Operaciones con funciones

Dadas las funciones $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina la expresión simplificada de la función suma $(f + g)(x)$ y de la función diferencia $(f - g)(x)$.

Una empresa de mensajería determina que sus ingresos mensuales (en pesos) están dados por la función $I(x) = 300x$, donde $x$ es el número de paquetes enviados. Por otro lado, sus costos totales se rigen por la función $C(x) = 100x + 24\,000$.

Obtén la expresión de la función beneficio $B(x) = (I - C)(x)$ y explica qué representa el término independiente de la función resultante en este contexto.

Un taller artesanal de repostería tiene dos tipos de costos mensuales. El costo de hornos y energía está dado por la función $F(x) = 10x^2 + 4\,000$, donde $x$ es el número de pasteles elaborados. Por otro lado, los costos de ingredientes y personal siguen la función $V(x) = 600x + 10\,000$.

Calcula la expresión de la función de Costo Total $C(x)$ como suma de ambas y determina el costo que representa para el taller elaborar 100 pasteles en un mes.

Un joven emprendedor vende playeras de diseño. Sus ingresos por la venta de $x$ unidades vienen dados por la función $I(x) = 25x$, mientras que los costos de producción son $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Encuentra la expresión analítica de la función Beneficio, definida como $B(x) = (I - C)(x)$. Indica cuántas playeras debe vender para que el beneficio sea nulo (punto de equilibrio).

Un estudio de mercado para una nueva aplicación para celular determina que la función de ingresos mensuales es $R(x) = 10\,000x - 40x^2$ y la función de costos es $C(x) = 2\,000x + 60\,000$, donde $x$ es el número de suscripciones premium vendidas.

1. Halla la función de beneficio neto $B(x) = (R - C)(x)$.

2. Determina el número de suscripciones necesarias para que el beneficio sea máximo utilizando las propiedades de las funciones cuadráticas.

3. ¿Para qué valores de $x$ la empresa entra en pérdidas? Resuelve la inecuación $(R - C)(x) < 0$.

Un estacionamiento del centro utiliza dos funciones para calcular el costo del estacionamiento. La función $f(x) = |x - 5|$ representa un ajuste por franja horaria y $g(x) = 2x + 3$ representa el precio base, donde $x$ es el número de horas estacionado.

1. Define la función suma $S(x) = (f + g)(x)$ como una función definida por partes.

2. Representa gráficamente $S(x)$ e identifica sus puntos de inflexión o cambios de pendiente.

3. Si un conductor deja su auto $x = 2$ horas, ¿cuál es el precio total? ¿Y si lo deja $x = 10$ horas? Comenta la diferencia de comportamiento de la función antes y después de $x = 5$.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ y $g(x) = x + 5$, calcula el dominio de la función producto $(f \times g)(x)$ y de la función cociente $(\frac{f}{g})(x)$. ¿Qué valores de $x$ deben excluirse en cada caso?

Dadas las funciones $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ y $g(x) = \frac{x - 1}{x}$.

Calcula la expresión simplificada de la función Cociente $Q(x) = (f / g)(x)$ y determina su dominio de definición, teniendo en cuenta las restricciones de las funciones originales y de la propia operación.

Considera las funciones $f(x) = 2x - 3$ y $g(x) = x^2 + 1$. Calcula el valor de las siguientes composiciones en los puntos indicados:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

En un laboratorio de biología, el número de individuos de una población de insectos en función del tiempo $t$ (en días) sigue la función $N(t) = 3t + 100$. Se ha observado que el área que ocupa dicha población (en $m^2$) depende del número de individuos según la función $A(n) = \sqrt{n}$.

Halla la función $(A \circ N)(t)$ que exprese el área ocupada en función del tiempo y calcula cuántos metros cuadrados ocuparán después de 25 días.

Una tienda online aplica un descuento del $15\%$ sobre el precio de sus productos, lo que se puede expresar como $d(x) = 0.85x$. Además, por cada compra se cobra una comisión fija de gestión de $2$ pesos, representada por $c(x) = x + 2$. En ambos casos, $x$ es el precio base del producto, en pesos.

El esquema muestra el orden en que se aplican las funciones en cada opción: en la Opción A primero se aplica el descuento y después la comisión; en la Opción B, al revés.

1. a) Halla la expresión de $(c \circ d)(x)$ y explica qué representa en el contexto del problema.
2. b) Halla la expresión de $(d \circ c)(x)$ y explica si el precio final es el mismo que en el apartado anterior.

Halla la expresión algebraica de la función compuesta $(g \circ f)(x)$ siendo $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = \sqrt{x - 1}$. Indica cuál es el dominio de la función resultante.

La figura muestra el esquema de la composición: el valor $x$ entra en $f$ y el resultado que sale de $f$ entra en $g$.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ y $g(x) = x^2 + 1$.

Obtén la expresión de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ y calcula su valor para $x = 2$. ¿Pertenece el valor $x = -2$ al dominio de esta nueva función? Justifica tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{x + 3}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, se pide realizar un estudio exhaustivo de su composición. La figura muestra la gráfica de $f$.

1. Determina la expresión algebraica de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcula de forma razonada el dominio de definición de $(g \circ f)(x)$. Ten en cuenta que para que la composición exista, $x$ debe pertenecer al dominio de $f$ y $f(x)$ debe pertenecer al dominio de $g$.

3. ¿Es posible calcular $(f \circ g)(0)$? Justifica tu respuesta analizando los dominios de ambas funciones.

Dada la función $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba que tu resultado es correcto realizando la composición $(f \circ f^{-1})(x)$ y verificando que obtienes la función identidad.

En el estudio de un mercado, la oferta de un producto depende del precio $p$ según la función $O(p) = 2p - 10$. Halla la función inversa $O^{-1}$, que permite conocer el precio necesario para obtener una cantidad determinada de oferta. ¿Cuál sería el precio si queremos que la oferta sea de 40 unidades?

Dada la gráfica de la función $f(x) = x + 3$, dibuja de forma esquemática su función inversa $f^{-1}(x)$ utilizando la simetría respecto a la recta $y = x$. Escribe la expresión analítica de ambas funciones.

En la figura tienes la gráfica de $f$ (en azul) y la recta $y = x$ (discontinua, en naranja). Cada marca de los ejes corresponde a una unidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la función $f(x) = \sqrt{2x - 6}$.

1. a) Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Determina el dominio y el recorrido tanto de $f(x)$ como de $f^{-1}(x)$ y comprueba la relación existente entre ellos.

Halla la función inversa de $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3}$. Una vez obtenida, realiza las siguientes comprobaciones para verificar que tu cálculo es correcto:

1. a) Calcula $(f \circ f^{-1})(x)$.
2. b) Comprueba que el punto $(4, 13)$ pertenece a la gráfica de $f$ y que el punto $(13, 4)$ pertenece a la de $f^{-1}$.

Considera la función exponencial $f(x) = 3 \times 2^{x-1} + 4$.

1. Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ despejando la variable $x$ paso a paso.

2. Determina el dominio y el recorrido tanto de $f(x)$ como de $f^{-1}(x)$. Explica la relación que existe entre el recorrido de una y el dominio de la otra.

3. Comprueba analíticamente que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de altura definida por la función $h(t) = -t^2 + 10t - 16$, donde $h$ es la altura en decenas de metros y $t$ es el tiempo en minutos desde que se activa el sensor, con $t \in [2, 8]$. En la figura se muestra la gráfica de la trayectoria.

1. a) Explica por qué la función $h(t)$ no tiene inversa en todo su dominio $[2, 8]$.

1. b) Restringe el dominio de $h(t)$ al intervalo donde el dron está descendiendo para que la función sea inyectiva.

1. c) Calcula la expresión de la función inversa $h^{-1}(x)$ para dicho intervalo de descenso. ¿Qué información nos proporciona esta función inversa en el contexto del problema?

En el mercado de valores, el precio de una acción $P$ (en pesos) depende del índice de confianza $I$ según la función $P(I) = \frac{40I}{I + 10}$. A su vez, el índice de confianza depende de la inversión en tecnología $x$ (en millones de pesos) mediante $I(x) = \sqrt{x} + 2$.

1. Obtén la función $(P \circ I)(x)$ que relaciona directamente el precio de la acción con la inversión en tecnología.

2. Calcula la inversión necesaria para que el precio de la acción sea de $20$ pesos.

3. Determina la función inversa $(P \circ I)^{-1}(y)$. ¿Qué restricciones debe tener $y$ para que esta inversa tenga sentido físico en este mercado?

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

y la función lineal $g(x) = x - 2$.

1. Determina la expresión de la función compuesta $(f \circ g)(x)$. Ten cuidado, ya que el resultado será también una función definida a trozos y los intervalos de definición de $f$ se verán afectados por la traslación de $g$.

2. Calcula los puntos de corte de $(f \circ g)(x)$ con el eje de abscisas ($OX$).

3. Estudia la continuidad de la función resultante $(f \circ g)(x)$ en el punto donde cambia su definición.

En un laboratorio de biología, la población de una bacteria en un tiempo $t$ (horas) viene dada por la función $P(t) = \frac{100}{1 + 9 \times e^{-0.5t}}$. La gráfica muestra la evolución de $P(t)$ durante las primeras 12 horas.

1. Si llamamos $f(t) = e^{-0.5t}$, expresa $P(t)$ como una combinación de operaciones básicas (suma, producto, cociente) entre funciones constantes y la función $f(t)$.

2. Calcula el tiempo $t$ necesario para que la población alcance las 50 bacterias. Para ello, deberás invertir la función $P(t)$ de forma algebraica.

3. ¿Cuál es el límite de la población cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to \infty$)? Interpreta el resultado desde el punto de vista de las operaciones con funciones (qué ocurre con el denominador al crecer $t$).