Sistemas de ecuaciones no lineales
Una sala de "escape room" tiene un perímetro de $20$ m y una superficie de $24$ m². Hay dos incógnitas (largo y ancho), pero el área tiene un producto de incógnitas, así que el sistema ya no es lineal. ¿Cuánto miden los lados? Estos sistemas se resuelven con la misma idea de siempre, despejar y sustituir, solo que ahora la sustitución termina en una ecuación cuadrática. Al final de la página volveremos a la sala.
Reconocer un sistema no lineal
El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados. Calcula las dimensiones (largo y…
El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados.
Calcula las dimensiones (largo y ancho) de la habitación planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.
Una recta y una parábola: despejar y sustituir
Gráficamente, cada ecuación es una curva y cada solución es un punto donde se cruzan. Mira la recta $y = x + 2$ y la parábola $y = x^2 - 4$:
Si las raíces no son enteras, deja la solución exacta con radicales y, si quieres, añade el valor aproximado. Por ejemplo, $x = 3 \pm \sqrt{2}$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución: $\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$ La figura muestra la…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución:
$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$
La figura muestra la parábola y la recta correspondientes a las dos ecuaciones.
- a) Resuelve el sistema por sustitución y calcula las coordenadas de todas las soluciones $(x, y)$.
- b) Explica brevemente qué representan geométricamente las soluciones obtenidas (puntos de corte entre una parábola y una recta) y comprueba que lo que has obtenido concuerda con la figura.
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de…
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de una zona restringida cuya trayectoria responde a la función parabólica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina los puntos exactos del plano donde ambas trayectorias se cruzan para que el dron pueda interceptar al intruso.
La figura muestra las dos trayectorias para que te orientes; las coordenadas de los puntos de cruce las tienes que calcular tú.
Un proyectil es lanzado siguiendo una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mismo tiempo, un rayo láser de seguimiento se activa desde el…
Un proyectil es lanzado siguiendo una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mismo tiempo, un rayo láser de seguimiento se activa desde el origen de coordenadas siguiendo la trayectoria lineal $y = 2x$. Determina los puntos del espacio (coordenadas $x, y$) en los que el rayo láser intercepta al proyectil.
Una recta y una circunferencia
Una circunferencia con centro en el origen y radio $r$ tiene ecuación $x^2+y^2=r^2$. Si el centro es $(h, k)$, la ecuación es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, que al desarrollar se vuelve algo como $x^2+y^2-6x-4y+4=0$. Para cruzarla con una recta no necesitas "arreglarla": sustituyes tal cual.
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ¿A qué figura geométrica corresponde la primera…
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$
¿A qué figura geométrica corresponde la primera ecuación? ¿Y la segunda?
Un joven diseñador gráfico está creando un logo que consiste en una circunferencia centrada en el origen y una línea que la atraviesa. El software de diseño le indica…
Un joven diseñador gráfico está creando un logo que consiste en una circunferencia centrada en el origen y una línea que la atraviesa. El software de diseño le indica las siguientes ecuaciones para los trazos:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 3x \end{cases}$
Calcula los puntos de intersección donde se cruzan la línea y la circunferencia.
En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es…
En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es $x^2 + y^2 = 25$. La línea de corte atraviesa el diseño siguiendo la ecuación $2x + y = 1$. Halla los puntos de intersección entre el círculo y la recta que definen los límites del logotipo.
Un estudio de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo circular atravesado por una línea recta. La circunferencia del logotipo viene definida por la ecuación…
Un estudio de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo circular atravesado por una línea recta. La circunferencia del logotipo viene definida por la ecuación $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$, mientras que la línea de corte sigue la recta de ecuación $y - x = 2$. Determina mediante un sistema de ecuaciones no lineal los puntos de intersección donde la línea corta al círculo para colocar unos nodos de anclaje.
Solo cuadrados: método de reducción
Cuando las dos ecuaciones tienen $x^2$ y $y^2$ (y nada más), conviene sumar o restar las ecuaciones, como en los sistemas lineales, para eliminar una de las dos.
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción, aprovechando que ambas incógnitas están elevadas al cuadrado:…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción, aprovechando que ambas incógnitas están elevadas al cuadrado:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$
Indica todas las parejas de soluciones $(x, y)$ posibles.
Problemas de números y de figuras
Para plantear: nombra las incógnitas, traduce cada condición del enunciado a una ecuación y resuelve. Al final, descarta soluciones que no tengan sentido (negativas si son longitudes, no enteras si piden enteros).
Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y…
Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución.
La diferencia entre dos números es $2$ y su producto es $15$. Calcula dichos números planteando un sistema de ecuaciones.
La diferencia entre dos números es $2$ y su producto es $15$. Calcula dichos números planteando un sistema de ecuaciones.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $5$ cm. Si sabemos que un cateto es $1$ cm más largo que el otro, ¿cuánto miden los dos catetos?
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $5$ cm. Si sabemos que un cateto es $1$ cm más largo que el otro, ¿cuánto miden los dos catetos?
Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y…
Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y resuélvelo utilizando el método de sustitución.
Cuando cambian las medidas: área y marcos
Los problemas en los que una figura "cambia de medidas pero conserva su área" tienen un truco: al desarrollar $(x+2)(y-3)$ y restar $xy$, el producto $xy$ se cancela y la ecuación se vuelve lineal.
El área de un jardín rectangular es de $180 \text{ m}^2$. Si se aumenta su base en $2 \text{ metros}$ y se disminuye su altura en $3 \text{ metros}$, el área resultante…
El área de un jardín rectangular es de $180 \text{ m}^2$. Si se aumenta su base en $2 \text{ metros}$ y se disminuye su altura en $3 \text{ metros}$, el área resultante sigue siendo de $180 \text{ m}^2$. Calcula las dimensiones originales (base y altura) del jardín.
Calcula las dimensiones de un jardín rectangular sabiendo que su diagonal mide exactamente $\sqrt{113}$ metros y que, si aumentásemos su base en 2 metros y…
Calcula las dimensiones de un jardín rectangular sabiendo que su diagonal mide exactamente $\sqrt{113}$ metros y que, si aumentásemos su base en 2 metros y disminuyésemos su altura en 1 metro, el área total no variaría. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.
Se desea construir un marco de madera para un espejo rectangular de modo que el área total (espejo más marco) sea de $4000 \text{ cm}^2$. El espejo tiene una superficie…
Se desea construir un marco de madera para un espejo rectangular de modo que el área total (espejo más marco) sea de $4000 \text{ cm}^2$. El espejo tiene una superficie de $2800 \text{ cm}^2$. Si el marco tiene un ancho constante de $5 \text{ cm}$ en todos sus lados, calcula las dimensiones exteriores del marco (largo y ancho totales).
Cambio de variable: exponenciales y fracciones
A veces el sistema parece difícil, pero se vuelve sencillo si le das un nombre nuevo a una expresión que se repite.
Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe…
Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$
Determina los valores de $x$ e $y$ aplicando un cambio de variable si es necesario.
En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de dos poblaciones de bacterias sigue patrones distintos. La población $A$ se rige por la expresión $2^x - 3^y = 7$,…
En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de dos poblaciones de bacterias sigue patrones distintos. La población $A$ se rige por la expresión $2^x - 3^y = 7$, mientras que la relación de sus densidades en un momento crítico del experimento cumple que $2^{x+1} + 3^{y+1} = 59$. Halla los valores de $x$ e $y$ resolviendo el sistema mediante un cambio de variable adecuado.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales que involucra términos racionales y cuadráticos:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales que involucra términos racionales y cuadráticos:
$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$
Nota: Realiza un cambio de variable para la primera ecuación para simplificar el proceso.
Logaritmos y fracciones algebraicas
Con logaritmos, junta primero: $\log a+\log b=\log(ab)$. Si $\log(xy)=\log 6$, entonces $xy=6$. Con fracciones, suma y obtén un solo cociente.
Dos inversionistas han depositado sus ahorros en diferentes criptomonedas. La relación entre sus ganancias mensuales ($x$ e $y$, expresadas en miles de pesos) está dada…
Dos inversionistas han depositado sus ahorros en diferentes criptomonedas. La relación entre sus ganancias mensuales ($x$ e $y$, expresadas en miles de pesos) está dada por un sistema logarítmico:
$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = \log(6) \\ x - 2y = 1 \end{cases}$
Calcula cuánto ha ganado cada inversionista este mes sabiendo que las ganancias deben ser valores positivos.
Resuelve el sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas, realizando las transformaciones necesarias para obtener una ecuación polinómica:…
Resuelve el sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas, realizando las transformaciones necesarias para obtener una ecuación polinómica:
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$
Halla dos números enteros tales que la diferencia de sus cuadrados sea 56 y que la suma de sus inversos sea igual a $\frac{1}{45}$ multiplicado por la suma de los…
Halla dos números enteros tales que la diferencia de sus cuadrados sea 56 y que la suma de sus inversos sea igual a $\frac{1}{45}$ multiplicado por la suma de los números originales.