Exercícios: Estimação pontual: estimadores, viés e quase-variância

Para estimar a altura média dos alunos do $2.º$ do ensino secundário de uma cidade, toma-se uma amostra aleatória de $5$ alunos, com estes resultados em centímetros: $165$, $170$, $172$, $168$, $175$.

• a) Calcule o estimador pontual da média populacional.

• b) Explique porque é que esse valor é apenas uma estimativa e não a média verdadeira.

Num inquérito a $300$ estudantes escolhidos ao acaso, $87$ afirmam ir para a escola de bicicleta.

• a) Qual é o estimador pontual da proporção populacional de estudantes que vão de bicicleta? Calcule-o.

• b) Exprima o resultado em percentagem e interprete-o.

Uma amostra aleatória de uma população deu os valores $4$, $6$, $5$ e $9$.

• a) Calcule a média amostral.

• b) Calcule a variância amostral (dividindo por $n$) e a variância amostral corrigida (dividindo por $n - 1$).

• c) Qual das duas é usada como estimador centrado da variância populacional? O que significa «centrado»?

Verdadeiro ou falso, justificando a resposta: «A média amostral é um estimador não enviesado da média populacional, ou seja, se tomássemos muitas amostras da mesma dimensão e calculássemos as suas médias, a média de todas elas coincidiria com a média da população».

O Marcos realizou um pequeno inquérito a $5$ colegas de turma sobre o número de horas semanais que dedicam ao estudo de Matemática, obtendo os valores: $4$, $6$, $5$, $8$ e $7$. Para estimar a dispersão de todos os alunos da sua escola, calcula a média amostral $\bar{x} = 6$ horas e, de seguida, calcula $s^2 = \frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (7-6)^2}{5} = \frac{4 + 0 + 1 + 4 + 1}{5} = 2$. O Marcos conclui no seu trabalho: «O estimador não enviesado da variância populacional das horas de estudo é exatamente $2$ horas quadradas».

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos comete ao considerar $s^2$ como um estimador não enviesado da variância populacional $\sigma^2$.
2. b) Explica por que razão a variância amostral calculada pelo Marcos tende a dar um valor que subestima a variância real da população. Que papel desempenham nessa subestimação os desvios em relação à média amostral face aos desvios em relação à média populacional $\mu$?
3. c) Corrige o cálculo do Marcos obtendo o valor do estimador não enviesado correspondente (a quase-variância $\hat{s}^2$) e calcula o quase-desvio-padrão amostral $\hat{s}$.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou as seguintes temperaturas máximas (em ºC) durante $6$ dias consecutivos de inverno numa localidade do interior: $8$, $12$, $7$, $11$, $9$ e $7$. Pretende-se utilizar esta amostra para realizar uma estimativa pontual da média e da variabilidade térmica populacional do período.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo formal, faz uma estimativa prévia fundamentada: indica um intervalo estreito onde acredites que cairá com certeza a média amostral $\bar{x}$ e argumenta se esperas que o quase-desvio padrão $\hat{s}$ seja mais próximo de $1$ ºC, de $2$ ºC ou de $5$ ºC, tendo em conta apenas a amplitude (diferença entre o valor máximo e mínimo) dos dados.
2. b) Calcula o estimador pontual não enviesado da temperatura média populacional ($\bar{x}$) e o estimador pontual não enviesado da variância populacional ($\hat{s}^2$, quase-variância). Arredonda os resultados a duas casas decimais.
3. c) Verifica se os valores obtidos coincidem com a tua previsão inicial da alínea a). A partir da quase-variância calculada, determina o quase-desvio padrão $\hat{s}$ e explica por que motivo, apesar de corrigir o viés na variância, $\hat{s}$ não é em geral um estimador estritamente não enviesado de $\sigma$.

Foram medidos os tempos de carga completa (em minutos) de $8$ telemóveis de uma mesma marca: $74$, $81$, $69$, $78$, $85$, $72$, $77$, $80$.

• a) Estime a média do tempo de carga desse modelo com um estimador não enviesado.

• b) Estime a sua variância com um estimador não enviesado (quase-variância).

• c) Calcule também o quase-desvio padrão e interprete ambos os resultados.

Numa amostra aleatória de $500$ clientes de uma cadeia de supermercados, $210$ declaram usar a aplicação da cadeia para fazer compras.

• a) Estime a proporção populacional de clientes que usam a aplicação.

• b) Calcule o erro máximo da estimação com uma confiança de $95\ \%$, usando $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Interprete o resultado: entre quais valores se encontra, com essa confiança, a verdadeira proporção?

Uma empresa quer estimar a média de uma população e um analista propõe como "estimador" tomar o valor máximo da amostra.

• a) Considere a população formada pelos valores $\{2, 4, 6\}$ e todas as amostras de tamanho $2$ com reposição. Calcule a média populacional e a média dos máximos de todas as amostras possíveis.

• b) Face ao resultado, este estimador é não enviesado? Explique o que é o enviesamento de um estimador a partir dos seus cálculos.

Seja a população formada pelos cinco valores $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• a) Calcule a média populacional $\mu$.

• b) Escreva todas as amostras de tamanho $2$ sem reposição e sem atender à ordem, e calcule a média de cada uma.

• c) Calcule a média dessas médias amostrais e verifique que coincide com $\mu$. Que propriedade do estimador «média amostral» é ilustrada por este resultado?

Num estudo sobre o custo da ementa do dia numa zona de escritórios do Porto, um estudante recolhe os preços de uma amostra aleatória de $n$ restaurantes. Após introduzir os dados numa folha de cálculo, obtém que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média amostral é $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = 36$. No entanto, uma falha informática apaga a lista de dados originais e apenas deixa registado que a quase-variância $\hat{s}^2$ supera a variância amostral $s^2$ em exatamente $0{,}5$ €$^2$.

1. a) Escreve a equação que relaciona a variância amostral $s^2$, a quase-variância $\hat{s}^2$ e o tamanho amostral $n$ a partir da soma de quadrados disponível, igualando a sua diferença a $0{,}5$.
2. b) Resolve a equação para reconstruir o tamanho original da amostra ($n$) e determina os valores numéricos exatos de $s^2$ e $\hat{s}^2$.
3. c) Se o tamanho amostral tivesse sido dez vezes maior mantendo idêntica a média de dispersão por dado, o que aconteceria à diferença $\hat{s}^2 - s^2$? Justifica que implicação prática isto tem ao trabalhar com amostras grandes em sociologia ou economia.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), investiga-se o número de viagens interurbanas mensais que a população ativa jovem realiza. Extrai-se uma primeira amostra piloto de $4$ jovens, com os seguintes dados: $1$, $3$, $5$ e $7$ viagens. Mais tarde, para verificar a estabilidade dos estimadores, recolhem-se $4$ observações adicionais que apresentam idêntica dispersão relativa, formando uma amostra alargada de $8$ jovens: $1$, $3$, $5$, $7$, $1$, $3$, $5$ e $7$.

1. a) Calcula para cada uma das duas amostras ($n=4$ e $n=8$): a média amostral ($\bar{x}$), a variância amostral ($s^2$) e a quase-variância ($\hat{s}^2$).
2. b) Modela matematicamente o viés da variância amostral analisando o quociente $\frac{\hat{s}^2}{s^2}$ em ambos os casos. Em qual das duas amostras é mais acentuado o viés de $s^2$? Que percentagem de subavaliação representa $s^2$ face a $\hat{s}^2$ quando $n=4$ e quando $n=8$?
3. c) Interpreta o resultado no contexto da conceção de inquéritos oficiais: por que motivo os organismos estatísticos se podem dar ao luxo de utilizar fórmulas não corrigidas de variância quando trabalham com milhares de inquiridos, mas devem ser muito rigorosos com a quase-variância em estudos de grupos reduzidos?

Para estimar a média $\mu$ de uma distribuição normal, propõem-se três estimadores baseados numa amostra aleatória: a média amostral, a mediana amostral e o ponto médio entre o mínimo e o máximo da amostra.

• a) Explique o que significa um estimador ser centrado (ou não enviesado) e discuta se é de esperar que os três o sejam numa distribuição simétrica como a normal.

• b) Explique o que é a eficiência de um estimador e raciocine qual dos três será, em geral, menos eficiente. Porque é que a média amostral costuma ser preferida?

Um portal imobiliário seleciona uma amostra de $6$ anúncios de quartos para arrendar num bairro, com estes preços mensais em euros: $450$, $520$, $480$, $510$, $465$, $495$.

• a) Estime o preço médio do bairro com um estimador não enviesado.

• b) Estime a variabilidade dos preços calculando a variância amostral corrigida e o desvio padrão amostral corrigido.

• c) Explique, com os números deste exercício, qual é a diferença entre dividir por $n$ e por $n - 1$, e porque é que a estimação não enviesada usa $n - 1$.

De uma urna com uma proporção desconhecida $p$ de bolas vermelhas, extraem-se $40$ bolas com reposição, e $14$ são vermelhas.

• a) Dá o estimador pontual de $p$ e o seu valor.

• b) Explica por que razão, se em vez de $40$ extrações fossem feitas $400$, o erro padrão da estimação ficaria dividido aproximadamente por $\sqrt{10}$. Usa a expressão do erro $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Que relação existe entre essa propriedade e a lei dos grandes números?

Seja $(x_1, x_2)$ uma amostra aleatória simples de tamanho $2$ de uma população com média $\mu$.

• a) Demonstre que o estimador $T = \frac{x_1 + x_2}{2}$ é centrado para $\mu$, isto é, que o seu valor esperado é $\mu$.

• b) Demonstre que o estimador $S = \frac{x_1 + x_2}{3}$ é enviesado e calcule o seu enviesamento em função de $\mu$.

• c) Proponha como corrigiria $S$ para torná-lo centrado.

Para estimar o tempo médio $\mu$ (em minutos) de espera nas paragens da rede de autocarros urbanos, planeia-se uma amostragem aleatória simples de tamanho $n=5$, da qual se obterão os tempos independentes $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$, todos com a mesma média $\mu$ e variância finita $\sigma^2$. A comissão técnica debate entre três métodos (estimadores) para estimar $\mu$:

• Método 1: A média amostral padrão, $\bar{X} = \frac{1}{5}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5)$.

• Método 2: Um estimador ponderado que dá mais peso às observações intermédias por considerar que os primeiros e últimos registos sofrem de distrações do observador: $\hat{\mu}_B = \frac{1}{8}(X_1 + 2X_2 + 2X_3 + 2X_4 + X_5)$.

• Método 3: Um estimador rápido que ignora as observações intermédias e faz a média apenas do primeiro e do último registo: $\hat{\mu}_C = \frac{1}{2}(X_1 + X_5)$.

1. a) Verifica analiticamente se os três métodos fornecem estimadores não enviesados da média populacional $\mu$.
2. b) Sabendo que para variáveis independentes $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$, calcula a variância de cada um dos três estimadores em função de $\sigma^2$.
3. c) A partir do conceito de eficiência estatística, compara os três métodos e justifica de forma conclusiva qual deles é o melhor estimador para este estudo e qual é o pior. Que custo tem a escolha do Método 3 face ao Método 1 em termos de precisão da estimativa?

Na apresentação de um estudo regional sobre o impacto do teletrabalho numa região de Portugal, uma consultora júnior (Valéria) expõe perante a administração pública as seguintes três conclusões:

1. «Para estimar a proporção $p$ de teletrabalhadores na região, inquirimos uma amostra de $n=100$ pessoas e obtivemos $\hat{p} = 0{,}22$. Como os dados do recenseamento regional indicam que o teletrabalho real é de $18\,\%$, o nosso estimador $\hat{p}$ tem um enviesamento de $+0{,}04$.»

2. «Se quadruplicarmos a amostra inquirindo $n=400$ pessoas, a margem de erro máximo admissível $E = z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ dividir-se-á por $4$, aumentando quatro vezes a nossa precisão.»

3. «Ao calcular a dispersão das horas semanais teletrabalhadas, utilizei a quase-variância $\hat{s}^2$ dividindo por $n-1 = 99$. Por conseguinte, ao calcular a sua raiz quadrada $\hat{s} = \sqrt{\hat{s}^2}$, obtivemos um estimador estritamente não enviesado do desvio padrão populacional $\sigma$.»

Como especialista em estatística que revê o relatório:

1. a) Contesta a conclusão 1 distinguindo de forma rigorosa entre o erro de estimativa numa amostra concreta e o conceito de enviesamento de um estimador.
2. b) Corrige a conclusão 2 demonstrando analiticamente através da fórmula da margem de erro por que fator exato se reduz $E$ quando o tamanho amostral passa de $n$ para $4n$.
3. c) Justifica por que razão a conclusão 3 é falsa à luz das propriedades dos estimadores, explicando por que motivo a raiz de um estimador não enviesado da variância não herda em geral a propriedade de não enviesamento para o desvio padrão.
4. d) Redige uma versão corrigida e tecnicamente irrepreensível para cada uma das três conclusões de Valéria.

Desafio do tema. Como estimar a realidade socioeconómica sem realizar um recenseamento completo? Vais investigar o rendimento médio municipal do teu distrito utilizando dados abertos do INE.

Fases do desafio:

1. Recolha e amostragem: Descarrega do INE uma tabela com pelo menos $40$ municípios do teu distrito e os respetivos rendimentos médios. Numa folha de cálculo, extrai duas amostras de tamanho $n = 10$: uma mediante amostragem aleatória simples e outra estratificada (por exemplo, segundo municípios com mais ou menos de $10\,000$ habitantes).

2. Estimação pontual: Calcula em cada amostra a média amostral $\bar{x}$, a variância amostral e a variância amostral corrigida $s^2$. Compara os resultados obtidos com os parâmetros reais da população ($\mu$ e $\sigma^2$) do conjunto dos $40$ municípios.

3. Relatório analítico: Elabora um relatório breve com uma tabela comparativa onde justifiques teoricamente por que razão a variância amostral corrigida é um estimador não enviesado de $\sigma^2$, e avalia qual dos dois planos amostrais proporcionou uma estimativa de $\mu$ com menor erro percentual (por exemplo, inferior a $3,5\,\%$).

Será valorizado:

• Rigor e representatividade na conceção dos dois procedimentos de amostragem.

• Precisão matemática no cálculo de estimadores e da variância amostral corrigida através de folha de cálculo.

• Clareza conceptual ao justificar o enviesamento e confrontar as estimativas com os parâmetros reais.