Funciones lineales: interpolación

La siguiente tabla muestra la temperatura de un horno industrial a medida que se calienta de forma constante:

Utiliza la interpolación lineal para estimar la temperatura del horno cuando han transcurrido $12$ minutos desde el encendido.

Una empresa de renta de scooters eléctricos cobra un cargo fijo por desbloquear el vehículo y una tarifa constante por cada minuto de uso. Un usuario pagó $90$ pesos por un trayecto de $15$ minutos, mientras que otro pagó $150$ pesos por un trayecto de $35$ minutos.

Encuentra la ecuación de la función lineal que relaciona el costo del servicio ($y$) con el tiempo de uso en minutos ($x$).

El costo total de producir playeras personalizadas para una graduación incluye un costo fijo por el diseño y un costo variable por cada unidad fabricada. Sabemos que $50$ playeras cuestan $8\,200$ pesos y que $120$ playeras cuestan $16\,600$ pesos.

1. Calcula el costo de fabricar $85$ playeras utilizando la técnica de interpolación lineal.

2. Identifica, a partir de la recta obtenida, cuál es el costo fijo (ordenada al origen) y el costo por cada playera adicional (pendiente).

3. Si el presupuesto máximo del grupo es de $12\,000$ pesos, ¿cuál es el número máximo de playeras que pueden encargar?

Un jardinero observa que el crecimiento de una especie de bambú es lineal durante sus primeras semanas. Si a los $10$ días medía $45$ cm y a los $20$ días medía $75$ cm:

1. Determina la función lineal que modela la altura del bambú en función del tiempo.

2. Realiza una extrapolación lineal para predecir qué altura tendrá la planta a los $25$ días.

Se sabe que la relación entre la longitud de la frenada de un auto ($d$) y su velocidad ($v$) es aproximadamente lineal en ciertos tramos de velocidad baja. Si a $20$ km/h la frenada es de $4$ metros y a $40$ km/h es de $12$ metros:

1. ¿Cuál sería la longitud de frenada estimada para una velocidad de $30$ km/h?

2. Si un auto ha dejado una marca de frenada de $10$ metros, ¿a qué velocidad circulaba aproximadamente? (Usa interpolación).

Un auto eléctrico consume energía de su batería de forma proporcional a la distancia recorrida. Al salir de la cochera con el $100\,\%$ de carga, tras recorrer $120$ km, la batería marca un $64\,\%$ de carga restante.

1. Expresa la función lineal que indica el porcentaje de batería que queda en función de los kilómetros recorridos.

2. Si el conductor decide parar a recargar cuando le quede el $15\,\%$ de batería, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en total según la interpolación?

3. Mediante extrapolación, determina qué porcentaje de batería marcaría tras un viaje de $300$ km. ¿Tiene sentido físico el resultado obtenido? Justifica tu respuesta.

Dos plataformas de música ofrecen los siguientes planes mensuales:

• Plan A: $100$ pesos de cuota fija más $4$ pesos por cada canción descargada.

• Plan B: Sin cuota fija, pero $12$ pesos por cada canción descargada.

• Escribe la función de costo para cada plan.

• Representa ambas funciones en una misma gráfica y localiza gráficamente el "punto de equilibrio" (donde ambos planes cuestan lo mismo).

Los organizadores de un festival de música urbana han observado la relación entre el precio de la entrada y el número de abonos vendidos. Si el precio es de $45$ pesos, se venden $3\,200$ abonos. Si el precio sube a $60$ pesos, las ventas bajan a $2\,450$ abonos.

1. Halla la ecuación de la demanda suponiendo que es una función lineal.

2. Estima cuántos abonos se venderían si se fijara un precio "intermedio" de $52$ pesos.

3. ¿A partir de qué precio la demanda sería nula según este modelo de extrapolación?

Las leyes de oferta y demanda de un producto se han modelado linealmente a partir de los siguientes datos recogidos en un estudio de mercado:

• A un precio de $\$300$, se ofrecen $200$ unidades y se demandan $500$.

• A un precio de $\$500$, se ofrecen $400$ unidades y se demandan $300$.

1. a) Calcula las funciones de oferta $O(p)$ y demanda $D(p)$ mediante interpolación lineal.

1. b) Encuentra el precio de equilibrio (donde la oferta es igual a la demanda) y la cantidad de equilibrio.

1. c) Si el gobierno impone un precio máximo de $\$360$, ¿habrá exceso de oferta o escasez de demanda? Calcula la diferencia exacta de unidades.

Se quieren interpolar los puntos $(0, 1)$, $(1, 4)$ y $(2, 9)$ con una parábola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones con incógnitas $a$, $b$ y $c$.

1. b) Comprueba que $a = 1$, $b = 2$ y $c = 1$ es solución del sistema y escribe la parábola interpoladora.

La figura muestra una parábola que pasa por los puntos $(1, 3)$, $(3, 7)$ y $(5, 5)$.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones que deben cumplir $a$, $b$ y $c$ para que $y = ax^{2} + bx + c$ pase por los tres puntos, y resuélvelo.

1. b) Usa la parábola obtenida para estimar el valor de $y$ en $x = 4$ (el marcado con «?» en la figura).

1. c) Comprueba con la gráfica que la estimación es coherente.

La figura muestra los puntos $(0, 2)$, $(1, 5)$ y $(2, 10)$, la recta que interpola los dos primeros y la parábola que interpola los tres.

1. a) Halla la recta de interpolación lineal que pasa por $(0, 2)$ y $(1, 5)$.

1. b) Halla la parábola $y = ax^{2} + bx + c$ que pasa por los tres puntos.

1. c) Calcula la predicción de cada modelo para $x = 3$ y su diferencia. Si los datos fueran el importe de una factura eléctrica que crece cada vez más deprisa por los tramos de consumo, ¿qué modelo te parece más fiable? Razona la respuesta.

La promotora de un concierto ha probado tres precios de entrada con resultados distintos: a $\$10$ vendió $400$ entradas; a $\$20$, $700$; y a $\$30$, $600$. La figura muestra los datos y la parábola de interpolación.

1. a) Halla la parábola $y = ax^{2} + bx + c$ que interpola los tres puntos (precio, entradas vendidas).

1. b) Estima cuántas entradas vendería a $\$25$.

1. c) Según el modelo, ¿qué precio maximiza el número de entradas vendidas? Calcula el vértice de la parábola e interpreta el resultado.

Un día de verano se han medido las temperaturas de una ciudad: a las $8$ h, $12$ °C; a las $14$ h, $24$ °C; a las $20$ h, $18$ °C.

1. a) Tomando $t = 0$ en las $8$ h, halla la parábola $T(t) = at^{2} + bt + c$ que interpola los tres datos.

1. b) Según el modelo, ¿a qué hora se alcanzó la temperatura máxima y cuánto valió?

1. c) ¿Qué temperatura predice el modelo para las $2$ h de la madrugada siguiente ($t = 18$)? ¿Es razonable? Comenta los límites de la interpolación cuando se usa para extrapolar fuera del rango de los datos.

La tabla muestra los primeros valores de una sucesión:

• $n$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $a_n$: $4$, $9$, $18$, $31$, $48$

1. a) Calcula las primeras diferencias (cada término menos el anterior) y las segundas diferencias (diferencias de las diferencias). ¿Qué observas en las segundas?

1. b) Justifica que si las segundas diferencias son constantes, la sucesión sigue un modelo cuadrático $a_n = an^{2} + bn + c$, y halla ese modelo.

1. c) Calcula $a_6$ con el modelo y compruébalo prolongando las diferencias.