Función de probabilidad y función de distribución de una variable discreta

Determina razonadamente si la siguiente tabla puede representar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Para ello, comprueba que se cumplen las propiedades fundamentales de las probabilidades:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0.25$	$0.40$	$0.15$	$0.20$

Explica por qué la siguiente función no puede ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$:

$P(X=x_i) = \{0.2;\ 0.3;\ -0.1;\ 0.6\}$

En la figura se representan estos valores asignados a $x_1, x_2, x_3$ y $x_4$.

Justifica tu respuesta mencionando qué propiedad de la probabilidad se está incumpliendo en este caso.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por:

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ para $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Escribe la tabla de valores de la función de probabilidad.
2. b) Comprueba que la suma de todas las probabilidades es igual a $1$.
3. c) Calcula $P(X \ge 3)$.

Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$, calcula las probabilidades que se piden a continuación:

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0.15$	$0.25$	$0.35$	$0.15$	$0.10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

Se ha realizado una encuesta en una preparatoria sobre el número de hermanos de los alumnos de 1° de preparatoria. A partir de los datos, se ha definido la variable $X$ = "número de hermanos". La tabla de frecuencias relativas (probabilidades estimadas) es la siguiente:

Hermanos ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0.12$	$0.54$	$0.24$	$0.10$

Representa esta información mediante una gráfica de barras y calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga menos de 2 hermanos.

En un taller especializado en reparación de celulares, se ha realizado un estudio sobre el número de equipos que un técnico es capaz de reparar completamente en una jornada de ocho horas. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa dicho número. La función de probabilidad está dada por la siguiente tabla, aunque falta un dato por completar:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0.15$	$0.25$	$0.35$	$k$	$0.05$

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la tabla represente una distribución de probabilidad legítima.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico repare al menos dos dispositivos en una jornada?
3. c) Si el taller recibe un bono de productividad los días en los que se reparan más de 2 equipos, ¿qué probabilidad hay de recibir dicho bono?

Se lanzan dos monedas equilibradas al aire. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de caras obtenidas".

1. a) Escribe el espacio muestral del experimento.
2. b) Elabora la tabla de la función de probabilidad de $X$.
3. c) Representa gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se dispone de una urna con $3$ bolas blancas y $2$ bolas rojas, como muestra la figura. Se extraen dos bolas sucesivamente y sin devolución. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas extraídas.

1. a) Describe el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar $X$.

1. b) Calcula la función de probabilidad de $X$.

1. c) Determina la probabilidad de que al menos una de las bolas extraídas sea roja.

Un examen de oposición consta de $4$ temas elegidos al azar de un total de $10$. Un opositor se ha preparado solo $6$ temas. Definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de temas que el opositor domina de los $4$ elegidos".

1. Calcula la probabilidad de que el opositor no domine ninguno de los temas elegidos.

2. Determina la probabilidad de que domine exactamente $2$ temas.

3. Halla la esperanza matemática de la variable $X$ e interpreta el resultado en el contexto del examen. ¿Es probable que el opositor apruebe si necesita conocer al menos $3$ temas?

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de distribución acumulada $F(x)$ se presenta a continuación:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0.2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0.5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0.9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) A partir de $F(x)$, obtén la función de probabilidad $P(X=x_i)$ para cada valor de la variable.
2. b) Calcula la probabilidad $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Representa gráficamente la función de probabilidad mediante un diagrama de barras.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La función de distribución acumulada $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por una gráfica escalonada con los siguientes tramos: $F(x) = 0$ para $x < 0$, $F(x) = 0.2$ para $0 \le x < 1$, $F(x) = 0.5$ para $1 \le x < 2$, $F(x) = 0.8$ para $2 \le x < 3$ y $F(x) = 1$ para $x \ge 3$.

A partir de la gráfica, construye la tabla de la función de probabilidad $P(X=x_i)$ y calcula la varianza $V[X]$. Explica razonadamente el significado de $P(0.5 < X \le 2)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una empresa de mensajería analiza el número de paquetes que llegan dañados en cada furgoneta de reparto. Tras un largo periodo de observación, han definido la siguiente función de probabilidad para la variable $X$ = "número de paquetes dañados por trayecto":

$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ para $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

1. a) Comprueba que efectivamente se trata de una función de probabilidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que en un trayecto lleguen, como máximo, $2$ paquetes dañados.
3. c) Halla la media y la desviación típica de la distribución.

En una aplicación de idiomas, los usuarios pueden ganar entre $0$ y $3$ insignias diarias según su constancia. Se sabe que la probabilidad de ganar $x$ insignias es proporcional al valor de $x+1$ para los valores posibles de la variable.

1. a) Escribe la tabla de la distribución de probabilidad determinando la constante de proporcionalidad necesaria.
2. b) ¿Cuál es el número medio de insignias que gana un usuario al día?
3. c) Calcula la varianza de la distribución.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla, donde $a$ y $b$ son dos números reales desconocidos:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0.1$	$a$	$b$	$0.2$

Sabiendo que la esperanza matemática de la distribución es $E[X] = 2.85$, determina los valores de $a$ y $b$. Posteriormente, calcula la desviación típica $\sigma$ de la variable e indica qué porcentaje de la probabilidad total se encuentra en el intervalo $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.

Una asociación juvenil organiza un sorteo para financiar un viaje de graduación. Se venden boletos a $40$ pesos. El premio es una tarjeta de regalo de Amazon con un valor de $1\,000$ pesos. Se han emitido $200$ boletos. Sea $X$ la variable aleatoria que define la ganancia neta de un estudiante que compra un solo boleto (teniendo en cuenta el costo del mismo).

1. a) Define el espacio muestral de los posibles valores de $X$.
2. b) Determina la función de probabilidad de $X$.
3. c) Calcula la esperanza matemática $E[X]$ e interpreta el resultado obtenido. ¿Es un juego justo para el comprador?

Un restaurante analiza el número de reservaciones para grupos de más de 10 personas que recibe los sábados por la noche. La variable $X$ sigue la distribución de probabilidad:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0.4$	$0.3$	$0.2$	$0.1$

1. a) Si el restaurante tiene una ganancia de $1\,000$ pesos por cada grupo que asiste, pero tiene unos costos fijos de preparación de $600$ pesos independientemente de cuántos grupos vayan, define una nueva variable $Y$ que represente la ganancia neta del sábado.
2. b) Calcula la esperanza de $Y$.
3. c) Calcula la desviación estándar de $X$.

Dos jugadores, Alba y Bruno, lanzan un dado de seis caras. Si sale un número primo, Alba gana tantos pesos como indique el dado. Si sale un número compuesto, Bruno gana el doble de lo que indique el dado en pesos. Si sale el número $1$, nadie gana nada.

1. Define la variable aleatoria $G$ como la ganancia neta de Alba en un lanzamiento (considerando que lo que gana Bruno es una pérdida para Alba). Escribe su función de probabilidad.

2. Calcula la esperanza matemática de $G$. ¿A quién favorece el juego a largo plazo?

3. ¿Qué cantidad debería pagar Alba a Bruno cada vez que salga un número compuesto para que el juego fuera equitativo ($E[G]=0$)?