Funciones exponencial y logarítmica

Sean $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \log_{2} x$. Calcula, sin calculadora:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ y $g\left(\frac{1}{2}\right)$

La gráfica de una función exponencial $f(x) = a^{x}$ pasa por el punto $(2, 9)$.

1. a) ¿Cuál es el valor de la base $a$?

1. b) Con la base hallada, calcula $f(3)$ y $f(-1)$.

1. c) ¿Por qué punto pasa la gráfica sea cual sea el valor de $a$?

Considera la función exponencial $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia y completa la tabla de valores de la función para $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función? ¿Es creciente o decreciente?

1. c) ¿Qué recta es su asíntota? ¿La toca la gráfica en algún punto? Razona la respuesta.

Sin representarlas, indica cuáles de estas funciones exponenciales son crecientes y cuáles decrecientes, justificando la respuesta a partir de la base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0.5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1.03^{x}$

Asocia cada fenómeno con el tipo de modelo exponencial que mejor lo describe, creciente (base mayor que $1$) o decreciente (base entre $0$ y $1$), y justifica la elección:

• El enfriamiento de una taza de café hasta alcanzar la temperatura ambiente.

• El capital de una cuenta de ahorro con interés compuesto.

• La radiactividad restante de una fuente médica con el paso de los años.

• El número de personas alcanzadas por una cadena solidaria en la que cada persona avisa a tres amigos.

En la figura aparecen las gráficas de $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) ¿En qué punto se cortan ambas? Justifica que toda exponencial de la forma $h(x) = a^{x}$ pasa por ese mismo punto.

1. b) ¿Respecto de qué eje son simétricas las dos gráficas? Compruébalo calculando $f(2)$ y $g(-2)$.

1. c) Sin representarla, describe la gráfica de $k(x) = 0.7^{x}$: crecimiento, asíntota y posición respecto a las dos anteriores.

Al representar juntas las funciones $f(x) = 2^{x}$ y $g(x) = 2^{-x}$, una alumna afirma: «son simétricas respecto del eje $X$, porque una es la exponencial y la otra su opuesta». Valora razonadamente la afirmación: indica si es verdadera o falsa, haz un esquema de ambas gráficas, explica respecto de qué eje son realmente simétricas y confírmalo comparando $f(2)$ con $g(-2)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Toda función exponencial $f(x) = a^{x}$ (con $a > 0$ y $a \neq 1$) pasa por un mismo punto, y toda función logarítmica $g(x) = \log_{a} x$ pasa por otro. ¿Cuáles son esos puntos? Demuéstralos calculando $f(0)$ y $g(1)$ para una base cualquiera.

Indica la ecuación de la asíntota de cada función y di de qué tipo es (horizontal o vertical):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

La figura muestra la gráfica de la función logarítmica $f(x) = \log_{2} x$. Cada cuadrito de la cuadrícula mide 1 unidad en ambos ejes.

1. a) Indica su dominio y su recorrido.

1. b) ¿Cuál es su asíntota y de qué tipo es?

1. c) Calcula $f(16)$ y $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partir de la definición de logaritmo y comprueba que encajan con la gráfica.

1. d) ¿Tiene sentido calcular $f(-2)$? ¿Por qué?

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

Indica el recorrido de las siguientes funciones, razonándolo a partir de las gráficas de $f(x) = 2^{x}$ y de $g(x) = \log x$:

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 2^{x} - 1$

1. c) $h(x) = \log x$

1. d) $i(x) = \log x + 2$

A partir de la gráfica de $f(x) = 2^{x}$ (en azul) se ha dibujado la de $g(x) = 2^{x} + 3$ (en verde), como se aprecia en la figura.

1. a) ¿Qué transformación relaciona ambas gráficas?

1. b) ¿Cuál es la asíntota horizontal de $g$? ¿Y su recorrido?

1. c) Escribe la expresión de la función cuya gráfica es la de $f$ desplazada $2$ unidades a la izquierda, e indica su asíntota.

La figura muestra la gráfica de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) ¿Cuál es el dominio de $f$? Relaciónalo con la zona sombreada y con la asíntota de la gráfica.

1. b) ¿Cuál es su recorrido?

1. c) Determina, sin representarlas, el dominio de estas funciones: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

El carbono-14 se desintegra de manera que la cantidad que queda en una muestra sigue el modelo $N(t) = N_0 \times 0.5^{t/5,730}$, donde $t$ es el tiempo en años y $N_0$ la cantidad inicial. Un equipo de arqueología analiza un fragmento de hueso hallado en una cueva.

1. a) ¿Qué porcentaje de carbono-14 quedará al cabo de $2,000$ años? Redondea a las décimas.

1. b) Si el fragmento conserva el $38 \%$ del carbono-14 original, plantea la ecuación que permite hallar su antigüedad y resuélvela usando logaritmos.

1. c) Un titular de prensa afirma: «pasados $11,460$ años ya no queda carbono-14, porque se han cumplido dos periodos de semidesintegración». Explica por qué es falso y calcula el porcentaje real que queda en ese instante.

La población de una ciudad costera evoluciona según el modelo $P(t) = 180,000 \times 1.015^{t}$, donde $t$ son los años transcurridos desde 2025.

1. a) ¿Qué población se espera en 2035? Redondea a las centenas.

1. b) ¿En qué año superará la ciudad los $250,000$ habitantes? Plantea la inecuación y resuélvela con logaritmos.

1. c) Explica qué hipótesis sobre el crecimiento esconde este modelo y razona por qué podría dejar de ser realista a muy largo plazo.

El nivel de intensidad sonora se mide en decibelios (dB) con la escala logarítmica $L = 10 \times \log \frac{I}{I_0}$, donde $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ es el umbral de audición.

1. a) Calcula el nivel, en dB, de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$.

1. b) El umbral de dolor está en $130$ dB. ¿Cuál es la intensidad correspondiente? Exprésala como potencia de $10$.

1. c) ¿Cuántas veces más intenso es el sonido de un concierto de $110$ dB que el de una biblioteca de $40$ dB? Explica por qué, aunque la diferencia sea de «solo» $70$ dB, la intensidad se multiplica por $10^{7}$.

El valor de un auto sigue el modelo $V(t) = 480\,000 \times 0.85^{t}$, con $t$ en años, representado en la figura.

1. a) ¿Cuál era el precio del auto nuevo?

1. b) Calcula el valor a los $5$ años (el marcado con «?» en la figura), redondeando a los pesos.

1. c) ¿Pierde el auto el mismo valor cada año? Calcula lo que pierde durante el primer año y lo que pierde entre el cuarto y el quinto año, y explica la diferencia.

La gráfica muestra el porcentaje de carbono-14 que queda en una muestra a lo largo del tiempo.

1. a) ¿Qué porcentaje queda tras $5,730$ años? ¿Cómo se llama ese periodo?

1. b) Lee en la gráfica el porcentaje que queda a los $17,190$ años (marcado con «?») y compruébalo calculando cuántos periodos de semidesintegración han transcurrido.

1. c) Acota entre qué dos marcas del eje de tiempos estará el instante en que quede menos del $1 \%$ y justifícalo.

La concentración de un medicamento en sangre, en mg/l, evoluciona según el modelo $C(t) = 120 \times 0.82^{t}$, donde $t$ son las horas transcurridas desde su administración.

1. a) ¿Qué concentración había en el momento de la inyección? ¿Y a las $6$ horas? Redondea a las décimas.

1. b) El fármaco deja de ser eficaz cuando la concentración baja de $30$ mg/l. Plantea la inecuación correspondiente y calcula, con logaritmos, cuántas horas dura el efecto.

1. c) Si un paciente recibe una segunda dosis idéntica $12$ horas después de la primera, ¿qué concentración total tendrá en sangre justo después de la nueva inyección, suponiendo que las concentraciones se suman?

Dos analistas de una aplicación de música discuten cómo crecerá el número de usuarios. El primero propone un modelo lineal y el segundo, uno exponencial; ambos modelos parten de $100$ usuarios en la semana $0$ y están representados en la figura.

1. a) La recta pasa por los puntos $(0, 100)$ y $(10, 1,000)$: escribe su ecuación.

1. b) La curva exponencial tiene la forma $u(t) = 100 \times a^{t}$ y pasa por el punto $(5, 420)$: calcula la base $a$ usando logaritmos y redondea a las milésimas.

1. c) Con los dos modelos completos, determina entre qué dos semanas consecutivas la previsión exponencial supera a la lineal, compruébalo con la figura y explica qué diferencia hay entre ambas previsiones a largo plazo.

Con una inflación anual del $3 \%$, el poder adquisitivo de $\$20\,000$ guardados «debajo del colchón» evoluciona según $V(t) = 20\,000 \times 1.03^{-t}$, donde $t$ son los años transcurridos.

1. a) Calcula el poder adquisitivo al cabo de $5$ años, redondeado a los centavos.

1. b) ¿Cuántos años deben pasar para que ese dinero «valga» la mitad? Plantea la ecuación y resuélvela con logaritmos.

1. c) Grafica aproximadamente la función para $t \in [0, 30]$ (escala sugerida: $1$ cm $= 5$ años en el eje horizontal y $1$ cm $= \$2\,000$ en el vertical) y marca en ella los resultados de los incisos anteriores.

El valor de un auto eléctrico nuevo de $\$640\,000$ sigue el modelo exponencial $V(t) = 640\,000 \times 0.85^{t}$, con $t$ en años.

1. a) ¿Cuánto valdrá a los $4$ años? Redondea a los pesos.

1. b) Una concesionaria ofrece recomprarlo cuando su valor baje de $\$240\,000$. ¿Cuánto tiempo pasará hasta entonces? Usa logaritmos.

1. c) Otro vendedor usa un modelo lineal según el cual el auto pierde $\$90\,000$ de valor cada año. Compara el valor que asigna cada modelo a los $4$ años y explica cuál de los dos beneficia al propietario que quiera venderlo a mediano plazo.