El método de Gauss

En el método de Gauss, el objetivo es transformar un sistema de ecuaciones en uno escalonado (triangular) para que sea mucho más sencillo de resolver. Observa el siguiente sistema que ya se encuentra en forma escalonada y halla el valor de las incógnitas $x$, $y$ y $z$ mediante el proceso de sustitución regresiva (de abajo hacia arriba):

$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2y - z = 5 \\ 3z = 9 \end{cases}$

En un torneo de e-sports local, se premia a los equipos según los objetivos conseguidos: torres destruidas ($x$), dragones capturados ($y$) y jugadores eliminados ($z$). Sabemos que:

1. El total de acciones ($x + y + z$) de un equipo fue de $20$.

2. Destruyeron el mismo número de torres que de dragones capturados ($x - y = 0$).

3. Capturaron $4$ dragones ($y = 4$).

Utiliza estos datos para formar un sistema escalonado y determina cuántas acciones de cada tipo realizó el equipo.

Al finalizar el proceso de Gauss, un estudiante llega a la siguiente matriz de coeficientes (donde la última columna es el término independiente):

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz.
2. b) Basándote en la última fila, indica si el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Razona tu respuesta.

A veces, para aplicar el método de Gauss de forma más eficiente, es útil intercambiar las filas del sistema. Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \\ 2y - 3z = -4 \end{cases}$

1. a) Explica por qué sería conveniente intercambiar la primera ecuación ($E_1$) por la segunda ($E_2$) antes de empezar a operar.
2. b) Escribe el sistema resultante tras el intercambio y realiza el primer paso de Gauss para eliminar la $x$ de la nueva segunda ecuación.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Para facilitarte el trabajo, fíjate en que la variable $x$ ya ha sido eliminada de la segunda ecuación:

$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ y + 2z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de Gauss paso a paso:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Sugerencia: Resta la primera ecuación a la segunda y a la tercera para eliminar las $x$ de un solo paso.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss. Recuerda organizar los pasos para obtener una estructura triangular antes de calcular el valor de las incógnitas:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde los coeficientes son fracciones:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 13 \\ x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 14 \\ \frac{x}{3} + y + \frac{z}{2} = 17 \end{cases}$

Transforma el sistema para trabajar con coeficientes enteros y utiliza el método de Gauss para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$. Explica paso a paso cada operación elemental que realices sobre las filas de la matriz.

Determina si el siguiente sistema tiene solución o no, aplicando el método de Gauss hasta obtener la última fila:

$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ 3x - y + z = 2 \end{cases}$

Justifica tu respuesta analizando la relación entre la primera y la segunda ecuación.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, utiliza Gauss para discutir su naturaleza según el valor del resultado final. Si el sistema es compatible determinado, halla los valores de $x$, $y$ y $z$:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ -x + 2y + z = 1 \\ 4x + y + 3z = 8 \end{cases}$$

Analiza y resuelve el siguiente sistema. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, expresa la solución general utilizando un parámetro $\lambda$ (o $t$):

$$\begin{cases} x - 3y + 2z = 4 \\ 2x + y - 3z = 1 \\ 5x - 8y + 3z = 13 \end{cases}$$

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que no tenga solución):

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + kz = 10 \end{cases}$$

Estudia y resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + ay + z = 0 \\ 3x + 4y + (a-2)z = 3 \end{cases}$

Analiza los casos en los que el sistema no tiene solución y el caso en el que tiene infinitas soluciones. En este último caso, expresa la solución general.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro real $k$, utilizando el procedimiento de escalonamiento de Gauss:

$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = k \\ kx + y + z = k^2 \end{cases}$

Indica para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Resuélvelo para el caso en el que sea Compatible Indeterminado.

En una cafetería del centro de la Ciudad de México, un grupo de amigos fue a merendar.

• El primer día, por 2 cafés, 1 refresco y 1 rebanada de pastel, pagaron $220$ pesos.

• El segundo día, por 1 café, 2 refrescos y 2 rebanadas de pastel, pagaron $320$ pesos.

• El tercer día, por 3 cafés y 3 rebanadas de pastel (sin refrescos), pagaron $360$ pesos.

Determina el precio unitario de cada producto mediante el método de Gauss. ¿Es posible que el sistema tenga infinitas soluciones o el precio es único? Justifica tu respuesta.

Una empresa de logística utiliza tres tipos de furgonetas (Pequeña, Mediana y Grande) para repartir paquetes. Ayer realizaron tres rutas con las siguientes características:

• Ruta A: 2 pequeñas, 1 mediana y 3 grandes, transportando un total de $26$ contenedores.

• Ruta B: 1 pequeña, 4 medianas y 1 grande, transportando un total de $22$ contenedores.

• Ruta C: 3 pequeñas, 2 medianas y 2 grandes, transportando un total de $23$ contenedores.

Calcula la capacidad de carga de cada tipo de furgoneta aplicando el método de Gauss.

En una pequeña empresa de tecnología se están gestionando tres proyectos de inteligencia artificial: Alpha, Beta y Gamma. El presupuesto total asignado para los tres es de $9\,000\,000$ pesos. Se sabe que el costo del proyecto Gamma es igual a la suma del costo de Alpha más el doble de Beta. Además, si al triple del costo de Alpha le restamos el costo de Gamma, obtenemos exactamente el costo de Beta aumentado en $600\,000$ pesos.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y utiliza el método de Gauss para determinar la inversión exacta que requiere cada uno de los proyectos.