Exercícios: Média e desvio padrão da BIN

Um estudo recente sobre hábitos digitais indica que $85\%$ dos adolescentes espanhóis entre 15 e 16 anos utilizam a autenticação de dois fatores nas suas contas de jogos eletrónicos. Se selecionarmos uma amostra aleatória de $20$ adolescentes:

1. a) Identifique os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição binomial que modela esta situação.
2. b) Calcule o valor esperado (média) do número de adolescentes que utilizam esse sistema de segurança na amostra.

Uma plataforma de streaming de música comprovou que a probabilidade de um utilizador "saltar" uma música recomendada pelo algoritmo antes de ela terminar é de $0,3$. Se numa tarde ouvires uma lista de $12$ músicas recomendadas:

1. a) Determine a média e a variância do número de músicas que se espera que sejam saltadas.
2. b) Calcule o desvio padrão e interprete qual a informação que ele fornece sobre a dispersão dos dados neste contexto.

Num centro de formação profissional, $40\%$ dos estudantes utilizam o transporte público para chegar à aula. Escolhe-se uma amostra de $50$ estudantes do centro de forma aleatória. Calcule o valor médio e o desvio padrão do número de estudantes que usam o transporte público nessa amostra.

Uma jogadora de basquetebol profissional tem uma percentagem de acerto em lances livres de $80\%$. Se num treino ela realiza uma série de $15$ lançamentos:

1. a) Qual é o número médio de cestos que se espera que ela converta?
2. b) Calcule o desvio padrão. O que aconteceria ao desvio padrão se a sua probabilidade de acerto fosse de $50\%$? Comprove com o cálculo.

Considere uma variável aleatória discreta $X$ que segue uma distribuição binomial $B(n, p)$. Se sabemos que o número de experiências é $n = 100$ e que o valor médio da distribuição é $\mu = 60$:

1. a) Determine o valor da probabilidade de sucesso $p$.
2. b) Calcule a variância desta distribuição.

Numa fábrica de componentes para smartphones, sabe-se que $2\%$ dos ecrãs táteis saem com algum pequeno defeito estético. Os ecrãs são enviados para as lojas em caixas de $250$ unidades.

1. a) Calcule o número médio de ecrãs defeituosos que encontraremos numa caixa.
2. b) Calcule o desvio padrão da variável "número de ecrãs defeituosos por caixa".

Lança-se um dado equilibrado de seis faces um total de $30$ vezes e regista-se o número de vezes que sai o número "6".

1. a) Defina a variável aleatória e a sua distribuição.
2. b) Calcule o valor esperado da variável e o seu desvio padrão. Arredonde os resultados às centésimas.

Um teste é composto por $10$ perguntas com três respostas possíveis cada uma, das quais apenas uma é correta. Se um aluno responde a todas as perguntas ao acaso:

1. a) Qual é o valor médio do número de respostas certas?
2. b) Se o aluno precisa de pelo menos $5$ respostas certas para ter positiva, o valor médio está acima ou abaixo desse mínimo? Justifique a sua resposta.

A Sofia está a analisar um lote de $n = 100$ declarações de IRS selecionadas ao acaso numa repartição das Finanças, onde a probabilidade de uma declaração conter deduções incorretas é $p = 0{,}2$. Para resumir o comportamento da amostra, efetua o seguinte cálculo no seu caderno:

«Média de declarações com erro: $\mu = 100 \cdot 0{,}2 = 20$.

Desvio-padrão: $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ declarações».

1. a) Identifica o erro conceptual cometido pela Sofia e explica por que razão o seu raciocínio está incorreto.
2. b) Corrige o cálculo e determina o verdadeiro desvio-padrão $\sigma$ da distribuição.
3. c) Determina o intervalo de valores típicos $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ com o valor correto e interpreta o seu significado para o inspetor da repartição.

Segundo dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), $30\,\%$ dos agregados familiares espanhóis residem em regime de arrendamento. Para um estudo sociológico local, seleciona-se uma amostra aleatória de $n = 80$ agregados familiares de um município.

1. a) Define a variável aleatória $X$ que conta o número de agregados familiares em regime de arrendamento na amostra e indica os parâmetros da distribuição binomial que a modela.
2. b) Calcula o número médio esperado de agregados familiares em arrendamento e o desvio-padrão da distribuição.
3. c) Determina o intervalo $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ de resultados mais prováveis. Se na amostra escolhida se encontrarem finalmente $35$ agregados familiares em arrendamento, pode considerar-se um resultado atípico de acordo com esse intervalo? Justifica a tua resposta.

Numa conhecida rede social, estimou-se que a probabilidade de um utilizador interagir com uma publicação de conteúdo cultural é $p = 0,18$. Se um influenciador lançar uma campanha que alcance um grupo de $n = 150$ seguidores:

1. a) Calcule o número esperado de seguidores que interagirão com a publicação e o seu desvio padrão.

1. b) Se o custo da campanha for de $50$ € fixos mais $2$ € por cada interação prevista (baseada na média), qual é o orçamento esperado para esta ação publicitária?

Uma variável aleatória discreta segue uma distribuição binomial $X \sim B(n, p)$. Sabe-se que a sua média é $\mu = 12$ e o seu desvio padrão é $\sigma = 3$.

1. a) Determine os valores dos parâmetros $n$ (número de ensaios) e $p$ (probabilidade de sucesso).

1. b) Justifique se esta distribuição poderia ser aproximada por uma distribuição normal, com base nos valores obtidos.

Dois jogadores de basquetebol, Alba e Bruno, treinam lances livres. A Alba tem uma probabilidade de acertar de $0,8$ e realiza $50$ lançamentos. O Bruno tem uma probabilidade de $0,6$, mas realiza $80$ lançamentos.

1. a) Qual dos dois jogadores tem um valor esperado maior de acertos?

1. b) Qual dos dois jogadores apresenta uma dispersão maior (desvio padrão) nos seus resultados? Interpreta o que isso significa em termos de regularidade no jogo.

Uma empresa de logística utiliza drones para a entrega de encomendas em centros urbanos. A probabilidade de um drone sofrer um atraso devido às condições meteorológicas é de $5\%$. Se num dia forem realizados $200$ voos independentes:

1. a) Calcule o valor da média e da variância do número de voos que chegam com atraso.

1. b) O protocolo de manutenção é ativado se num dia o número de atrasos superar o valor de $\mu + 2\sigma$. Calcule esse valor limite.

Num inquérito sobre hábitos de leitura realizado a $60$ adolescentes, sabe-se que o número esperado de leitores habituais de jornais digitais é de $21$.

1. a) Determine a probabilidade $p$ de um adolescente escolhido ao acaso ser leitor habitual de jornais digitais.

1. b) Calcule o desvio-padrão desta distribuição.

1. c) Se selecionarmos outra amostra em que o número de adolescentes duplique ($n=120$), como varia o desvio-padrão em relação à amostra original? Justifique a sua resposta com o cálculo.

Comprovou-se que $40\%$ dos alunos de um centro de idiomas fazem o exame oficial de nível B2. Se este ano há $100$ alunos matriculados:

1. a) Determine os parâmetros da variável $X$ que define o número de alunos que fazem o exame.

1. b) Nas distribuições binomiais, considera-se que os valores mais "típicos" ou prováveis se encontram no intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcule esse intervalo para este caso concreto.

O departamento de controlo de qualidade de uma fábrica de lâmpadas LED sabe que a probabilidade de uma unidade ser defeituosa é $p = 0,02$. As lâmpadas são embaladas em caixas de $n$ unidades.

1. a) Se se pretender que o número médio de lâmpadas defeituosas por caixa seja exatamente $1,6$, quantas lâmpadas deve conter cada caixa?

1. b) Com esse valor de $n$, calcule a probabilidade de numa caixa não haver nenhuma lâmpada defeituosa.

Seja $X$ uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial. Se o número de ensaios for $n = 25$ e a variância for $Var(X) = 4$:

1. a) Calcule os dois possíveis valores da probabilidade de sucesso $p$.

1. b) Para cada valor de $p$ encontrado, calcule a sua correspondente média $\mu$.

1. c) Se sabemos que a distribuição é assimétrica positiva (ou seja, o sucesso é menos provável do que o fracasso), com que valor de $p$ ficarias? Justifica a tua resposta.

Numa fábrica de componentes eletrónicos, a probabilidade de um microchip sair com defeito da linha de montagem é $p = 0{,}4$. Recolhe-se uma amostra de controlo de qualidade de $n = 5$ microchips.

Para calcular a média e o desvio-padrão do número de peças defeituosas na amostra, dois analistas propõem métodos distintos:

• Método A: Desenvolver a tabela de distribuição de probabilidade calculando $P(X = k)$ para cada $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ através da fórmula da binomial e aplicar depois as fórmulas gerais de variáveis discretas: $\mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ e $\sigma = \sqrt{\sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) - \mu^2}$.

• Método B: Aplicar diretamente as expressões $\mu = n \cdot p$ e $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$.

1. a) Aplica o Método B para calcular a média e o desvio-padrão deste lote.
2. b) Compara a eficiência de ambos os caminhos: conduzem exatamente ao mesmo valor numérico? Justifica por que razão o Método B é preferível e explica que dificuldades operacionais surgiriam com o Método A se o tamanho da amostra fosse $n = 150$.
3. c) Se a maquinaria for ajustada e a probabilidade de defeito descer para $p = 0{,}1$ mantendo $n = 5$, deduz (sem calcular a raiz quadrada numérica) se a dispersão $\sigma$ aumentará ou diminuirá em relação ao caso anterior, analisando o produto $p \cdot q$.

Uma consultora de transportes audita a pontualidade das linhas de autocarro urbano numa capital espanhola. No relatório executivo final, devido a um erro de paginação, apagaram-se os parâmetros originais $n$ e $p$ da distribuição binomial $B(n, p)$ do número de autocarros que chegam com atraso por cada turno. No entanto, no resumo de conclusões ainda se leem dois dados estatísticos: a média de atrasos é $\mu = 20$ autocarros e o desvio-padrão é $\sigma = 4$ autocarros.

1. a) Demonstra algebricamente que, a partir do quociente $\frac{\sigma^2}{\mu}$, é possível deduzir diretamente o valor de $q = 1 - p$ em qualquer distribuição binomial.
2. b) Utiliza essa relação para calcular a probabilidade $p$ de um autocarro se atrasar e o número total $n$ de autocarros revistos por turno na auditoria.
3. c) Supõe que o relatório apenas tinha indicado que $\sigma = 4$ e que a dimensão da amostra era $n = 100$. Escreve a equação que permite isolar $p$, encontra as suas duas soluções possíveis e explica por que razão existem dois valores distintos de $p$ que produzem exatamente o mesmo desvio-padrão.

Um criador de conteúdos numa rede social sabe que a probabilidade de um novo utilizador se inscrever no seu canal após ver um "short" é de $p = 0,12$. O algoritmo indica que, na sua última campanha, a média de novos inscritos foi de $18$ pessoas.

1. a) Determine o tamanho da amostra $n$ (número de visualizações) que o algoritmo analisou.
2. b) Calcule o desvio padrão desta distribuição.
3. c) Qual é a probabilidade de o número de inscritos ser exatamente igual à média?

Uma empresa de logística utiliza drones para a entrega de encomendas em cidades inteligentes. Sabe-se que a variável $X$ que define o número de entregas mal-sucedidas num lote de $n$ envios segue uma distribuição binomial. Após um estudo interno, comprovou-se que a média de falhas é de $4$ e a variância é de $3,2$.

1. a) Calcule os parâmetros $n$ e $p$ da distribuição.
2. b) Se for realizado um envio individual, qual é a probabilidade de a entrega ser bem-sucedida?
3. c) Qual é a probabilidade de, num lote de $n$ envios, nenhum falhar?

Um analista de cibersegurança está a estudar ataques de phishing. A probabilidade de um funcionário clicar num link malicioso é de $0,005$. O analista quer enviar uma campanha de teste a um grupo de funcionários de tamanho $n$.

Calcule o número mínimo de funcionários para os quais o e-mail deve ser enviado para que a probabilidade de pelo menos um deles clicar no link seja superior a $90\%$.

Num estudo sobre o uso de transporte sustentável, observou-se que o número de alunos que vão para a escola de trotinete elétrica, em grupos de $50$ pessoas, segue uma distribuição binomial $B(50,\,p)$, onde $p$ é a probabilidade de que um aluno use trotinete elétrica. O desvio-padrão desse número de utilizadores é $\sigma = 3$.

A figura mostra como varia o desvio-padrão $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ em função de $p$ e a reta $\sigma = 3$.

1. a) Encontra os dois valores possíveis da probabilidade $p$ de que um aluno use trotinete elétrica.

1. b) Sabendo que a trotinete é um transporte minoritário ($p < 0,5$), calcula a média de utilizadores numa amostra de $100$ alunos.

Um jogo eletrónico de estratégia tem uma probabilidade $p$ de obter um "item lendário" ao abrir um baú. Um jogador abre $200$ baús e observa que o desvio padrão da sua recompensa é o dobro do que seria se a probabilidade de sucesso fosse de $0,01$.

1. a) Escreva uma equação para encontrar o valor de $p$.
2. b) Determine a média de itens lendários esperada nos $200$ baús com essa $p$.

Lança-se uma moeda viciada $n$ vezes. Sabe-se que a probabilidade de obter cara é $p$. Se a média de caras obtidas é $15$ e o desvio padrão é $\sqrt{10}$, calcula:

1. a) A probabilidade $p$ de obter cara.

1. b) O número de lançamentos $n$ realizados.

1. c) A probabilidade de obter exatamente $2$ caras em apenas $5$ lançamentos.

Num controlo de qualidade de uma fábrica de lâmpadas LED, analisa-se o número de unidades defeituosas em caixas de um tamanho determinado. A variância de lâmpadas defeituosas por caixa é de $3,75$ e sabe-se que a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa é de $5\%$.

1. a) Quantas lâmpadas contém cada caixa?
2. b) Se o fabricante quiser reduzir o desvio padrão para metade, como deveria alterar o número de lâmpadas por caixa, mantendo a mesma qualidade de fabrico ($p$)?

Seja $X$ uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial $B(n, p)$. Sabe-se que a sua média é $\mu = 30$.

1. a) Qual é o valor mínimo que o seu desvio padrão pode assumir? Justifique a resposta raciocinando sobre os possíveis valores de $p$.
2. b) Se o desvio padrão for $\sigma = 5$, calcule a probabilidade de obter algum sucesso numa amostra de apenas $3$ indivíduos dessa mesma população.

Três institutos de investigação demográfica analisam a aceitação de três medidas sociais em Portugal utilizando amostras independentes da mesma dimensão, $n = 400$ pessoas cada uma:

• Medida 1: conta com uma proporção estimada de apoiantes de $p_1 = 0{,}10$ (muito minoritária).

• Medida 2: conta com uma proporção estimada de apoiantes de $p_2 = 0{,}48$ (muito dividida).

• Medida 3: conta com uma proporção estimada de apoiantes de $p_3 = 0{,}85$ (amplamente consensual).

1. a) Estima antes de calcular: Sem realizar operações numéricas, prevê e ordena fundamentadamente as três medidas da menor para a maior dispersão (desvio-padrão $\sigma$) na contagem de pessoas a favor. Justifica a tua previsão analisando as propriedades do produto $p \cdot (1 - p)$ e a sua simetria.
2. b) Calcula: Obtém o valor exato do desvio-padrão $\sigma$ para cada uma das três distribuições.
3. c) Verifica e avalia: Contrasta os resultados com a tua previsão inicial. De seguida, calcula o valor teórico máximo que $\sigma$ poderia atingir para qualquer amostra de $n = 400$ e deduz para que valor de $p$ seria alcançado. Por que razão uma votação muito renhida ($p \approx 0{,}5$) apresenta maior variabilidade de uma amostra para outra do que uma votação quase unânime?

Uma plataforma de comércio eletrónico analisa as reclamações por encomendas danificadas durante os envios na Península Ibérica. O número diário de encomendas danificadas segue um modelo binomial $B(n, p)$. A direção de logística exige que o coeficiente de variação da distribuição, definido como o quociente entre a dispersão e a média ($CV = \frac{\sigma}{\mu}$), não ultrapasse $5\,\%$ ($0{,}05$) para considerar que o processo diário é estatisticamente regular e previsível. Por registos históricos sabe-se que a probabilidade de uma encomenda chegar danificada é $p = 0{,}02$.

1. a) Obtém uma expressão simplificada do coeficiente de variação $CV$ em função exclusiva de $n$ e $p$.
2. b) Determina o número mínimo de envios diários $n$ que a plataforma deve gerir para cumprir o critério de regularidade ($CV \le 0{,}05$). Com esse valor mínimo de $n$, calcula a média e o desvio-padrão de encomendas danificadas por dia.
3. c) Supõe que durante um período de saldos é gerido um volume fixo de $n = 3600$ encomendas por dia, mas as condições de transporte pioram e a taxa $p$ pode variar entre $0{,}02$ e $0{,}50$. Para que valor de $p$ o número de ocorrências atingiria o seu maior desvio-padrão? Qual seria esse valor de $\sigma_{\max}$? Explica fundamentadamente que impacto operacional tem um $\sigma$ elevado no planeamento da equipa de apoio ao cliente.

Desafio do tema. De que forma o mercado de trabalho afeta os jovens do teu meio? Vais elaborar um relatório quantitativo para uma proposta municipal de emprego utilizando dados oficiais do INE.

1. Dados e modelo: Acede ao site do INE (EPA) e consulta a taxa de desemprego jovem da tua comunidade autónoma para fixar a probabilidade $p$ em valor decimal (por exemplo, $p = 0,28$). Define a variável $X$: «número de jovens desempregados numa amostra aleatória de $n = 8$ jovens», modelando-a como $X \sim B(8, p)$.

2. Cálculo e parâmetros: Justifica manualmente o cálculo de $P(X = 2)$ aplicando combinações: $\binom{8}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^6$. Em seguida, calcula os parâmetros estatísticos da distribuição: a média $\mu = n \cdot p$ e o desvio-padrão $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

3. Produto final: Utiliza o GeoGebra ou uma folha de cálculo para gerar o gráfico de barras da distribuição. Redige um relatório breve (uma página) interpretando $\mu$ e $\sigma$ no contexto real e propondo duas medidas de orientação profissional baseadas nos resultados.

Será valorizado:

• Rigor na obtenção do dado real do INE e na definição do modelo binomial.

• Correção no desenvolvimento manual com combinações e no cálculo de $\mu$ e $\sigma$.

• Qualidade do gráfico digital e coerência na interpretação socioeconómica do relatório.