Exercícios: Modelização

O número de utilizadores ativos de uma nova rede social, em milhares, $t$ meses após o lançamento, é bem descrito pelo modelo logarítmico

$U(t) = 3 + 4 \ln(t + 1)$.

1. a) Quantos utilizadores tinha a rede social no lançamento?
2. b) Calcula $U(6)$, arredondado às décimas, e interpreta o resultado no contexto.
3. c) Compara o crescimento no primeiro mês, $U(1) - U(0)$, com o crescimento no sétimo mês, $U(7) - U(6)$. O que concluis sobre a velocidade de crescimento deste modelo?

A proporção de famílias portuguesas com acesso à Internet por fibra ótica, $t$ anos após 2018, é modelada pela função logística

$P(t) = \frac{0,95}{1 + 18 e^{-0,55 t}}$.

1. a) Qual é a capacidade (valor-limite) deste modelo? Interpreta-a no contexto do problema.
2. b) Que proporção de famílias tinha acesso à fibra ótica em 2018?
3. c) Calcula $P(4)$, com duas casas decimais, e interpreta o resultado.
4. d) Pode a proporção de famílias com fibra ótica ultrapassar 95 %, segundo este modelo? Justifica.

A propagação de uma gripe numa escola com 800 alunos é descrita pelo modelo logístico

$N(t) = \frac{800}{1 + 79 e^{-0,9 t}}$,

em que $N(t)$ é o número de alunos infetados $t$ dias após o primeiro caso detetado.

1. a) Quantos alunos estavam infetados no dia 0?
2. b) Se a situação evoluir sem medidas de contenção, para que valor tende o número de alunos infetados? Justifica.
3. c) Determina, usando logaritmos, o valor de $t$ para o qual metade dos alunos está infetada. Apresenta o resultado arredondado às décimas.
4. d) Explica, relacionando com a forma da curva logística, por que razão o número de novos casos por dia é máximo precisamente quando $N(t) = 400$.