La distribución normal

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 10$. Realiza el proceso de tipificación para calcular la probabilidad $P(X < 65)$.

Indica claramente el valor de la variable transformada $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ antes de buscar en la tabla.

Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas siguen una distribución normal con una media de $6.2$ puntos y una desviación típica de $1.5$ puntos. Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que su nota sea superior a $7$.

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtén las siguientes probabilidades directas:

1. a) $P(Z < 1.45)$
2. b) $P(Z \le 0.38)$
3. c) $P(Z < 2.01)$

En una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, aprovecha las propiedades de simetría de la campana de Gauss para calcular las siguientes probabilidades:

1. a) $P(Z > 0.82)$
2. b) $P(Z \ge 1.96)$
3. c) $P(Z > 2.5)$

Recuerda que $P(Z > k) = 1 - P(Z \le k)$.

Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular:

1. a) $P(Z < 1.45)$
2. b) $P(Z > 0.82)$
3. c) $P(Z \le -1.24)$
4. d) $P(-0.5 < Z < 1.72)$

Halla la probabilidad de que una variable normal estándar $Z$ se encuentre en los siguientes intervalos:

1. a) $P(0.5 < Z < 1.5)$
2. b) $P(1 \le Z \le 2.33)$

Ilustra el apartado a) dibujando un esquema de la curva normal y sombreando el área correspondiente.

Haciendo uso de las propiedades de simetría de la distribución normal estándar $N(0,1)$, determina las siguientes probabilidades para valores negativos de la variable:

1. a) $P(Z \leq -0.74)$
2. b) $P(Z < -1.25)$
3. c) $P(Z \geq -0.58)$
4. d) $P(Z > -2.03)$

Demuestra algebraicamente que para cualquier variable $Z \sim N(0, 1)$ y cualquier valor real $k > 0$, se cumple que $P(-k \le Z \le k) = 2 \times \Phi(k) - 1$.

Posteriormente, utiliza esta fórmula para hallar la probabilidad de que $Z$ se encuentre a una distancia de la media superior a $1.645$ desviaciones típicas.

Calcula de forma razonada, utilizando las propiedades de la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, el valor de las siguientes probabilidades sin usar directamente la tabla para los valores negativos (usa solo la tabla para valores positivos):

1. a) $P(|Z| \ge 1.25)$
2. b) $P(-0.5 \le Z \le 0.5)$
3. c) $P(Z \le -1.96 \cup Z \ge 1.96)$

El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye según una ley normal de media $150$ gramos y desviación típica $15$ gramos. Si se consideran "manzanas de tipo A" aquellas que pesan entre $135$ y $165$ gramos, calcula la probabilidad de que una manzana elegida al azar sea de tipo A.

El tiempo que los adolescentes de una preparatoria dedican diariamente a jugar videojuegos sigue una distribución normal de media $\mu = 110$ minutos y una desviación estándar $\sigma = 25$ minutos. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Juegue más de dos horas al día.
2. b) Juegue entre 90 y 130 minutos.
3. c) Juegue menos de 60 minutos.

En una envasadora de refrescos, el contenido de las latas sigue una distribución normal de media $33$ cl y desviación típica $0.5$ cl.

1. a) Calcula la probabilidad de que una lata contenga menos de $32.2$ cl.
2. b) Determina el intervalo de valores, simétrico respecto a la media, en el que se encuentra el $90 \%$ del contenido de las latas.

En el control de calidad de unos componentes electrónicos, se acepta que el error de medida sigue una distribución $N(0, 1)$. Halla la probabilidad de que el error tipificado se encuentre en el intervalo simétrico $[-1,5, \, 1.5]$.

Dos estudiantes de diferentes preparatorias quieren comparar sus resultados en un examen de inglés. Al no ser el mismo examen, utilizan la puntuación estandarizada $Z$ (que sigue una $N(0,1)$) para saber quién está en mejor posición respecto a su grupo.

• El estudiante A tiene una puntuación estandarizada de $z_A = 1.2$.

• El estudiante B tiene una puntuación estandarizada de $z_B = 0.8$.

Calcula qué porcentaje de alumnos tiene por debajo cada uno de ellos en su respectiva preparatoria e interpreta quién obtuvo un resultado más destacado.

Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de forma inversa para encontrar el valor de la abscisa $k$ en los siguientes casos:

1. a) $P(Z < k) = 0.9452$
2. b) $P(Z \le k) = 0.9750$
3. c) $P(Z < k) = 0.5000$

En la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, halla el valor de la abscisa $k$ en cada uno de los siguientes casos:

1. a) $P(Z < k) = 0.9418$
2. b) $P(Z > k) = 0.1075$
3. c) $P(Z < k) = 0.2236$
4. d) $P(-k < Z < k) = 0.95$

Se sabe que el peso de los recién nacidos en un hospital sigue una distribución normal. Si el $15.87 \%$ de los bebés pesa menos de $2.8$ kg y la desviación típica de la población es de $0.4$ kg, calcula el peso medio de los recién nacidos en ese hospital.

En una prestigiosa academia de música, se ha observado que las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba de solfeo siguen una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15\%$ de los aspirantes obtuvo una puntuación superior a $82$ puntos, mientras que solo el $10\%$ de los alumnos no logró superar la puntuación mínima de $45$ puntos.

Calcula el valor de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$) de esta distribución de puntuaciones.

Para acceder a un ciclo formativo de grado superior muy demandado, se realiza una prueba cuya puntuación sigue una distribución $N(72, 12)$. Si solo hay plazas para el $25 \%$ de los candidatos con mejores notas:

1. a) ¿Cuál es la puntuación mínima necesaria para obtener una plaza?
2. b) Si un estudiante ha obtenido $80$ puntos, ¿está dentro del grupo de seleccionados? Razona la respuesta calculando su percentil.

En estudios estadísticos avanzados se suelen buscar intervalos simétricos respecto al origen que encierren una probabilidad determinada. Encuentra el valor de $k$ positivo tal que:

1. a) $P(-k \leq Z \leq k) = 0.90$
2. b) $P(-k < Z < k) = 0.95$
3. c) $P(-k \leq Z \leq k) = 0.99$

Nota: Estos valores de $k$ se conocen como valores críticos y son fundamentales para el cálculo de intervalos de confianza.

El tiempo de reacción de los jugadores en un torneo profesional de e-sports sigue una distribución normal $N(180, 25)$, donde el tiempo se mide en milisegundos. La organización del torneo quiere clasificar a los jugadores en tres categorías según su rapidez:

• Categoría Élite: el $5\%$ de los jugadores más rápidos.

• Categoría Amateur: el $75\%$ de los jugadores con tiempos intermedios.

• Categoría Principiante: el resto de los jugadores (los más lentos).

Calcula los tiempos de reacción que delimitan cada una de estas categorías.

Sea $Z$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$. Calcula el valor de la constante positiva $a$ tal que se cumpla la siguiente igualdad:

Razona gráficamente tu respuesta utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss.

Se sabe que el peso de los bebés recién nacidos en una región sigue una distribución normal de media $3.25$ kg y desviación típica $0.6$ kg. Una clínica privada considera que un recién nacido tiene "bajo peso" si su peso es inferior a $2.5$ kg.

1. a) Si en un mes nacen $150$ bebés en esa región, ¿cuál es la probabilidad de que más de $35$ de ellos tengan bajo peso? (Emplea la aproximación normal).
2. b) ¿Cuál debería ser el peso máximo para que solo el $5\%$ de los bebés con mayor peso de la región fueran considerados en una categoría de "seguimiento especial"?

Una fábrica produce paquetes de café cuyo peso teórico es de $500$ gramos. Debido a la maquinaria, el peso real sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ gramos. Por normativa de consumo, se considera "fuera de peso" cualquier paquete que pese menos de $485$ gramos o más de $525$ gramos.

Calcula cuál debe ser el peso medio ($\mu$) al que se debe ajustar la máquina de llenado para que la probabilidad de que un paquete sea "fuera de peso" por exceso (más de $525$ g) sea exactamente del $2.5\%$. Con esa nueva media, ¿qué porcentaje de paquetes pesará menos del mínimo legal de $485$ g?

El volumen de refresco que una máquina expendedora vierte en vasos de $330$ ml sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha comprobado que el $95\%$ de los vasos contienen una cantidad de refresco comprendida entre $318$ ml y $338$ ml.

Determina el valor de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$) del volumen de refresco vertido por la máquina, suponiendo que el intervalo dado es simétrico respecto a la media.

Se sabe que el tiempo que los alumnos de una preparatoria tardan en llegar a clases desde sus casas sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar una encuesta, se observa que el 15 % de los alumnos tarda menos de 25 minutos en llegar, mientras que solo el 20 % necesita más de 55 minutos.

Calcula el valor de la media $\mu$ y de la desviación estándar $\sigma$ de esta distribución. A continuación, determina la probabilidad de que un alumno elegido al azar tarde entre 30 y 40 minutos en llegar a la preparatoria.

Se ha realizado un estudio sobre el tiempo de reacción de los adolescentes ante un estímulo visual. Tras estandarizar los datos a una $N(0, 1)$, se observa que el $15.87\%$ de los sujetos tiene un tiempo de reacción muy lento (valores altos de $Z$).

Si elegimos a dos adolescentes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan un valor de $Z$ comprendido entre $-1$ y $1$? Supón que las reacciones de ambos son independientes.