Aumentos y disminuciones porcentuales
En el Buen Fin, una computadora cuesta $\$10{,}150$ con el 16 % de IVA ya incluido, después de un 30 % de descuento sobre su precio de catálogo. ¿Cuál era ese precio de catálogo? Y si tu sueldo sube un 20 % un año y baja un 20 % al siguiente, ¿ganas, pierdes o te quedas igual? Las dos preguntas se resuelven con la misma herramienta: el índice de variación.
El índice de variación
También puedes ir al revés: si conoces el precio inicial y el final, el índice es $I_v = \dfrac{\text{final}}{\text{inicial}}$, y el porcentaje de variación es $(I_v - 1) \times 100$.
El precio de una entrada para el festival de música "Tecno-Vibes" es de $\$55$. Si la organización decide aumentar su precio un $12\text{ \%}…
El precio de una entrada para el festival de música "Tecno-Vibes" es de $\$55$. Si la organización decide aumentar su precio un $12\text{ \%}$ debido a la alta demanda, ¿cuál será el nuevo precio de la entrada? Indica también cuál es el índice de variación aplicado.
Una tienda de ropa deportiva anuncia una liquidación de temporada con un descuento del $25\text{ \%}$ en todos sus tenis. Si unos tenis para correr marcaban…
Una tienda de ropa deportiva anuncia una liquidación de temporada con un descuento del $25\text{ \%}$ en todos sus tenis. Si unos tenis para correr marcaban originalmente $\$2\,200$, ¿cuánto pagaremos por ellos tras la rebaja? Calcula el índice de variación correspondiente.
En el año 2022, una suscripción mensual a una plataforma de streaming costaba $\$250$. En 2023, el precio ha subido a $\$295$. Calcula el índice de variación y el…
En el año 2022, una suscripción mensual a una plataforma de streaming costaba $\$250$. En 2023, el precio ha subido a $\$295$. Calcula el índice de variación y el aumento porcentual que ha sufrido la suscripción.
Variaciones encadenadas: varias subidas o bajadas seguidas
Cuando se aplican dos o más variaciones porcentuales una tras otra, se multiplican los índices: nunca se suman ni se restan los porcentajes directamente.
Una entrada de cine cuesta $\$180$. Si pagas con el carné joven, te aplican un descuento del $20\text{ \%}…
Una entrada de cine cuesta $\$180$. Si pagas con el carné joven, te aplican un descuento del $20\text{ \%}$. Pero si además es "miércoles del espectador", el precio ya rebajado vuelve a bajar un $10\text{ \%}$ adicional.
- a) Calcula el precio final de la entrada un miércoles para un usuario con carné joven.
- b) Calcula el índice de variación total y el porcentaje de descuento real sobre el precio inicial.
Una tienda de tecnología lanza un nuevo modelo de auriculares inalámbricos a un precio de $120$ pesos. Debido a la alta demanda, al mes siguiente deciden incrementar su…
Una tienda de tecnología lanza un nuevo modelo de auriculares inalámbricos a un precio de $120$ pesos. Debido a la alta demanda, al mes siguiente deciden incrementar su precio un $15$ %. Sin embargo, llegada la semana de "Black Friday", aplican un descuento del $20$ % sobre el precio incrementado. Calcula el precio final de los auriculares y determina el índice de variación global del precio.
Un pequeño comercio de la colonia decide actualizar los precios de sus productos según el costo de la vida. A principios de año sube todos los precios un $4$ %. En…
Un pequeño comercio de la colonia decide actualizar los precios de sus productos según el costo de la vida. A principios de año sube todos los precios un $4$ %. En verano, debido a una promoción especial, aplica un descuento del $10$ % sobre los precios ya actualizados.
- a) Calcula el índice de variación global.
- b) ¿Cuál ha sido la variación porcentual total respecto al precio original de finales del año pasado?
- c) Si un producto costaba originalmente $500$ pesos, ¿cuál es su precio después de los dos cambios?
En una tienda de moda urbana se aplican rebajas sucesivas. Primero se anuncia un descuento general del $20\%$ sobre todos los artículos. Durante la "semana de…
En una tienda de moda urbana se aplican rebajas sucesivas. Primero se anuncia un descuento general del $20\%$ sobre todos los artículos. Durante la "semana de liquidación", se aplica un descuento adicional del $30\%$ sobre el precio ya rebajado. Un cliente tiene un cupón VIP que permite un descuento extra del $10\%$ sobre el último precio obtenido.
¿Es este proceso de tres descuentos equivalente a un único descuento del $60\%$? Justifica la respuesta calculando el índice de variación global y determina cuál sería el precio inicial de una sudadera que termina costando $784$ pesos tras los tres descuentos.
Deshacer un porcentaje: IVA y precios ya rebajados
Si conoces la cantidad final y necesitas la inicial, divides entre el índice en lugar de multiplicar.
Después de aplicarle un descuento del $15\text{ \%}$, una laptop cuesta $\$13\,600…
Después de aplicarle un descuento del $15\text{ \%}$, una laptop cuesta $\$13\,600$. ¿Cuál era el precio original de la laptop antes de la promoción? Utiliza el concepto de índice de variación para resolverlo.
En las ofertas de enero, unos tenis tienen un descuento del $35$ %. Si el precio rebajado que marca la etiqueta es de $1\,144$ pesos, ¿cuál era el precio de los tenis…
En las ofertas de enero, unos tenis tienen un descuento del $35$ %. Si el precio rebajado que marca la etiqueta es de $1\,144$ pesos, ¿cuál era el precio de los tenis antes de comenzar las ofertas? Indica también el ahorro total obtenido en pesos.
El precio de una suscripción premium a una plataforma de streaming es de $319.80$ pesos al mes, IVA incluido. Sabiendo que la tasa de IVA aplicada a estos servicios…
El precio de una suscripción premium a una plataforma de streaming es de $319.80$ pesos al mes, IVA incluido. Sabiendo que la tasa de IVA aplicada a estos servicios digitales es del $21$ %, calcula:
- a) La base imponible de la factura (el precio antes de impuestos).
- b) El importe exacto que se paga de IVA.
- c) Si la plataforma anuncia un aumento de la base imponible del $5$ % para el próximo año, ¿cuál será el nuevo precio mensual con el IVA incluido?
Variaciones en sentido contrario: ¿se cancelan una subida y una bajada iguales?
«Sube un 20 % y luego baja un 20 %: me quedo como estaba.» Es el error más común con porcentajes, y nunca es cierto salvo que el porcentaje sea $0\,\%$.
El sueldo de un joven programador aumenta un $5\text{ \%}$ al finalizar su primer año de contrato. Sin embargo, al segundo año, debido a una crisis en la empresa, le…
El sueldo de un joven programador aumenta un $5\text{ \%}$ al finalizar su primer año de contrato. Sin embargo, al segundo año, debido a una crisis en la empresa, le reducen el salario un $5\text{ \%}$. ¿Crees que su sueldo final es el mismo que el inicial? Justifica tu respuesta calculando el índice de variación global.
Un inversor compra acciones de una empresa tecnológica. Durante el primer mes, el valor de las acciones sube un $20$ %. Durante el segundo mes, el valor cae un $20$ %.…
Un inversor compra acciones de una empresa tecnológica. Durante el primer mes, el valor de las acciones sube un $20$ %. Durante el segundo mes, el valor cae un $20$ %. El inversor afirma: "Me he quedado igual que al principio, ni he ganado ni he perdido".
- a) Demuestra matemáticamente si el inversor tiene razón o no, utilizando índices de variación.
- b) Si invirtió inicialmente $5,000$ pesos, ¿cuál es el valor de su inversión tras los dos meses?
- c) Calcula el porcentaje de variación global de la inversión.
Un inversor reparte sus ahorros en dos productos financieros. En el Producto A invierte el $60\%$ de su capital y obtiene un beneficio del $15\%$. En el Producto B…
Un inversor reparte sus ahorros en dos productos financieros. En el Producto A invierte el $60\%$ de su capital y obtiene un beneficio del $15\%$. En el Producto B invierte el resto y sufre una pérdida del $8\%$.
Calcula el índice de variación global de su capital total y el porcentaje de ganancia o pérdida neta. Si al finalizar el año su capital total asciende a $53,100$ pesos, ¿cuál era su capital inicial y cuánto dinero perdió específicamente en el Producto B?
Vuelve al principio: la computadora tuvo un descuento del $30\,\%$ ($I_{v1} = 0.70$) y un IVA del $16\,\%$ ($I_{v2} = 1.16$). El índice global es $0.70 \times 1.16 = 0.812$. Al dividir el precio final entre ese índice: $10{,}150 \div 0.812 = 12{,}500$, así que el precio de catálogo era de $\$12{,}500$. Y con el sueldo: $1.20 \times 0.80 = 0.96$, pierdes el $4\,\%$.