Exercícios: Ficha técnica de pesquisas e leitura crítica

Uma sondagem eleitoral publica esta ficha técnica: «Universo: recenseamento eleitoral do distrito ($650\,000$ pessoas). Amostra: $1\,200$ entrevistas. Erro amostral: $\pm 2,8\ \%$. Nível de confiança: $95,5\ \%$».

• a) Explique o que significa cada um dos quatro dados.

• b) Qual é a relação entre o nível de confiança e a segurança de que o resultado real esteja dentro da margem de erro?

Verdadeiro ou falso, justificando a resposta: «Se um estudo foi feito com $1\,200$ pessoas e um nível de confiança de $95\ \%$, o seu resultado coincide exatamente com o valor verdadeiro de toda a população».

Um inquérito sobre hábitos de leitura indica $34\ \%$ de leitores diários com uma margem de erro de $\pm 3\ \%$ e um nível de confiança de $95 \%$.

• a) Entre que valores se encontra, com esse nível de confiança, a percentagem verdadeira de leitores diários?

• b) Uma manchete afirma: «Exatamente $34$ em cada $100$ pessoas leem diariamente». Corrija a manchete para que seja rigorosa.

Para conhecer o uso da biblioteca de uma escola de $900$ alunos, entrevista-se $50$ alunos de uma única turma, a que está na sala de estudo no primeiro horário.

• a) Identifique qual é o elemento da ficha técnica que falha: o universo, a amostra ou o cálculo do erro?

• b) Explique porque é que a amostra não é representativa e proponha como selecioná-la corretamente.

A Maria está a preparar um trabalho de investigação social e precisa de realizar dois inquéritos com um nível de confiança de $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) e uma margem de erro máxima de $\pm 3\,\%$ no caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$). Um dos inquéritos será dirigido à população de Lisboa (aproximadamente $3\,300\,000$ habitantes) e o outro à de Viseu (cerca de $300\,000$ habitantes). A Maria afirma: «Como a população de Lisboa é cerca de $11$ vezes maior do que a de Viseu, precisarei de entrevistar $11$ vezes mais pessoas em Lisboa para conseguir a mesma margem de erro».\n- a) Encontra o erro de raciocínio da Maria e explica por que razão ela está enganada, apoiando-te na fórmula do erro amostral $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.\n- b) Calcula o tamanho amostral necessário $n$ para cada uma das duas cidades sob as condições exigidas (arredonda para o número inteiro superior). O tamanho necessário da amostra varia entre as duas cidades?\n- c) Em que única situação o tamanho do universo influenciaria de forma apreciável o tamanho da amostra necessária?

Uma empresa de sondagens publica uma sondagem de opinião realizada a uma amostra aleatória de $n = 2\,500$ pessoas adultas em Espanha.\n- a) Antes de fazer cálculos detalhados, estima mentalmente a margem de erro amostral $E$ (em percentagem) que corresponde a essa amostra para um nível de confiança de $95\,\%$, aplicando a regra rápida do caso mais desfavorável $E \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$.\n- b) Calcula a margem de erro exata utilizando a fórmula $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{0,25}{n}}$ com $z_{\alpha/2} = 1,96$. Compara o resultado com a tua estimativa prévia e calcula a diferença entre os dois valores.\n- c) À vista dos resultados, avalia se a regra rápida $1/\sqrt{n}$ é uma ferramenta razoável e útil para que um cidadão comum interprete de forma crítica as fichas técnicas que aparecem na imprensa.

Um jornal digital traz a manchete: «$60\ \%$ dos jovens rejeita a nova aplicação da câmara municipal». Na letra miúda lê-se: inquérito a $80$ utilizadores de um fórum de reclamações sobre serviços municipais.

• a) Aponte todos os problemas metodológicos dessa manchete (seleção da amostra, dimensão e enviesamento).

• b) Estime, com a fórmula do erro $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{n}}$, a margem de erro que teria mesmo uma amostra aleatória dessa dimensão.

• c) Reescreva a manchete de forma honesta.

A ficha técnica de uma sondagem eleitoral diz: «Universo: $2\,400\,000$ eleitores. Amostra: $2\,400$ entrevistas aleatórias. Erro amostral: $\pm 2\ \%$. Confiança: $95\ \%$».

• a) Interprete cada dado da ficha.

• b) Raciocine, qualitativamente, porque é que o erro amostral depende do tamanho da amostra e quase nada do tamanho do universo.

• c) A sondagem dá $21\ \%$ para um partido e $22\ \%$ para outro. Pode afirmar-se que o segundo está à frente? Justifique com a margem de erro.

Numa reportagem sobre mobilidade urbana numa capital espanhola lê-se o seguinte título: «O apoio ao alargamento das ciclovias situa-se entre $55,5\,\%$ e $60,5\,\%$ da população». Na ficha técnica que acompanha a notícia indica-se unicamente: «Nível de confiança: $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). Amostragem aleatória simples. Caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$)».\n- a) A partir dos extremos do intervalo de confiança fornecido na notícia, reconstrói a proporção amostral estimada $\hat{p}$ e a margem de erro $E$ que a equipa sociológica utilizou.\n- b) Deduz a dimensão exata da amostra $n$ que foi entrevistada para elaborar o estudo (arredonda ao inteiro superior).\n- c) Um vereador afirma em conferência de imprensa: «Podemos assegurar com total certeza matemática que mais de metade da população apoia a medida». A sua afirmação é rigorosa do ponto de vista da inferência estatística? Justifica a tua resposta distinguindo entre certeza absoluta e nível de confiança.

O Instituto Municipal da Juventude de uma cidade com $50\,000$ jovens recenseados (de 18 a 30 anos) deseja estimar a taxa de emancipação juvenil através de um inquérito. Dispõem de uma subvenção máxima de $7\,200$ euros e o custo operacional de realizar e registar cada questionário presencial é de $8$ euros.\n- a) Se os técnicos exigirem um nível de confiança de $95,5\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 2$) e uma margem de erro máxima de $\pm 2,5\,\%$ no caso mais desfavorável ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$), calcula o número mínimo de entrevistas necessárias e determina de forma justificada se o orçamento atribuído é suficiente.\n- b) Dado o orçamento máximo disponível ($7\,200$ euros), calcula qual é a margem de erro mínima que podem permitir-se mantendo o nível de confiança de $95,5\,\%$.\n- c) Para recolher os dados, um técnico propõe colocar os inquiridores à porta da universidade pública da cidade a uma terça-feira às $11:00$. Modela uma proposta de amostragem alternativa que evite os enviesamentos deste procedimento e justifica que variáveis demográficas convém estratificar.

Duas sondagens sobre a mesma população e na mesma semana dão resultados diferentes para o mesmo acontecimento: a primeira estima $38\ \%$ com erro de $\pm 2\ \%$ (amostra de $2\,500$ pessoas) e a segunda, $34\ \%$ com erro de $\pm 4,5\ \%$ (amostra de $450$ pessoas), ambas a $95\ \%$ de confiança.

• a) Escreva os intervalos nos quais se encontraria o valor verdadeiro segundo cada sondagem e verifique se eles se sobrepõem.

• b) Explique, com a fórmula do erro, porque é que a segunda tem uma margem muito maior.

• c) Se uma manchete diz «as sondagens contradizem-se», isso está correto? Justifique a sua resposta.

Pretende-se estimar a percentagem de alunos da sua cidade ($25\,000$ alunos) que tomam o pequeno-almoço de forma adequada, com um erro máximo de $\pm 3\ \%$ e uma confiança de $95 \%$.

• a) Calcule a dimensão da amostra necessária no caso mais desfavorável ($p = q = 0,5$), usando $n = \frac{1,96^2 \cdot 0,25}{E^2}$.

• b) Descreva a população e um procedimento de amostragem que garanta a representatividade.

• c) Redija a ficha técnica completa do seu estudo tal como seria publicada.

Durante um debate sobre os horários comerciais numa região, dois órgãos de comunicação social publicam as respetivas sondagens no mesmo dia:\n- Método A (Sondagem online aberta): Uma estação de rádio convida a votar no seu site durante $24$ horas. Participam $40\,000$ utilizadores e $78\,\%$ opõem-se à abertura aos domingos. O meio publica na primeira página: «O erro para $40\,000$ respostas é de apenas $\pm 0,5\,\%$ a $95\,\%$ de confiança».\n- Método B (Amostragem probabilística): Um instituto de sondagens realiza entrevistas telefónicas a $1\,200$ pessoas selecionadas através de amostragem aleatória estratificada por idade e concelho. O resultado é de $54\,\%$ contra, com uma margem de erro de $\pm 2,8\,\%$ a $95\,\%$ de confiança ($z_{\alpha/2} = 1,96$, caso mais desfavorável).\n- a) Verifica analiticamente se o cálculo numérico do erro amostral no Método A ($E \approx 1/\sqrt{n}$) está correto para $n = 40\,000$ e explica por que razão aplicar essa fórmula matemática a essa sondagem constitui uma falácia metodológica.\n- b) Compara ambos os métodos e justifica qual dos dois fornece uma base científica válida para inferir a opinião da população da região. Analisa na tua resposta os conceitos de autosseleção, base de sondagem e representatividade.\n- c) Refuta formalmente a seguinte afirmação habitual em debates públicos: «Uma amostra voluntária de $40\,000$ cidadãos tem sempre maior rigor estatístico do que uma de apenas $1\,200$ pessoas, porque recolhe quase quarenta vezes mais opiniões reais».

Uma consultora sociológica realiza um estudo sobre hábitos de reciclagem numa região a partir de uma amostra aleatória representativa de $n = 1\,000$ pessoas, com um nível de confiança de $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). Na ficha técnica global figura um erro amostral de $E = \pm 3,1\,\%$ no caso mais desfavorável. A amostra é composta por $500$ mulheres e $500$ homens. Perante a pergunta sobre se separam os resíduos orgânicos, $53\,\%$ das mulheres e $47\,\%$ dos homens afirmam fazê-lo habitualmente.\nMarcos, analista em formação, escreve no seu relatório as seguintes duas conclusões:\n1. «Como o erro do inquérito é $\pm 3,1\,\%$, o intervalo de confiança para as mulheres é $[49,9\,\%; 56,1\,\%]$ e para os homens é $[43,9\,\%; 50,1\,\%]$».\n2. «Dado que ambos os intervalos se sobrepõem entre $49,9\,\%$ e $50,1\,\%$, fica formalmente demonstrado que não existe nenhuma diferença significativa entre o comportamento de mulheres e homens».\n- a) Aponta o erro cometido por Marcos no ponto 1. Calcula a margem de erro real para cada subgrupo ($n = 500$) no caso mais desfavorável a $95\,\%$ de confiança e escreve os intervalos de confiança corrigidos.\n- b) Refuta o raciocínio de Marcos no ponto 2 explicando os dois erros concetuais cometidos: por que razão a sobreposição de dois intervalos individuais não decide por si só se uma diferença é estatisticamente significativa e por que razão a ausência de significância estatística não equivale a demonstrar a igualdade.\n- c) Se a consultora desejasse que a margem de erro específica para o subgrupo de homens fosse de, no máximo, $\pm 2,5\,\%$ a $95\,\%$ de confiança (caso mais desfavorável), a quantos homens deveria entrevistar no total?

Desafio do tema. O teu meio reflete a realidade estatística nacional? Vais investigar uma estatística oficial sobre a juventude e confrontá-la com dados próprios.

1. Ficha técnica oficial: Consulta no site do INE ou da Pordata um estudo recente sobre hábitos juvenis (p. ex., percentagem de leitores frequentes ou prática desportiva semanal, $p_0$). Extrai e analisa os elementos da sua ficha técnica: dimensão amostral, nível de confiança e margem de erro admitida.

2. Amostragem e intervalo: Faz a $n = 30$ jovens do teu meio a mesma pergunta dicotómica. Numa folha de cálculo ou no GeoGebra, calcula a proporção amostral $\hat{p}$ e determina o intervalo de confiança para a proporção populacional a $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$).

3. Teste e leitura crítica: Formula um teste de hipóteses bilateral ($H_0: p = p_0$ vs. $H_1: p \neq p_0$) com um nível de significância $\alpha = 0,05$. Toma uma decisão estatística fundamentada. Por fim, elabora um relatório executivo de uma página onde discutas se o teu meio difere da média nacional, avaliando os enviesamentos da tua amostra face ao rigor do inquérito oficial.

Será valorizado:

• Identificação e análise crítica dos elementos da ficha técnica oficial.

• Rigor no cálculo do intervalo de confiança e desenvolvimento formal do teste com software.

• Qualidade da leitura crítica sobre enviesamentos de seleção, representatividade e conclusões.