teste de aptidão para jovens de 18 anos foram padronizadas de modo a seguirem uma distribuição $N(0,1)$. Se selecionarmos um candidato ao acaso, determine a probabilidade de a sua pontuação padronizada se encontrar no intervalo $[-1,24, 2,13]$.

Dada uma variável aleatória contínua $Z$ que segue uma distribuição normal reduzida $N(0,1)$, determina o valor da constante positiva $k$ que satisfaz cada uma das seguintes condições:

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

No controlo de qualidade de uma fábrica de componentes eletrónicos, utiliza-se a distribuição $N(0,1)$ para analisar os desvios em relação ao diâmetro nominal. Calcule a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ter um desvio (em valor absoluto) menor ou igual a $1,96$ unidades padrão. Ou seja, determine:

Um algoritmo de redes sociais classifica a relevância das publicações por meio de uma variável $Z \sim N(0,1)$. Sabe-se que $10\%$ das publicações mais relevantes recebem uma menção especial. A partir de que valor de $Z$ é que uma publicação é considerada dentro desse $10\%$ superior? (Determine o valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

Utilizando as propriedades de simetria da curva de Gauss para uma distribuição normal padrão $Z$, calcule as seguintes probabilidades sem consultar valores negativos na tabela:

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

Comprovou-se que o nível de ruído numa biblioteca, depois de padronizado, segue uma distribuição $N(0,1)$. Se a probabilidade de o ruído superar um nível $k$ é de $0,33$, determine o valor de $k$.

Determine o valor de $a$ para que se cumpra a seguinte igualdade numa distribuição normal padrão $N(0,1)$:

Explique o significado gráfico deste resultado em relação à área central da curva de Gauss.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) utiliza anomalias padronizadas para classificar as temperaturas mensais em relação a séries históricas de referência. Supõe que o índice térmico padronizado de um determinado mês segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. O protocolo meteorológico classifica um mês como «muito quente» se o seu índice padronizado for estritamente superior a $1,40$, e como «frio» se se situar abaixo de $-0,80$.

1. a) Modela a situação através da notação formal de probabilidade e calcula a proporção teórica de meses que serão classificados como «muito quentes» a longo prazo.
2. b) Determina a probabilidade de um mês selecionado ao acaso registar um comportamento térmico intermédio, isto é, de o seu índice padronizado pertencer ao intervalo $[-0,80; 1,40]$.

(Dados da tabela $N(0,1)$: $P(Z \le 0,80) = 0,7881$; $P(Z \le 1,40) = 0,9192$).

Seja $Z$ uma variável aleatória contínua com distribuição normal padrão $N(0,1)$.

1. a) Encontra o valor positivo $k$ para o qual se verifica que $P(-k \le Z \le k) = 0,8064$. Explica o processo dedutivo: indica quanto mede cada uma das duas caudas exteriores e que probabilidade acumulada total deves procurar na tabela.
2. b) Encontra o valor da constante real $c$ que satisfaz a condição $P(Z \ge c) = 0,7357$. Fundamenta previamente, sem calcular, que sinal deve ter obrigatoriamente $c$ a partir da simetria da curva em sino relativamente a $0$, e formaliza depois o cálculo do seu valor numérico.

(Dados da tabela: $P(Z \le 0,63) = 0,7357$; $P(Z \le 1,30) = 0,9032$; $P(Z \le 1,67) = 0,9525$).

Num estudo sobre a eficiência de um novo algoritmo de recomendação de uma rede social, determinou-se que o tempo de permanência adicional dos utilizadores segue uma distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$. Se a plataforma deseja identificar o grupo de utilizadores "ultra-ativos", que são aqueles cujo tempo padronizado se encontra num intervalo simétrico em relação à média que engloba exatamente 88,82 % da população, calcule o valor crítico $k$ que define os limites desse intervalo.

Calcule o valor da constante positiva $a$ sabendo que, numa distribuição normal padrão $Z \sim N(0,1)$, a probabilidade de a variável tomar valores no intervalo compreendido entre $-a$ e $a$ é o triplo da probabilidade de tomar valores superiores a $a$. Utilize as propriedades de simetria da curva de Gauss para propor uma equação antes de consultar a tabela.

Um analista de dados de uma liga de e-sports está a estudar o "índice de reflexos" dos jogadores profissionais, o qual se distribui segundo uma $N(0,1)$. Sabe-se que um jogador é selecionado para a equipa nacional se o seu índice estiver acima de um valor $z_0$. Se um jogador for escolhido ao acaso e soubermos que o seu índice é positivo, a probabilidade de ser selecionado para a equipa nacional é de 0,3412. Determine o valor da pontuação de corte $z_0$ necessária para entrar na equipa.

Dada uma variável aleatória contínua $Z$ que segue uma distribuição normal de média $0$ e desvio padrão $1$, determine o valor de $k$ tal que se verifique a seguinte igualdade:

Explique justificadamente o processo, indicando como utiliza a propriedade do acontecimento contrário e a simetria da distribuição.

Numa distribuição $N(0,1)$, consideram-se os pontos $z_1$ e $z_2$ tais que $z_1$ é o percentil 20 e $z_2$ é o valor que deixa à sua direita uma probabilidade de 0,15. Calcule a probabilidade de a variável $Z$ se encontrar no intervalo $[z_1, z_2]$. Arredonde os valores intermédios da tabela para quatro casas decimais.

Seja $Z$ uma variável aleatória com distribuição normal reduzida. Determine o valor da constante $c > 0$ para que se verifique a seguinte condição sobre o valor absoluto da variável:

De seguida, utilizando o valor de $c$ encontrado, calcule a probabilidade condicionada $P(Z > -c \text{ | } Z < c)$.

Foi elaborado um teste de aptidão académica cujos resultados seguem uma $N(0,1)$. A instituição que concede as bolsas decide que:

• 10 % dos estudantes com as melhores notas receberão a "Bolsa de Excelência".

• 25 % dos estudantes com as notas mais baixas ficarão excluídos de qualquer apoio.

Calcule a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso não estar em nenhum desses dois grupos extremos e a sua nota padronizada ser, além disso, superior à média.

Seja $Z \sim N(0,1)$. Determine o valor de $k$ sabendo que a área da região sombreada na figura abaixo (que corresponde à probabilidade $P(k < Z < 2k)$) é igual a 0,1359.

Nota: Deves expressar as probabilidades em função da função de distribuição $\phi(z)$ e procurar na tabela o valor que torne possível a diferença de áreas.

Para calcular a probabilidade de uma variável normal padrão $Z \sim N(0,1)$ se afastar da sua média em mais de $1,50$ unidades tipificadas em valor absoluto, ou seja, $P(|Z| > 1,50)$, dois colegas de turma propõem duas estratégias distintas:

• Estratégia A (pelo complementar): Encontrar a área do intervalo central mediante $P(-1,50 \le Z \le 1,50) = P(Z \le 1,50) - P(Z \le -1,50)$ e calcular depois $1 - P(-1,50 \le Z \le 1,50)$.

• Estratégia B (por simetria direta das caudas): Identificar que ambas as caudas têm área idêntica e calcular diretamente $2 \cdot P(Z > 1,50) = 2 \cdot [1 - P(Z \le 1,50)]$.

1. a) Demonstra formalmente que ambas as expressões algébricas são idênticas utilizando a propriedade $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.
2. b) Compara ambos os caminhos e justifica qual resulta mais vantajoso para minimizar o risco de cometer erros com os sinais e reduzir o número de leituras na tabela.
3. c) Utilizando a estratégia que consideraste ótima, calcula $P(|Z| > 1,50)$ sabendo que $P(Z \le 1,50) = 0,9332$.
4. d) Sem realizar operações aritméticas longas, deduz de forma fundamentada o valor da probabilidade condicionada $P(Z > 1,50 \mid |Z| > 1,50)$ apoiando-te exclusivamente na simetria geométrica das regiões envolvidas.

Numa avaliação de diagnóstico de competências do sistema educativo, as pontuações globais foram tipificadas como uma variável normal padrão $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Uma comissão técnica propõe delimitar uma faixa de «desempenho representativo» mediante um intervalo de amplitude fixa igual a $1$ unidade da forma $[a; a+1]$. Demonstra qualitativamente, a partir da geometria em forma de sino e unimodal da função de densidade de Gauss, que valor deve tomar $a$ para que esse intervalo contenha a máxima probabilidade possível. Calcula essa probabilidade máxima sabendo que $P(Z \le 0,50) = 0,6915$.
2. b) A administração pretende dividir os estudantes avaliados em três níveis equiprováveis («Inicial», «Médio» e «Avançado»), de modo que cada grupo contenha exatamente um terço da população (probabilidade $1/3 \approx 0,3333$). Os limiares definem-se como: Inicial para $Z < z_1$, Médio para $z_1 \le Z \le z_2$ e Avançado para $Z > z_2$.

1. Demonstra que, por simetria em relação ao valor médio $0$, se deve verificar necessariamente que $z_1 = -z_2$.

2. Escreve a equação da probabilidade acumulada que permite determinar $z_2$ e encontra o seu valor com duas casas decimais sabendo que $P(Z \le 0,43) = 0,6664$ e $P(Z \le 0,44) = 0,6700$.

1. c) Se, em vez de três níveis, a distribuição fosse dividida em quatro quartis equiprováveis através dos pontos de corte $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$, fundamenta geometricamente por que razão $Q_2 = 0$ e justifica por que motivo basta procurar um único valor no corpo da tabela para determinar os três quartis.