Exercícios: Parâmetros estatísticos de uma N

Uma câmara municipal analisou o tempo que os autocarros da linha circular demoram a completar o seu percurso. Comprovou-se que esse tempo segue uma distribuição normal com média de $25$ minutos e desvio padrão de $4$ minutos. Identifique os parâmetros estatísticos dessa distribuição e escreva-a utilizando a notação matemática abreviada $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observe o gráfico seguinte que representa a distribuição dos pesos dos gatinhos recém-nascidos num abrigo de animais. Sabendo que a distribuição é simétrica, indique visualmente qual é o valor da média populacional $\mu$.

Duas marcas de lâmpadas, "LuzEterna" e "BrilloMax", têm uma duração média de $1200$ horas. No entanto, o desvio padrão da "LuzEterna" é de $50$ horas, enquanto o da "BrilloMax" é de $150$ horas.

• Qual das duas marcas oferece um produto mais "homogéneo" ou regular na sua duração?

• Se tivesses de desenhar ambas as curvas de Gauss no mesmo eixo, qual delas seria mais alta e estreita?

No exame de admissão de Geografia, as notas seguiram uma distribuição $N(6,5; 1,2)$, enquanto em História seguiram uma $N(7,2; 1,2)$.

• Qual é o parâmetro idêntico em ambas as disciplinas?

• Explique o que significa esse parâmetro no contexto da "dispersão" das notas dos alunos.

A distribuição Normal Padrão é um caso especial muito utilizado em estatística para poder usar as tabelas de áreas. Indique quais são os valores fixos da sua média ($\mu$) e do seu desvio padrão ($\sigma$). Represente-a simbolicamente.

A seguir são mostradas duas curvas de distribuição normal que representam o tempo de carga de dois modelos de telemóvel diferentes. Ambas têm o mesmo desvio padrão. Qual dos dois modelos (A ou B) tem uma média populacional $\mu$ maior? Justifica a tua resposta com base na posição das curvas no eixo.

Um nutricionista afirma que o consumo diário de açúcar dos adolescentes de uma cidade segue uma distribuição normal. Se designarmos essa variável por $X \sim N(45, 8)$, em que os valores estão em gramas:

• Qual é o valor esperado do consumo de açúcar para um adolescente escolhido ao acaso?

• Qual é o parâmetro que indica se os dados estão muito agrupados perto desse valor ou muito dispersos?

Imagina que estás a comparar a precisão de duas máquinas que cortam ripas de madeira. A Máquina 1 corta com uma distribuição $N(100; 0,1)$ e a Máquina 2 com uma distribuição $N(100; 0,5)$ (em centímetros).

• Qual das duas máquinas é mais precisa?

• Relaciona o conceito de "precisão" com o valor do desvio padrão $\sigma$ numa distribuição normal.

A Maria analisa o gasto mensal em eletricidade dos agregados familiares do seu município, o qual segue uma distribuição normal $X \sim N(60, 12)$ em euros. Para o próximo ano, a companhia elétrica anuncia uma atualização de tarifas que transforma linearmente o custo mensal segundo a fórmula $Y = 1,05 \cdot X + 8$ (um aumento de $5\%$ no consumo mais $8$ € fixos de manutenção).\n\nA Maria afirma no seu relatório: «Como cada fatura é multiplicada por $1,05$ e se lhe somam $8$ €, os dois parâmetros mudam da mesma forma, pelo que a nova distribuição será $Y \sim N(1,05 \cdot 60 + 8,\ 1,05 \cdot 12 + 8) = N(71,\ 20,6)$».\n\na) Identifica o erro concetual cometido pela Maria e explica, do ponto de vista da dispersão dos dados, por que razão somar uma quantidade fixa não altera o desvio-padrão.\nb) Corrige o cálculo e escreve a distribuição normal correta que a variável $Y$ segue.

A partir de séries climáticas do IPMA, modela-se a temperatura máxima diária durante o mês de maio em duas cidades de Portugal continental através de distribuições normais: na cidade costeira A segue $X_A \sim N(21, 2)$ em °C, enquanto na cidade interior B segue $X_B \sim N(21, 5)$ em °C.\n\na) Interpreta o significado dos parâmetros $\mu$ e $\sigma$ em ambas as cidades: em qual delas o clima é mais regular ou previsível em maio? Relaciona a tua resposta com a largura e a altura das suas respetivas curvas de Gauss.\nb) Se uma associação quiser organizar uma corrida popular e precisar que a temperatura não ultrapasse os $25$ °C para evitar golpes de calor, em qual das duas cidades há maior probabilidade de ultrapassar esse limite? Justifica a tua resposta comparando a quantos desvios-padrão fica o valor de $25$ °C da média em cada cidade, sem necessidade de consultar tabelas.

Num jogo eletrónico popular de estratégia, os pontos de experiência obtidos pelos jogadores numa missão específica seguem uma distribuição normal de média $\mu = 4500$ pontos e desvio padrão $\sigma = 800$ pontos. Se os programadores querem conceder uma medalha especial apenas a $15\%$ dos jogadores que conseguirem as pontuações mais altas, a partir de quantos pontos começará a ser entregue essa medalha?

O tempo de carga completa de um novo modelo de trotinete elétrica segue uma distribuição normal $N(240, 20)$, em que o tempo é medido em minutos.

Um adolescente afirma que a sua trotinete demora habitualmente menos de $215$ minutos a carregar.

1. a) Calcule a probabilidade de uma trotinete escolhida ao acaso demorar menos desses $215$ minutos.
2. b) Se o fabricante melhorar a bateria e a nova distribuição passar a ser $N(230, 15)$, a probabilidade de demorar menos de $215$ minutos aumentou ou diminuiu? Justifique a sua resposta calculando a nova probabilidade.

Foi realizado um estudo sobre o tempo que os jovens entre $16$ e $18$ anos passam diariamente numa conhecida rede social de vídeos curtos. Sabe-se que esse tempo segue uma distribuição normal de média $\mu = 110$ minutos. Sabendo-se que $33\%$ dos utilizadores passam mais de $125$ minutos por dia na plataforma, calcule o valor do desvio padrão $\sigma$ dessa distribuição.

O peso das mochilas dos alunos de uma escola segue uma distribuição normal de média $\mu = 6,2$ kg e desvio padrão $\sigma = 1,4$ kg. Determine o intervalo característico centrado na média que compreenda $90\%$ dos pesos das mochilas dos alunos. Interprete o resultado obtido no contexto do problema.

As notas obtidas num teste de Matemática Aplicada às Ciências Sociais seguem uma distribuição normal $X \sim N(5,8; 1,2)$. Sem utilizar a tabela da normal para este item, e baseando-te nas propriedades de simetria da curva de Gauss, se sabemos que $P(X \leq k) = 0,72$, calcula justificadamente:

1. a) $P(X > k)$
2. b) $P(X \leq 5,8)$
3. c) $P(5,8 - (k - 5,8) \leq X \leq k)$

Uma empresa de entregas rápidas garante que o tempo de entrega dos seus pacotes numa cidade segue uma distribuição normal com um desvio padrão de $12$ minutos. Após analisar milhares de envios, observa-se que apenas $2,5\%$ dos pacotes demora mais de $75$ minutos a ser entregue. A partir desta informação, calcule o tempo médio ($\mu$) de entrega da empresa.

Apresentam-se a seguir dois gráficos que representam a distribuição da duração de dois tipos de lâmpadas LED de diferentes marcas, A e B. Ambas seguem uma distribuição normal.

1. a) Observando a forma das curvas, qual das duas marcas tem um maior desvio padrão? Justifica a tua resposta relacionando a dispersão com a forma da curva.
2. b) Se a marca A tem uma distribuição $N(25000, 2000)$ e a marca B uma $N(28000, 3500)$, calcula a probabilidade de uma lâmpada da marca A durar mais do que a duração média da marca B.

Numa estação de esqui, a espessura da neve durante o mês de janeiro segue uma distribuição normal de média $85$ cm e desvio padrão $18$ cm.

1. a) Qual é a probabilidade de que num dia de janeiro a espessura seja superior a $100$ cm?
2. b) Se para poder abrir uma pista preta é necessária uma espessura mínima de $x$ cm, e se sabe que essa pista está aberta em $70\%$ dos dias de janeiro, qual é essa espessura mínima $x$?

Uma cooperativa de azeite embala garrafões cujo volume em mililitros segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, 15)$. As normas de rotulagem exigem garantir que pelo menos $95\%$ dos garrafões contenham $1000$ ml ou mais (isto é, $P(X \ge 1000) = 0,95$, ou equivalentemente, $P(X < 1000) = 0,05$).\n\na) Estima: Antes de efetuar cálculos, justifica se a média $\mu$ à qual a máquina deve ser calibrada deve ser maior, igual ou menor que $1000$ ml. Sabendo que em qualquer normal o intervalo $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ concentra $68,26\%$ da produção e $(\mu - 2\sigma,\ \mu + 2\sigma)$ $95,44\%$, estima entre que valores aproximados se deveria situar $\mu$.\nb) Verifica: Calcula com precisão o valor que $\mu$ deve ter sabendo que numa normal padrão $Z \sim N(0,1)$ se verifica $P(Z \le 1,645) = 0,95$ (e por simetria, $P(Z \le -1,645) = 0,05$). Compara o resultado com a tua estimativa prévia e avalia se é coerente com a margem de segurança da cooperativa.

O tempo de entrega (em minutos) das entregas em hora de ponta de uma empresa de logística segue uma distribuição $X \sim N(40, 6)$. A direção estabelece um índice de custo operacional por atraso definido pela transformação linear $Y = 1,5 \cdot X - 30$ (em euros). Pretende-se calcular a probabilidade de o custo de uma entrega ultrapassar os $45$ €.\n\nDois membros da equipa propõem estratégias diferentes:\n- Método 1: Determinar primeiro os parâmetros da nova variável $Y$ aplicando a transformação linear $Y \sim N(a\mu+b,\ a\sigma)$ e padronizar depois diretamente o valor $45$ sobre a distribuição de $Y$.\n- Método 2: Isolar a partir da inequação $1,5 \cdot X - 30 > 45$ que tempo de entrega na variável original $X$ equivale a esse custo, e padronizar esse valor sobre $X \sim N(40, 6)$.\n\na) Aplica ambos os métodos detalhando os passos intermédios e verifica que ambos conduzem exatamente ao mesmo valor de $Z$ padronizado. Calcula essa probabilidade sabendo que $P(Z \le 1,67) = 0,9525$.\nb) Discute fundamentadamente qual dos dois métodos seria mais vantajoso e eficiente se a empresa necessitasse de calcular não só essa probabilidade, mas também os percentis $10$, $50$ e $90$ do custo $Y$.

O algoritmo de uma conhecida rede social analisa o tempo de permanência dos utilizadores a ver "reels". Comprovou-se que esse tempo segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Os analistas de dados determinaram que apenas $15,87\%$ dos utilizadores passam mais de $45$ minutos por dia, enquanto $2,28\%$ passam menos de $10$ minutos. Calcule de forma fundamentada o tempo médio de permanência ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) do comportamento dos utilizadores nessa rede social.

Uma empresa de entregas sustentáveis utiliza trotinetes elétricas para as suas entregas. A autonomia das baterias dessas trotinetes segue uma distribuição normal com média de $60$ km. Sabe-se que a probabilidade de uma trotinete ter uma autonomia superior a $75$ km é de $0,0668$. Devido a uma atualização do software, a autonomia de todas as trotinetes aumenta $10\%$ mais um extra fixo de $2$ km. Determine o desvio padrão original das baterias e os novos parâmetros (média e desvio padrão) após a atualização do software.

Num campeonato de desportos eletrónicos, a pontuação obtida pelos jogadores numa fase de qualificação segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. A comissão organizadora estabeleceu que o intervalo característico centrado na média para $95,44\%$ dos jogadores é $[1250, 1750]$ pontos.

1. Calcule a média e a variância da pontuação dos jogadores.

2. Se, para passar à final, é necessário estar no "top" $5\%$ dos melhores jogadores, qual é a pontuação mínima necessária?

Um fabricante de componentes para telescópios espaciais produz lentes cujo diâmetro segue uma distribuição normal. Pelo controlo de qualidade, sabe-se que a média é de $120$ mm. Para que uma lente seja aceite, o seu diâmetro deve estar no intervalo $[118, 122]$ mm. Se o fabricante deseja que $99,73\%$ da sua produção seja aceitável para evitar perdas económicas, qual deve ser o valor máximo do desvio padrão do processo de fabrico?

A pegada de carbono anual (em toneladas de $CO_2$) das habitações de uma cidade europeia segue uma distribuição normal. Observou-se que $33\%$ das habitações emitem menos de $4,5$ toneladas e $33\%$ das habitações emitem mais de $6,2$ toneladas.

1. Justifique se a distribuição é simétrica e calcule a pegada de carbono média da cidade.

2. Determine o desvio padrão da pegada de carbono dessas habitações.

O tempo que um aluno leva para concluir um exame de Matemática segue uma distribuição normal. Sabe-se que o tempo médio é de $70$ minutos. Se a probabilidade de um aluno terminar o exame em menos de $60$ minutos é a mesma que a probabilidade de levar mais de $k$ minutos, e sabe-se que a variância da distribuição é $25$, determine o valor de $k$ utilizando as propriedades dos parâmetros da normal.

Um estudo sobre o sono em adolescentes indica que o número de horas diárias de descanso segue uma distribuição normal. Se o valor da variância é numericamente igual à média, e sabe-se que a probabilidade de dormir mais de $10,36$ horas é de apenas $0,0228$, calcule o valor da média ($\mu$) e do desvio padrão ($\sigma$). (Nota: deverás resolver uma equação do segundo grau para $\sqrt{\mu}$).

Duas plataformas de streaming de música, "SoundCloud" e "Melody", competem pelo tempo de uso diário dos seus assinantes jovens.

• Na "SoundCloud", o tempo segue uma $N(45, 10)$.

• Na "Melody", o tempo segue uma $N(40, 15)$.

Se um utilizador é considerado "altamente ativo" quando supera $65$ minutos diários de reprodução:

1. Em qual plataforma é mais provável encontrar um utilizador "altamente ativo"?

2. Qual valor deveria ter o desvio padrão da "Melody" para que, mantendo a sua média em $40$, a percentagem de utilizadores "altamente ativos" fosse exatamente a mesma que na "SoundCloud"?

Num estudo sobre o salário mensal dos recém-licenciados em Ciências Sociais em Espanha, assume-se que a remuneração segue uma distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Após o processamento da informação de dois inquéritos de inserção profissional mediante padronização, a equipa de investigação formula o seguinte sistema de equações lineares para calcular os parâmetros da distribuição:\n$$\begin{cases} \mu - 1,28 \cdot \sigma = 1100 \\ \mu + 0,84 \cdot \sigma = 1600 \end{cases}$$\n\na) Problema inverso (reconstrução): Interpreta e deduz que dois dados probabilísticos ou percentuais sobre os salários de $1100$ € e $1600$ € deram origem a este sistema. Apoia-te no facto de que numa normal padrão $Z \sim N(0,1)$ se verifica $P(Z \le 1,28) = 0,90$ e $P(Z \le 0,84) = 0,80$.\nb) Resolve o sistema para determinar o salário médio $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$ do grupo.\nc) Se o Ministério do Trabalho considerasse um limiar salarial de $1300$ € e se verificasse que $25\%$ dos licenciados recebem um salário inferior a esse valor, escreve a equação linear em função de $\mu$ e $\sigma$ que modelaria este novo dado. (Dado da normal padrão: $P(Z \le 0,67) = 0,7486 \approx 0,75$).

O tempo de espera (em dias) para uma intervenção cirúrgica programada num serviço de saúde regional segue uma distribuição normal $X \sim N(90, 20)$. A lei de garantias estabelece um prazo máximo de $120$ dias; se o utente esperar mais do que esse tempo, a administração deve encaminhá-lo para um centro privado convencionado com o consequente sobrecusto público.\n\na) Modela a situação atual calculando a percentagem de utentes que devem ser encaminhados por ultrapassarem os $120$ dias. (Dado: $P(Z \le 1,5) = 0,9332$).\nb) A administração hospitalar dispõe de orçamento para aplicar apenas uma das duas medidas seguintes:\n- Plano A: Contratar reforços para o bloco operatório para reduzir a média em $10$ dias, mantendo a mesma dispersão organizacional ($X_A \sim N(80, 20)$).\n- Plano B: Uniformizar os protocolos de marcação e preparação pré-operatória para reduzir o desvio-padrão para metade, mantendo a média ($X_B \sim N(90, 10)$).\nCalcula a nova percentagem de encaminhamentos que se obteria com cada um dos planos. (Dados: $P(Z \le 2) = 0,9772$; $P(Z \le 3) = 0,9987$).\nc) Justifica matematicamente por que razão reduzir o desvio-padrão (Plano B) se revela muito mais eficaz para conter a percentagem de encaminhamentos do que reduzir a média (Plano A), analisando a rapidez com que as probabilidades decrescem na cauda de uma curva de Gauss ao afastar-se da média em unidades de $\sigma$.