Dominio, recorrido, simetría, periodicidad, intersecciones y signo

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones analíticas:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Determina el dominio de las siguientes funciones logarítmicas recordando que el argumento debe ser estrictamente mayor que cero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

Dada la función $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcula:

1. Su dominio de definición.

2. Las intersecciones con los ejes $OX$ y $OY$.

3. Encuentra el valor de $x$ para el cual la imagen es $y = 1$.

4. Razona si el valor $y = 2$ pertenece al recorrido de la función.

Un equipo de biólogos está estudiando la viabilidad de una población de microorganismos en un entorno controlado. La tasa de crecimiento potencial de la colonia, en función de la temperatura del agua $x$ (en grados Celsius), viene modelada por la expresión:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\ln(x - 5)}$$

Determina de forma razonada el dominio de definición de esta función, teniendo en cuenta las restricciones de la raíz cuadrada, del logaritmo neperiano y del denominador de la fracción. Interpreta el resultado indicando a partir de qué temperatura es posible empezar el experimento.

Un dispositivo inteligente registra el nivel de batería de un celular a lo largo de una mañana. La función $B(t)$ representa el porcentaje de carga en función del tiempo $t$ (en horas) transcurrido desde las 8:00 h.

Observando la gráfica, indica:

1. El dominio de la función (intervalo de tiempo registrado).

2. El rango o imagen (valores mínimo y máximo de batería).

3. ¿En qué momentos la batería se mantiene constante?

Una plataforma de streaming ofrece dos planes mensuales. El plan "Premium" cuesta 300 pesos fijos al mes e incluye 100 horas de contenido. A partir de la hora 100, el usuario debe pagar 10 pesos por cada hora adicional.

1. Escribe la expresión analítica de la función definida por partes que relaciona el costo mensual $C$ con las horas de visualización $h$.

2. Representa gráficamente la función.

3. Determina el rango de la función si el máximo de horas que un usuario puede visualizar al mes es de 300.

Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de las siguientes funciones mediante el cálculo de $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Determina algebraicamente si las siguientes funciones presentan algún tipo de simetría (par, impar o ninguna):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Dada la siguiente gráfica que representa el ritmo respiratorio de un deportista en reposo (volumen de aire en litros frente al tiempo en segundos), identifica razonadamente si la función es periódica y, en caso afirmativo, indica cuál es su período.

La altura de una cabina en una noria respecto al suelo, en metros, viene dada por una función periódica. Observa el esquema de un ciclo completo:

Si la noria tarda 8 minutos en dar una vuelta completa y la altura mínima es de 2 metros y la máxima de 25 metros:

1. Indica cuál es el periodo de la función.

2. Determina el recorrido de la función altura.

3. Si empezamos a contar el tiempo en el punto más bajo, ¿cuál será la altura a los 4 minutos? ¿Y a los 12 minutos?

Halla los puntos de intersección con los ejes de coordenadas para la función cuadrática que representa el beneficio de una pequeña tienda de playeras:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(Donde $x$ es el precio en pesos y $B(x)$ el beneficio en cientos de pesos).

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina:

1. a) El valor de las intersecciones con el eje $Y$ y con el eje $X$.

1. b) Los intervalos donde la función es positiva.

Estudia el signo de la función lineal $f(x) = 3x - 9$. Para ello:

1. Calcula el punto donde la función se anula (punto de corte con el eje $X$).

2. Indica en qué intervalo de $x$ la función es positiva ($f(x) > 0$) y en cuál es negativa ($f(x) < 0$).

Dada la función analítica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, realiza las siguientes tareas:

1. Determina el dominio de definición de la función, expresando el resultado en forma de intervalo.

2. Calcula los puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

3. Estudia el signo de la función en su dominio.

Estudia los puntos de corte con los ejes y el signo de la función logarítmica:

$$f(x) = \log_{2}(x^2 - 3)$$

Nota: Recuerda que para estudiar el signo debes tener en cuenta el dominio de la función.

Un sismógrafo ha registrado la intensidad de una réplica tras un pequeño terremoto. La gráfica de la intensidad $I$ (en grados) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la siguiente imagen:

A partir de la gráfica, identifica:

1. El dominio y el recorrido (imagen) de la función.

2. Los intervalos donde la intensidad es positiva.

3. ¿Existe algún momento en el que la intensidad sea nula? Indica los valores de $t$.

Analiza la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{si } -2 \leq x \leq 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

1. Calcula $f(-4)$, $f(0)$ y $f(5)$.

2. Estudia la continuidad en los puntos de salto $x = -2$ y $x = 2$.

3. Determina los intervalos donde la función tiene signo negativo.