Aproximación de la binomial mediante la normal

Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de acierto de $p = 0.8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable binomial $X$ (número de aciertos) por una distribución normal.

1. a) Comprueba si se cumplen las condiciones $n \times p \ge 5$ y $n \times q \ge 5$.
2. b) En caso afirmativo, indica cuáles serían los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de la nueva distribución normal $X'$.

Se lanza una moneda equilibrada ($p = 0.5$) al aire $400$ veces. Calcula la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal (sin aplicar todavía la corrección de continuidad).

Paso 1: Calcula la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$.

Paso 2: Tipifica el valor $X = 190$ y busca en la tabla.

En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han apuntado $400$ nuevos usuarios, calcula, utilizando la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que se den de baja exactamente $65$ usuarios.

Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$ hogares:

1. a) Justifica por qué se puede aproximar este experimento por una distribución normal.
2. b) Calcula la probabilidad de que, en esa muestra, separen el plástico entre $40$ y $50$ hogares (ambos inclusive).

Se ha realizado una encuesta sobre hábitos deportivos y se sabe que el $30\%$ de los adolescentes mexicanos practica algún deporte de equipo federado. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $200$ adolescentes:

1. a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que practican un deporte de equipo federado" mediante una distribución normal.
2. b) Utilizando dicha aproximación (con la corrección de continuidad de Yates), calcula la probabilidad de que más de $70$ adolescentes de la muestra practiquen un deporte de equipo federado.

Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 400 adolescentes:

1. a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren el formato digital" mediante una distribución normal.
2. b) Calcula, utilizando la aproximación anterior y realizando la corrección de continuidad, la probabilidad de que prefieran el formato digital entre 270 y 290 adolescentes (ambos inclusive).

Se lanza una moneda trucada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener:

1. a) Exactamente 200 caras.
2. b) Más de 215 caras.
3. c) Menos de 185 caras.

Nota: Utiliza la aproximación a la normal con la corrección de continuidad de Yates.

El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja:

1. a) Haya exactamente 10 piezas defectuosas.
2. b) Haya más de 15 piezas defectuosas.
3. c) El número de piezas defectuosas sea menor o igual a 5.

Argumenta si los resultados serían significativamente distintos si no se aplicara la corrección de continuidad.

En un examen de tipo test con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. Sea $X$ el número de preguntas que acierta. Puedes aproximar la distribución de $X$ por una normal con la misma media y la misma desviación típica.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
2. b) Si para aprobar el examen se necesita obtener al menos 40 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
3. c) Calcula el intervalo $(np - 2\sigma,\ np + 2\sigma)$, donde $n$ es el número de preguntas, $p$ la probabilidad de acertar una pregunta al azar y $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ la desviación típica de $X$. Interpreta su significado en este contexto.

Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio concreto hay 600 inscritos:

1. a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que nunca acuden esté entre 110 y 135 inclusive.
2. b) Si el gimnasio decide lanzar una campaña de motivación para estos clientes si el número de "inactivos" supera los 140, ¿qué probabilidad hay de que tengan que lanzar dicha campaña?
3. c) ¿Cuál es el número máximo de clientes inactivos que se espera encontrar con una probabilidad del 90 %?

En una red social de microblogging, la probabilidad de que un mensaje publicado se convierta en "viral" (más de $10,000$ compartidos) es de $0.004$. Un analista de datos estudia una muestra aleatoria de $2,500$ mensajes publicados en un día.

Utilizando la aproximación de la distribución binomial a la normal (con la corrección de continuidad correspondiente), calcula la probabilidad de que en esa muestra:

1. a) Haya exactamente $12$ mensajes virales.
2. b) Haya entre $8$ y $15$ mensajes virales (ambos inclusive).