Inecuaciones de primer y segundo grado

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado y representa la solución en la recta real utilizando un intervalo:

$5 - 2x \le 11$

Dibuja en tu cuaderno una recta real con una escala adecuada, marca el extremo del intervalo y señala si queda incluido o no. Escribe después la solución con notación de intervalo.

Resuelve la siguiente inecuación con paréntesis y simplifica el resultado:

$3(x - 1) + 2 > 5x - 7$

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo y representándola sobre la recta real:

El área de un rectángulo de base $5$ cm y altura $(x - 2)$ cm debe ser menor que $30$ cm². ¿Qué valores puede tomar la variable $x$? Ten en cuenta que la altura debe ser siempre una cantidad positiva.

Un grupo de estudiantes de 1° de preparatoria está organizando una graduación. Han calculado que los gastos fijos de renta del local y el DJ son de $9\,000$ pesos. Además, el banquete por cada asistente cuesta $240$ pesos. Si han recaudado un total de $30\,000$ pesos mediante la venta de boletos y patrocinios, y quieren que al finalizar el evento les sobren al menos $4\,200$ pesos para un viaje de fin de curso, redacta y resuelve una inecuación que determine el número máximo de personas, $x$, que pueden invitar.

Una empresa de telefonía ofrece un plan por el que cobra $200$ pesos de cuota fija mensual más $1$ peso por cada minuto de llamada. Otra empresa cobra $100$ pesos de cuota fija pero $3$ pesos por minuto. ¿A partir de cuántos minutos de conversación al mes resulta más económica la primera empresa?

Determina el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado analizando el signo de los factores:

$x^2 - 9 > 0$

Expresa el resultado en forma de intervalos.

Comprueba si los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$ son soluciones de la inecuación cuadrática:

$x^2 - 5x + 4 \le 0$

Una empresa de fabricación de fundas para celulares ha determinado que sus beneficios mensuales, en cientos de pesos, dependen del número de unidades producidas $x$ (en miles) según la función $B(x) = -40x^2 + 280x - 240$. ¿Entre qué valores de producción la empresa obtiene beneficios (es decir, $B(x) > 0$)?

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k = 0$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la ecuación no tiene soluciones reales. Pista: Recuerda que para que no existan soluciones reales, el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ debe cumplir una inecuación específica.

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la inecuación de segundo grado $x^2 + (k-2)x + k + 1 > 0$ se verifica para cualquier valor real de $x$. Aplica este resultado para explicar bajo qué condiciones un fondo de inversión que garantiza este rendimiento mínimo nunca entraría en pérdidas, independientemente de la fluctuación del mercado $x$.

En una competición de saltos, la altura $h$ (en metros) que alcanza un deportista respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -t^2 + 4t + 1.5$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el saltador se encuentra a una altura superior a los $4.5$ metros.

El área de un jardín rectangular debe ser menor que $54$ $m^2$. Se sabe que el largo del jardín mide $3$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ a la medida del ancho, plantea una inecuación de segundo grado y determina los posibles valores que puede tomar dicha medida.

Se desea diseñar un jardín rectangular de manera que su perímetro sea exactamente de 60 metros. Si el área del jardín debe estar comprendida entre 125 y 200 metros cuadrados, ¿qué valores puede tomar la longitud del lado más largo del jardín? Expresa el resultado en forma de intervalo.

Halla la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y exprésala en forma de intervalo:

$\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$

Puedes apoyarte en esta recta numérica para representar las soluciones de cada inecuación y su intersección:

Halla el conjunto de números reales que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:

En un experimento sociológico sobre la difusión de una noticia en una red social, se ha modelado que el número de personas que conocen la noticia (en cientos) tras $t$ horas sigue la función $N(t) = -t^2 + 12t - 20$. Al mismo tiempo, un equipo de moderación interviene eliminando publicaciones de forma que el alcance máximo permitido por la normativa de la plataforma viene dado por $L(t) = 3t - 4$, es decir, debe cumplirse $N(t) < L(t)$.

Calcula el intervalo de tiempo (valores de $t$ en horas) en el que la noticia se difunde de forma natural ($N(t) > 0$) pero su alcance ya supera el límite permitido por la plataforma.

Resuelve la siguiente inecuación racional, teniendo especial cuidado con los valores que anulan el denominador:

Una empresa de servicios de consultoría estima que sus beneficios mensuales, expresados en miles de pesos, están dados por la expresión racional $B(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 5}$, donde $x$ representa el número de proyectos gestionados simultáneamente. Por razones operativas, la empresa solo puede gestionar entre 0 y 10 proyectos. Determina el intervalo de proyectos para los cuales la empresa obtiene beneficios positivos pero menores o iguales a 4 mil pesos, es decir, resuelve el sistema:

$0 < \frac{x^2 - 9}{x - 5} \leq 4$

Resuelve la siguiente inecuación racional de segundo grado, asegurándote de considerar correctamente el dominio de la expresión y los intervalos donde el cociente cambia de signo:

$\frac{3}{x-2} \leq \frac{x}{x+3}$

Indica detalladamente los valores que quedan excluidos de la solución por anular el denominador.

Un fabricante de componentes electrónicos ha detectado que el costo unitario de producción $C$ depende de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) según la expresión $C(T) = |T^2 - 40T + 375|$. Para que el producto sea competitivo en el mercado de las Ciencias Sociales, el costo unitario no debe superar los 25 pesos.

Resuelve la inecuación $|T^2 - 40T + 375| \leq 25$ y determina los rangos de temperatura permitidos para la fabricación.

Una ONG distribuye lotes de alimentos ($x$) e higiene ($y$). Dispone de un presupuesto máximo de 2000 pesos. Cada lote de alimentos cuesta 20 pesos y cada uno de higiene 10 pesos. Por logística, deben enviar al menos 40 lotes de alimentos y el número de lotes de higiene no puede superar al doble de los de alimentos. Además, para que la ayuda sea equilibrada, la suma total de lotes debe ser al menos de 100.

Escribe el sistema de inecuaciones lineales con dos variables que representa estas restricciones y representa gráficamente la región factible en el plano.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.